第02讲 数列求和、不等式问题【七大考点+七大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第02讲 数列求和、不等式问题 【复习目录】 · 一：分组求和法 · 二：并项求和法 · 三、错位相减法 · 四：倒序相加法 · 五：裂项相消法 · 六：含绝对值的等差数列的前n项和 · 七：数列不等式问题 · 八：数列奇数、偶数求和问题 【知识梳理】 1．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 【题型归纳】 题型一：分组求和法 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 题型二：并项求和法 3．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 4．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型三、错位相减法 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 题型四：倒序相加法 7．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 8．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 题型五：裂项相消法 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 题型六：含绝对值的等差数列的前n项和 11．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 12．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 题型七：数列不等式问题 13．（24-25高二上·安徽合肥·期末）记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 题型八：数列奇数、偶数求和问题 15．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 16．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 【专题强化】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 3．（24-25高二上·河北保定·期末）北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 7．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 8．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 9．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． (1)求数列，的通项公式． (2)设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 11．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 12．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为． (1)求数列和通项公式； (2)若对，有恒成立，求实数的最小值； (3)设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数列求和、不等式问题 【复习目录】 · 一：分组求和法 · 二：并项求和法 · 三、错位相减法 · 四：倒序相加法 · 五：裂项相消法 · 六：含绝对值的等差数列的前n项和 · 七：数列不等式问题 · 八：数列奇数、偶数求和问题 【知识梳理】 1．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 【题型归纳】 题型一：分组求和法 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， . 题型二：并项求和法 3．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 4．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 题型三、错位相减法 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项； （2）利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 6．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得或， 当时数列的通项公式； 当时数列的通项公式； 所以或. （2）因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 题型四：倒序相加法 7．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 8．（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案； （2）根据倒序相加法，可得答案. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 题型五：裂项相消法 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是的等比中项，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用基本量，结合题意，列出方程组，求得以及公差，即可求得两个数列的通项公式； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，即可求得. 【详解】（1）设的公差为，因为是的等比中项，故， 即， 整理得：，又，故可得； 又，即，故，， 解得，，； 故，. （2）由（1）可知，，故， 故 . 故数列的前项和. 10．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 题型六：含绝对值的等差数列的前n项和 11．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【详解】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 12．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出； （2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 题型七：数列不等式问题 13．（24-25高二上·安徽合肥·期末）记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可直接求得答案； （2）结合（1）得，再利用错位相减法求和即可； （3）将原式化为恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求得k的范围. 【详解】（1）因为，① 令，得，所以 当时，，② ①②，得，整理得 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 当时也符合上式，故. （2）由题意知 两式作差，得： 所以； （3）由恒成立，得恒成立，即恒成立． 所以解得， 所以k的取值范围是. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可； （2）求出表达式，再分段求和即可.通过参变分离求最值即可求解； 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 故数列的奇数项构成1为首项，4为公差的等差数列，偶数项构成2为首项，4为公比的等比数列， 由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得： 所以等价于： 化简可得： ， 令，则，当且仅当时取等号，等号无法成立， 当，即时，；当，即时，； 所以， 所以的最大值 题型八：数列奇数、偶数求和问题 15．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）设的公差为，的公比为，利用题设条件列出方程组，求出基本量，写出通项公式即可； （2）利用错位相减法即可求得； （3）按照奇数项和偶数项分组求和即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，可得：， 解得，故， 由，可得：， 又，故，解得，故. （2）易知， ，① ② 由 ， 故. （3）因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故 ， 又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故 ， 故数列的前项和为. 16．（24-25高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，为等差数列，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系和等比数列的定义求，利用等差数列的定义求即可； （2）利用裂项相消求和即可； （3）利用分组求和和错位相减求和即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 则，解得， 所以当时，，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，经检验当时成立； 因为为等差数列，且，， 所以公差， 所以， 综上，. （2）由（1）得， 所以数列的前项和为 . （3）由（1）得， 所以， 令 ， ， 则， 两式相减，得 ， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键在于，利用分组求和法，将分成两个不同的数列求和，结合错位相减法即可得解. 【专题强化】 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【详解】（1）当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件结合等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求，由此可求数列数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）由题意知，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，， 则① ② ①②得， ， ， ， 所以. 3．（24-25高二上·河北保定·期末）北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先求数列的前10项的和，再求数列的前10项和； （2）根据，对应系数，再代入求和公式； （3）首先求数列的通项公式，以及数列的通项公式，再根据公共项求数列的通项公式，由数列的形式，利用不等式放缩和裂项相消法求和，即可证明； 【详解】（1）在数列，，，…，中，，，，， 故， 即数列的前10项和为，常数列1的前10项和为10， 故数列前10项和为. （2）数列的通项公式为， 在数列中，，，，， 故. （3）数列满足，则，， ， 数列是以3为首项，3为公比的等比数列，， 由（2）可知，， 设数列中的第项等于数列中的第项，即，则是数列中的项. 不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项，数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 故 【点睛】关键点点睛：对本题的前2问，需理解二阶等差数列的求和公式. . 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【详解】（1）依题意，，则， 所以. （2）依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. （3）依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)已知数列满足，且数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量法即可求解等差数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求数列的前项和； （3）首先利用进行放缩得，再利用裂项相消法求和即可求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，. ，， ，解得. ∴数列的通项公式为. （2）由（1）知，又， . ∴数列的前项和①， ②， ①-②得 ， . ∴数列的前项和. （3）由（1）知，. ， . 设数列的前项和，数列的前项和， 则 ， ， . 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式与数列求和. 数列求和的常用方法有：公式法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法和、倒序相加法. 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 7．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由（1）知，然后利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在，使得成立，分离参数，变形后利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）由，可得， 又，所以是1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以； （2）由（1）知，所以， ， 两式相减，得， 故； （3）由（1）知， 所以 ， 由题可知，存在，使得成立， 所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 8．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 9．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． (1)求数列，的通项公式． (2)设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）； （ⅱ）λ的最大值为7 【分析】（1）由等差数列的通项公式求得，从而求得数列的通项公式，由递推公式可得数列是等比数列，从而求出数的通项公式； （2）（ⅰ）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求出；（ⅱ）由，可得，构造数列，利用作差法判断数列的单调性，从而求得的最大值. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且，所以， 所以，解得，所以， 因为，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）（ⅰ）因为， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以； （ⅱ）由，可得，令， 则， 所认单调递增，所以，所以λ的最大值为7． 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 【答案】(1) (2)①392；② 【分析】（1）根据题意求，即可得结果； （2）根据题意分析可知数列是以首项和公比均为的等比数列，进而可得.①结合题意即可得；②根据题意可得的通项公式，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为数列的前4项分别为， 则， 所以的前4项分别为 （2）因为，即， 且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列， 则，所以. ①当为奇数时，； 当为偶数时，，可知数列为递增数列， 可知， 所以； ②当时，； 当时，， （i）当为奇数时， ， 令， 作差得 ， 所以； 经检验也满足上式，所以； （ii）当为偶数时，； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：1.错位相减法的关注点 （1）适用题型：等差数列与等比数列对应项相乘型数列求和； （2）步骤：①求和时先乘以数列的公比；②把两个和的形式错位相减；③整理结果形式． 2.分奇偶的求和问题 如果数列的奇数项与偶数项有不同的规律，当n为奇数或偶数时的表达式不一样，因此需要分奇偶分别求. 11．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前项和公式求和． （3）即得，分为奇数和为偶数两种情况对进行变形，将不等式恒成立问题转化为求最值问题，结合数列的单调性即可解答. 【详解】（1）∵①， 当时，②， ①②，得． 所以， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为． （2）由（1）知，得， 则③， ④， ③④得， 所以． （3）得， 又因为 当为奇数时，由对任意的恒成立，得 ，即 当为偶数时，由对任意的恒成立，得 ，即， 所以. 12．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，的前项和为．等差数列满足，，且前项和为． (1)求数列和通项公式； (2)若对，有恒成立，求实数的最小值； (3)设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用数列通项与前项和的关系求出，然后得到为等差数列，求得，再求得、，计算数列的通项公式即可； （2）由参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出该数列的最大值，由此可求得实数的取值范围； （3）先求出区间的端点值，然后明确的项为奇数，得到中奇数的个数，得到通项公式，然后求和即可. 【详解】（1）由题可知，当时，； 当时，得， 因为，两式相减得， 经检验，当时，，则，， 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，，等差数列的公差. 所以. （2）由（1）可得， 对，有恒成立，即，即， 令，则， 当且时，，即，可得； 当且时，，即，可得， 所以，数列中的最大项为，则， 因此，实数的取值范围是. （3）由（1）可知，，， 因为，所以为奇数， 故为区间的奇数个数， 显然，为偶数，所以， 所以. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$