6.4多边形的内角和与外角和同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下6.4多边形的内角和与外角和 一．选择题（共10小题） 1．已知正n边形的一个内角为144°，则边数n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（　　） A．180° B．360° C．（n﹣2）•180° D．n•180° 4．把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．5 D．3 5．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个角是（　　） A．90° B．15° C．120° D．130° 6．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（　　） A．360° B．560° C．720° D．900° 7．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1080°，则原来多边形的边数可能是（　　） A．7，8，9 B．8，9，10 C．6，7，8 D．7，8 8．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米， 再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　） A．100米 B．110米 C．120米 D．200米 9．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（　　） （第8题） A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180° C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变 10．将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图位置放置，若∠1＝52°，那么∠2=（　　） A．52° B．58° C．62° D．68° （第10题） 二．填空题（共6小题） 11．如果一个正多边形的每个外角都是24°，那么这个多边形有　 　 条边，共有　 　 条对角线． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 　 　 ． 13．在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠D＝　 　 ． 14．一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形内角和为 　 　 度． 15．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 　 　 ． 16．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时， 则图中阴影部分的面积之和为 　 　 cm2．（注：结果用含π的式子表示） 三．解答题（共7小题） 17．一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为1680°，求这个多边形的边数 18．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和． 19．观察下面图形，并回答问题． （1）四边形有 　 　 条对角线；五边形有 　 　 条对角线；六边形有 　 　 条对角线； （2）根据规律七边形有 　 　 条对角线，n边形有 　 　 条对角线； （3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 20．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD． （1）若∠1＝48°，求∠2的度数； （2）求证：AB∥DE． 21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120° 求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA． （1）求证：BE∥DF；（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小． 23．一个多边形少加了一个内角，其余内角的度数之和是2000°，求少加的这个内角的度数和这个多边形的边数． 北师大版数学8年级下6.4多边形的内角和与外角和 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A D B A A D D 一．选择题（共10小题） 1．已知正n边形的一个内角为144°，则边数n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据多边形的内角和公式和已知得出144°n＝（n﹣2）×180°，求出即可． 【解答】解：根据题意得：144°n＝（n﹣2）×180°， 解得：n＝10， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出方程144°n＝（n﹣2）×180°是解此题的关键． 2．一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【分析】根据正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，可得外角，再根据外角公式，可得答案． 【解答】解：由题意，得 外角+相邻的内角＝180°且外角＝相邻的内角， ∴外角＝90°， 360÷90＝4， 正多边形是正方形， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数得出一个外角的度数是解题关键． 3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（　　） A．180° B．360° C．（n﹣2）•180° D．n•180° 【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果． 【解答】解：设多边形的边数是n，则此n边形的内角和为（n﹣2）•180°， 如果将n边形的边数增加一倍，那么n边形变为2n边形，此2n边形的内角和为（2n﹣2）•180°， 所以内角和增加（2n﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°＝n•180°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 4．把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了720°，则x的值为（　　） A．4 B．6 C．5 D．3 【分析】根据多边形的内角和公式进行选择即可． 【解答】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度， 720°÷180°＝4， ∴x＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和外角是解题的关键． 5．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个角是（　　） A．90° B．15° C．120° D．130° 【分析】n边形的内角和为（n﹣2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用2 570°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补． 【解答】解：∵2 570°÷180°＝14…50°， ∴去掉的内角为180°﹣50°＝130°， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数． 6．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（　　） A．360° B．560° C．720° D．900° 【分析】利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和一定是180的整数倍，由此即可找出答案． 【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n﹣2）•180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍． ∴在这四个选项中不是180的倍数的是560°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 7．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1080°，则原来多边形的边数可能是（　　） A．7，8，9 B．8，9，10 C．6，7，8 D．7，8 【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n， 则（n﹣2）•180°＝1080°， 解得：n＝8， 则原多边形的边数为7或8或9． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形的内角和公式，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）． 8．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（　　） A．100米 B．110米 C．120米 D．200米 【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可． 【解答】解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°， ∴他走过的图形是正多边形， 边数n＝360°÷36°＝10， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100（米）． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键． 9．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（　　） A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180° C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变 【分析】根据多边形的内角和定理以及外角和等于360°，计算后直接选择答案． 【解答】解：∵多边形内角和为（n﹣2）•180°，外角和为360°， ∴多边形边数增加一条，内角和增加180°，外角和不变． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和公式，需要注意，多边形的外角和与边数无关． 10．将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图位置放置，若∠1＝52°，那么∠2的大小为（　　） A．52° B．58° C．62° D．68° 【分析】过点C作CM与直尺长边平行，可得∠BCM＝∠2，∠DCM＝∠1＝52°，再由正六边形的性质可得∠BCD＝120°，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CM与直尺长边平行， ∴∠BCM＝∠2，∠DCM＝∠1＝52°， ∵多边形ABCDEF为正六边形， ∴， ∴∠BCM＝∠2＝∠BCD﹣∠DCM＝68°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理． 二．填空题（共6小题） 11．如果一个正多边形的每个外角都是24°，那么这个多边形有　15　 条边，共有　90　 条对角线． 【分析】（1）利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是24°，即可求出答案． （2）根据一个多边形有n（n﹣3）条对角线，即可算出有多少条对角线． 【解答】解：（1）∵360÷24＝15， ∴这个正多边形有15条边； （2）∴n（n﹣3）15×（15﹣3）＝90， ∴这个正多边形共有90条对角线． 故答案为：15；90． 【点评】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为n（n﹣3）条． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 　12　 ． 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得， （n﹣2）×180°＝5×360°， 解得n＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：（n﹣2）•180°以及多边形的外角和等于360°． 13．在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠D＝　36°　 ． 【分析】根据四边形的外角和定理，即可求解． 【解答】解：设∠A的外角＝x°，则∠B的外角＝2x°，∠C的外角＝3x°，∠D的外角＝4x°． 根据四边形的外角和定理，得到：x+2x+3x+4x＝360°， 解得：x＝36°． 则∠D＝180°﹣4×36°＝36°． 故答案为36°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解，难度适中． 14．一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形内角和为 　1080　 度． 【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解． 【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8， 多边形的内角和是：（8﹣2）•180°＝1080°． 故答案为：1080． 【点评】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，以及多边形内角和公式，利用外角和为360°求出多边形的边数是解题的关键． 15．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 　5　 ． 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数． 【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°， ∴多边形的每一个外角都等于180°﹣108°＝72°， ∴边数n＝360°÷72°＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 16．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　4π　 cm2．（注：结果用含π的式子表示） 【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积． 【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm， ∴S阴影4πcm2， 故答案为：4π． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为1680°，求这个多边形的边数 【分析】多边形中每个内角的范围在0°到180°之间． 【解答】解：设多边形有n条边，根据多边形内角和定理， 得0°＜180°×（n﹣2）﹣1680°＜180°， 解得：11n＜12． 由边数为正整数，得n＝12． 所以多边形的边数为12． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟练的运用多边形的内角和公式是解题的关键． 18．一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和． 【分析】设这个正多边形的一个外角的度数为x，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x＝6x+12°，解得x＝24°，再根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可． 【解答】解：设这个正多边形的一个外角的度数为x， 根据题意得180°﹣x＝6x+12°，解得x＝24°， 所以这个正多边形边数15， 所以这个正多边形的内角和＝（15﹣2）×180°＝2340°． 【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3，且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 19．观察下面图形，并回答问题． （1）四边形有 　2　 条对角线；五边形有 　5　 条对角线；六边形有 　9　 条对角线； （2）根据规律七边形有 　14　 条对角线，n边形有 　　 条对角线； （3）应用：10个人聚会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【分析】（1）根据图形即可求得答案； （2）根据已知图形总结规律即可求得答案； （3）根据总结的规律列式计算即可． 【解答】解：（1）由图形可得四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线； 故答案为：2；5；9； （2）根据规律七边形有14（条）条对角线，n边形有条对角线， 故答案为：14；； （3）35（次）， 即共握35次手． 【点评】本题考查多边形的对角线及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 20．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD． （1）若∠1＝48°，求∠2的度数； （2）求证：AB∥DE． 【分析】（1）依据六边形ABCDEF的各内角相等，可得一个内角的大小为，即可得到∠E＝∠F＝∠BAF＝120°，再依据四边形内角和为360°，即可得到∠2的度数； （2）先证明∠1＝∠2，再根据平行线的判定即可得到AB∥DE． 【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF的各内角相等， ∴一个内角的大小为， ∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°． ∵∠FAB＝120°，∠1＝48°， ∴∠FAD＝∠FAB﹣∠DAB＝120°﹣48°＝72°． ∵∠2+∠FAD+∠F+∠E＝360°，∠F＝∠E＝120°， ∴∠ADE＝360°﹣∠FAD﹣∠F﹣∠E＝360°﹣72°﹣120°﹣120°＝48°． （2）证明：∵∠1＝120°﹣∠DAF， ∠2＝360°﹣120°﹣120°﹣∠DAF＝120°﹣∠DAF， ∴∠1＝∠2， ∴AB∥DE． 【点评】本题主要考查了多边形内角，解题时注意：多边形内角和＝（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）． 21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【分析】先求出∠A对应的外角度数，根据多边形的外角和等于360°求出即可． 【解答】解： ∵∠A＝120°， ∴∠5＝180°﹣∠A＝60°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°． 【点评】本题考查了多边形的外角和，能知道多边形的外角和等于360°是解此题的关键． 22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA． （1）求证：BE∥DF； （2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小． 【分析】（1）根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行； （2）根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠1＝∠2∠ABC，∠3＝∠4∠ADC， ∴∠1+∠3（∠ABC+∠ADC）180°＝90°， 又∠1+∠AEB＝90°， ∴∠3＝∠AEB， ∴BE∥DF； （2）解：∵∠ABC＝56°， ∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°， ∵DF平分∠CDA， ∴∠ADF∠ADC＝62°． 【点评】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC和∠DFC的度数，难度适中． 23．一个多边形少加了一个内角，其余内角的度数之和是2000°，求少加的这个内角的度数和这个多边形的边数． 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）⋅180°（n≥3且n为整数），可得：多边形的内角和一定是180°的倍数，而多边形的内角一定大于0°，并且小于180°，用2020°除以180°，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【解答】解：∵2000°÷180°＝11…20°， ∴少加的这个内角的度数是：180°﹣20°＝160°． ∴这个多边形的边数是：（2000°+160°）÷180°+2＝14． 答：这个内角的度数为160°，多边形的边数为14． 【点评】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/6 13:46:47；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$