专题04 两条直线的位置关系期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题04两条直线的位置关系期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 对顶角的定义 1 题型二 对顶角相等 2 题型三 求一个角的余角 3 题型四 求一个角的补角 3 题型五 与余角、补角有关的计算 4 题型六 同（等）角的余（补）角相等 4 题型七 垂线定义的理解 4 题型八 画垂线 5 题型九 垂线段最短 6 题型十 点到直线的距离 7 过关检测 8 题型一 对顶角的定义 例1：在图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 变式训练一 1．如果把如图所示的工具的构造看作几条相交的直线，其中有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 题型二 对顶角相等 例2：如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式训练二 1．如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 题型三 求一个角的余角 例3：如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 变式训练三 1．若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 2．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 题型四 求一个角的补角 例4：若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 变式训练四 1．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 题型五 与余角、补角有关的计算 例5：已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 变式训练五 1．是任意一个锐角，则的补角比的余角大 ． 2．已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 ． 题型六 同（等）角的余（补）角相等 例6：如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 变式训练六 1．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 题型七 垂线定义的理解 例7：如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 变式训练七 1．如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路．已知角，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF，使之与地面的夹角为（   ） 如 A． B． C． D． 2．如图，已知与交于点，且，垂足为，若，则 度． 题型八 画垂线 例8：已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练八 1．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 2．如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 题型九 垂线段最短 例9：数学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（   ） A． B． C． D． 变式训练九 1．如图，在铁路线上有A、B、C、D四点，任选一点来建火车站．为使清水村人乘车最方便，火车站应建在点 处． 2．立定跳远测量基准：从起跳线（或延长线）到落地点的最近痕迹的垂直距离．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 题型十 点到直线的距离 例10：如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ． 变式训练十 1．如图，在三角形中，，于点，则点到直线的距离为线段 的长． 2．如图，点P到直线l距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 一、单选题 1．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（   ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 3．如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 4．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 5．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 6．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 7．如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 二、填空题 8．若一个角的度数为，则这个角的余角的度数为 ． 9．如图，如果，与互余，那么的度数是 ． 10．已知的补角度数为，则的度数为 ． 11．一个角的补角比它的余角的3倍还多，这个角的度数为 °． 12．如图，在三角形中，于点，于点，则图中表示点到直线距离的是线段 的长度． 三、解答题 13．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 14．如图，直线、交于点；，，求和的度数． 15．如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 16．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04两条直线的位置关系期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 对顶角的定义 1 题型二 对顶角相等 3 题型三 求一个角的余角 4 题型四 求一个角的补角 6 题型五 与余角、补角有关的计算 7 题型六 同（等）角的余（补）角相等 8 题型七 垂线定义的理解 9 题型八 画垂线 11 题型九 垂线段最短 13 题型十 点到直线的距离 14 过关检测 16 题型一 对顶角的定义 例1：在图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可． 【详解】解：由对顶角的定义可得，四个选项中，只有C选项中的与是对顶角， 故选：C． 变式训练一 1．如果把如图所示的工具的构造看作几条相交的直线，其中有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的意义是正确判断的前提．根据对顶角的意义结合具体图形进行判断即可．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，有对顶角的是B选项， 故选：B． 2．观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 题型二 对顶角相等 例2：如图，直线，相交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质：对顶角相等，掌握这一性质是解题的关键；根据对顶角相等即可作答． 【详解】解：； 故选：B． 变式训练二 1．如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、几何图形中角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键．由对顶角相等得，再由角的和差关系得出的度数． 【详解】解：如图， 与是对顶角，， ， ， 故选C． 2．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了对顶角的定义及性质，即两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，且对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 题型三 求一个角的余角 例3：如图，一块的直角三角板放在一条直线上，若，则 °； 【答案】35 【分析】本题考查平角的性质．由，计算可得结论． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为：35． 变式训练三 1．若，则的余角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：B． 2．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 【答案】10 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有10对； 故答案为：10 题型四 求一个角的补角 例4：若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 变式训练四 1．如图，若其中，则与互补的角有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是补角，若两个角的和等于，则这两个角互补，掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互补的角是, ∵， ∴， ∴与互补的角是， ∴与互补的角有3个， 故选：B． 2．一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与补角有关的计算，度数之和为180度的两个角互补，设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为；． 题型五 与余角、补角有关的计算 例5：已知一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为，再根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角为，补角为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 变式训练五 1．是任意一个锐角，则的补角比的余角大 ． 【答案】90 【分析】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题概念．先表示出的补角和余角，再作差求解即可． 【详解】解：是任意一个锐角， 的补角为，的余角为， ， 的补角比的余角大， 故答案为：． 2．已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】此题主要考查了余角和补角．设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 题型六 同（等）角的余（补）角相等 例6：如果，那么．证明它的依据是（   ） A．等量代换 B．同角的余角相等 C．余角的定义 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记余角的性质是解题的关键．根据同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴根据同角的余角相等，可得． 故选：B． 变式训练六 1．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 题型七 垂线定义的理解 例7：如图，直线，相交于点，，垂足为，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，由垂线的定义可得，则可求出的度数，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式训练七 1．如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路．已知角，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF，使之与地面的夹角为（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，已知与交于点，且，垂足为，若，则 度． 【答案】/125度 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差关系，对顶角相等等知识，利用垂直的定义可知，再运用求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 题型八 画垂线 例8：已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直 ，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 变式训练八 1．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】此题考查垂线的性质，根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行解答即可． 【详解】解：由画图过程可知，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C 2．如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 题型九 垂线段最短 例9：数学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的性质，直线的性质和垂线段最短，根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、打靶瞄准为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B、拉绳插秧为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、跳远测量成绩为垂线段最短，故该选项符合题意； D、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式训练九 1．如图，在铁路线上有A、B、C、D四点，任选一点来建火车站．为使清水村人乘车最方便，火车站应建在点 处． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到该直线上所有点的连线中，垂线段最短．据此可得答案． 【详解】解：由垂线段最短可知，为使清水村人乘车最方便，则火车站应建在点C， 故答案为：C． 2．立定跳远测量基准：从起跳线（或延长线）到落地点的最近痕迹的垂直距离．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，根据题意的分析，可以运用点到直线的距离的定义以及跳远比赛的规则作出分析和判断即可． 【详解】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段的长度， 故选：D． 题型十 点到直线的距离 例10：如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了点到直线的距离．根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴点C到的距离是． 故答案为： 变式训练十 1．如图，在三角形中，，于点，则点到直线的距离为线段 的长． 【答案】 【分析】本题考查点到直线之间的距离，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用点到直线的距离定义得出答案． 【详解】解：∵于点， ∴点到直线的距离为线段的长． 故答案为：． 2．如图，点P到直线l距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：由点到直线的距离定义，可知点P到直线l距离是线段的长度， 故选：C． 一、单选题 1．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的识别，掌握对顶角的定义，数形结合分析是关键． 在一个平面内，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做互为对顶角、两条直线相交，构成两对对顶角，由此即可求解． 【详解】解：A、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、是三条直线相交的角，不符合题意； C、是对顶角，符合题意； D、是三条直线相交的角，不符合题意； 故选：C ． 2．下列说法中，正确的有（   ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，平面内，两直线的位置关系，补角的定义，平面内，两直线只有平行和相交两种位置关系，据此可判断①；根据垂线的定义可判断②；当该点在直线上时，过该点不能作出已知直线的平行线，据此可判断③；同角或等角的补角相等，据此可判断④． 【详解】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，原说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ④同角或等角的补角相等，原说法正确； ∴说法正确的有②④， 故选：C． 3．如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，解题的关键是掌握垂线段最短的定理．根据题意，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短， 故选：A． 4．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 5．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 6．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 7．如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 二、填空题 8．若一个角的度数为，则这个角的余角的度数为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：若一个角的度数为，则这个角的余角的度数为， 故答案为：． 9．如图，如果，与互余，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，属于基础题，计算过程中细心即可． 根据余角的定义及等角的余角相等，对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．已知的补角度数为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了求一个角的补角，根据互补的两个角的和为计算即可得解． 【详解】解：∵的补角度数为， ∴的度数为， 故答案为：． 11．一个角的补角比它的余角的3倍还多，这个角的度数为 °． 【答案】55 【分析】本题考查与余角和补角，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．设这个角的度数为，根据和为180度的两个角互为补角，和为90度的两个角互为余角，结合已知条件，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 整理得，， 解得， 所以这个角的度数为， 故答案为：55． 12．如图，在三角形中，于点，于点，则图中表示点到直线距离的是线段 的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查的是点到直线的距离．熟知点到直线的距离的就是这个点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 根据“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行解答即可． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴图中表示表示点到直线距离的是线段的长度． 故答案为：． 三、解答题 13．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． 14．如图，直线、交于点；，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据垂直的定义得，再根据得，即可得，，再根据邻补角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 15．如图，直线相交于点，，． (1)写出的所有余角及和它相等的角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)、是的余角；； (2)． 【分析】本题主要考查了补角的定义和角度计算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （），，推出，，再则对顶角相等，通过等角的余角相等，可求解； （）利用角度和差求解即可； 【详解】（1）解：、是的余角；，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴、是的余角； （2）解：∵， ∴， 解得． 16．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)设，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了对顶角的性质，互余的性质，角平分线的定义等知识，熟练利用这两个性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得，再利用互余关系即可求解； （2）由对顶角的性质及互余的性质得，再由是的平分线，得，从而得，利用互余的性质得，从而得证． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$