专题05 平行线的性质与判定期末复习(九大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题05 平行线的性质与判定期末复习（九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1 题型二 平行线的判定 3 题型三 平行公理的应用 4 题型四 平行线的性质 6 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 7 题型六 根据平行线的性质求角的度数 10 题型七 平行线的性质在生活中的应用 13 题型八 根据平行线判定与性质求角度 15 题型九 根据平行线判定与性质证明 18 过关检测 21 题型一 同位角、内错角、同旁内角 例1：如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 变式训练一 1．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 2．如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 题型二 平行线的判定 例2：将一张纸条按如图所示方式折叠，下列条件能说明纸条两边平行的是（   ） A． B． C． D． 变式训练二 1．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型三 平行公理的应用 例3：如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 变式训练三 1．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 题型四 平行线的性质 例4：如图，已知，，则 变式训练四 1．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？    题型五 根据平行线的性质探究角的关系 例5：如图，若，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 变式训练五 1．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 2．如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 题型六 根据平行线的性质求角的度数 例6：如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式训练六 1．如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 题型七 平行线的性质在生活中的应用 例7：如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练七 1．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 题型八 根据平行线判定与性质求角度 例8：如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，，点在上，连接，，，若，求的度数． 变式训练八 1．请将解答过程填写完整： 如图，，，若，求的度数． 解：（已知）， （_____）． ， _____（等量代换）． ∥_____． _____（两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， _____（等式的性质）． 2．如图，点，在直线上，点在直线上，，，，，．求的度数． 题型九 根据平行线判定与性质证明 例9：已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 变式训练九 1．如图，平分，平分，若，则和是怎样的位置关系，并说明理由． 2．如图，已知D、E、F分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 一、单选题 1．如图所示是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其直接理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 2．如图，直线分别交的两边于点，，则和的位置关系是（   ） A．内错角 B．对顶角 C．同旁内角 D．同位角 3．如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 4．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 5．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 7．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，用含的式子表示，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线b与的夹角的度数，即直线a，b所成角的度数，请写出这种做法的理由 ． 10．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）． 11．如图，若，， 则与的位置关系是 12．如图，若，则 °． 13．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 三、解答题 14．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 15．如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　） (2)（已知），（　　）； (3)（已知），∴（　　） 16．如图，直线，直线、被直线所截，平分，平分， (1)若，求的度数； (2)判断的结果，并说明理由．  17．推理填空： 如图，，，点E在线段上，点F在射线上，若，则平分，请说明理由． 解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴ ，（ ） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∴ ．（等量代换） ∴平分． 18．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行线的性质与判定期末复习（九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 同位角、内错角、同旁内角 1 题型二 平行线的判定 3 题型三 平行公理的应用 4 题型四 平行线的性质 6 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 7 题型六 根据平行线的性质求角的度数 10 题型七 平行线的性质在生活中的应用 13 题型八 根据平行线判定与性质求角度 15 题型九 根据平行线判定与性质证明 18 过关检测 21 题型一 同位角、内错角、同旁内角 例1：如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 变式训练一 1．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 2．如图，直线截直线，下列说法正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角定义，对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A．与是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．与是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．与是内错角，原说法错误，不符合题意； D．与是同旁内角，原说法正确，符合题意． 故选：D． 题型二 平行线的判定 例2：将一张纸条按如图所示方式折叠，下列条件能说明纸条两边平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A.由不能得到对边平行，故不正确； B. 由不能得到对边平行，故不正确； C. 由，可得，根据内错角相等，两直线平行即可得到对边平行，故正确； D. 由不能得到对边平行，故不正确； 故选：C． 变式训练二 1．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意； D、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意； 故选：C． 2．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．解答本题的关键是明确平行线的判定方法． 【详解】解：， ，不能得到，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ， ，不能得到，故④不符合题意； 故选：B． 题型三 平行公理的应用 例3：如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 变式训练三 1．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 2．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 题型四 平行线的性质 例4：如图，已知，，则 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行同位角相等”，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式训练四 1．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：A． 2．如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．由得，结合角平分线的定义可证，从而，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得结论．． 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 题型五 根据平行线的性质探究角的关系 例5：如图，若，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．过点E作，则，根据平行线的性质计算求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式训练五 1．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 2．如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，推出，即可得到答案； （2）由得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ，， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：． 题型六 根据平行线的性质求角的度数 例6：如图1是一款平板桌面支架，其示意图如图2所示，折线是固定支架，且，平板，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，交的延长线于点Q，过点B作，利用平行线的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点Q，过点B作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 故选：D． 变式训练六 1．如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 题型七 平行线的性质在生活中的应用 例7：如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 变式训练七 1．为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是 °． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 题型八 根据平行线判定与性质求角度 例8：如图，在三角形中，点，分别在边，上，连接，，点在上，连接，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 延长交于点，由，得到，推出，得到，推出，得到，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式训练八 1．请将解答过程填写完整： 如图，，，若，求的度数． 解：（已知）， （_____）． ， _____（等量代换）． ∥_____． _____（两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， _____（等式的性质）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据题意，利用平行线的判定和性质填空即可． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， ∴． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知） （等式的性质）． 2．如图，点，在直线上，点在直线上，，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了运用平行线的判定与性质求角的度数，先由垂直的定义得．所以．得，因为，则，运用内错角相等，两直线平行，得，则，．再把，代入进行计算，得，即可作答． 【详解】解：如图，设交于点，交于点． ∵，， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴ ∴ ∴． ∴． 题型九 根据平行线判定与性质证明 例9：已知：如图，，，，垂足分别为，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （______）． ______（ ）． ∴______（   ）， ______（   ）． 又∵（已知）， （______）， 即为的平分线． 【答案】垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据垂直定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义 ）． （同位角相等，两直线平行）． ∴（ 两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， （等量代换）， 故答案为：垂直的定义；；同位角相等；两直线平行；；两直线平行；内错角相等；；两直线平行；同位角相等；2；3；等量代换． 变式训练九 1．如图，平分，平分，若，则和是怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据，得到，再根据角平分线得到，即可证明平行． 【详解】解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，已知D、E、F分别是线段、、上的点，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图所示是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其直接理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平移可知，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：如图， （同位角相等，两直线平行） 故选：A． 2．如图，直线分别交的两边于点，，则和的位置关系是（   ） A．内错角 B．对顶角 C．同旁内角 D．同位角 【答案】D 【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键． 结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可． 【详解】根据题意可得，和的位置关系是同位角． 故选：D． 3．如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【详解】解：如图 ，， ， ． 故选B． 4．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 5．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先根据角之间的关系可证，再根据两直线平行，内错角相等可得：． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：B． 6．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角． 在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不能判定； B、∵，又∵，故，能判定； C、，，不能判定； D、和是同旁内角，，不能判定； 故选：B． 7．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ， ， ， ∴； 故选：C． 8．如图，，用含的式子表示，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和定理，熟练掌握性质和判定是解题的关键．构造辅助线，利用平行线的性质，多边形的内角和定理解答即可． 【详解】解法1：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 解法2：过点E作 ，过点F作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题 9．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线b与的夹角的度数，即直线a，b所成角的度数，请写出这种做法的理由 ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的性质得出即可． 将直线a向右平移至c处，利用平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：将直线a向右平移至c处，如图所示： ∵， ∴， ∴，即为直线a，b所成角的度数， 理由为：两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 10．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 12．如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，准确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键； 过点O作，可得，再根据平行线的性质得，然后根据平角定义得，最后代入整理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 13．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角的性质等知识点，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． 根据行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，又∵，即，故③正确； ④根据两直线平行，内错角线段可得：，故④正确． 故答案为：①②③④． 三、解答题 14．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 15．如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　） (2)（已知），（　　）； (3)（已知），∴（　　） 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）解：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）解：（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 16．如图，直线，直线、被直线所截，平分，平分， (1)若，求的度数； (2)判断的结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等，可得，再根据角平分线的定义即可求解； （2）由两直线平行，同旁内角互补，可得，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解： ，   理由：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴． 17．推理填空： 如图，，，点E在线段上，点F在射线上，若，则平分，请说明理由． 解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴ ，（ ） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴ ，（两直线平行，同位角相等） ∴ ．（等量代换） ∴平分． 【答案】；两直线平行，同位角相等；； 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．根据平行线的性质证明出即可得证． 【详解】解：理由如下： ∵， ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴．（等量代换） 又∵， ∴． ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴．（等量代换） ∴平分． 18．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$