第03讲 绝对值与有理数大小的比较（知识清单+7大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03讲 绝对值与有理数大小的比较（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 绝对值的几何意义 题型二 求一个数的绝对值 题型三 绝对值非负性 题型四 绝对值的其他应用 题型五 利用数轴比较有理数的大小 题型六 有理数大小比较 题型七 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点2：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点3：有理数大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点归纳： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型方法 【题型一】绝对值的几何意义 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图数轴上点，，，分别对应实数，，，．则下列各数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，结合数轴可以得出四个数的绝对值的大小，进而判断即可，熟知离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，点D离原点距离最远，其次是点A，再次是点C，B点离原点距离最近， ∴， ∴其中值最大的是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一批零件，标准直径为，随机抽取4个样品进行检测，把测量结果超过标准直径的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．结果如下表，则最接近标准直径的是（    ） 零件编号 甲 乙 丙 丁 测量结果 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、正负数的实际应用 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，绝对值的实际应用，本题先求解各数的绝对值后，再比较绝对值的大小即可求得答案． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴最接近标准直径的是丙， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 /0.4 /0.4 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数和绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数是解题关键．根据相反数和绝对值的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是，绝对值是， 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，． (1)求线段的中点D所表示的数． (2)求线段（O为原点）的长． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或11 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义， （1）根据数轴上两点中点公式求解即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据数轴上两点之间的距离分点C在点A左边和点C在点A右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可． 【详解】（1）∵数轴上点A，B，所表示的数分别是，， ∴线段的中点D所表示的数为； （2）∵点D所表示的数为 ∴； （3）当点C在点A左边时，； 当点C在点A右边时，； 综上所述，x的值为或11． 【题型二】求一个数的绝对值 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）（   ） A． B．2021 C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握求一个数的绝对值的计算是解题的关键． 根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：， 故选：B ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列几种说法正确的是（　　） A．0是最小的数 B．最大的负数是 C．1的绝对值是1 D．0没有相反数 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的相关知识点，准确判断是解题的关键．根据有理数的相关知识点判断即可． 【详解】解：A．0不是最小的数，比0小的数还有负数，故不正确；     B．没有最大的负数，比大的负数还有等，故不正确； C．1的绝对值是1，正确； D．0的相反数是0，故不正确． 故选C． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）2023的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 / 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握基础知识是解题的关键．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数、负数的绝对值是其相反数即可求解． 【详解】解：2023的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数：，，，，，， (1)在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)指出其中，分数是_______________；非负整数是_______________． 【答案】(1)数轴表示见解析， (2)，，；， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】（1）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可； （2）非负整数是大于等于0的整数，再结合分数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， 数轴表示如下所示： ∴； （2）解：由（1）可知，分数是，，，非负整数是，， 故答案为：，，；，． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，有理数的分类，有理数大小 的比较；熟知相关知识是解题的关键． 【题型三】绝对值非负性 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 根据绝对值都是非负数，可得答案． 【详解】解∶， 当时，的最小值是1， 故答案为∶B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，绝对值的非负性得到为非负数，则：是非正数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴为非负数， ∴是非正数， 故选C． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若a表示一个有理数，则式子有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时， ． 【答案】 大 1 【知识点】绝对值非负性、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，有理数的减法运算．根据绝对值的非负性，得出有最小值0，得出有最大值． 【详解】解：∵， ∴有最大值， 且当即时，的最大值为：． 故答案为：大；1． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30； (2)当在之间时，点表示；当在点右侧时，点表示2； (3)点表示20，则第20次点表示的数与点重合；点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查实数与数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）根据，可以求得、的值，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点对应的数； （3）根据题意可以发现题目中点对应的数的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，，， ， 即、之间的距离为30， 故答案为：30； （2）解：∵，，数轴上一点距点24个单位长度， ， ， ， ， 当在之间时，点表示， 当在点右侧时，点表示2； （3）解：由题意可得， 第一次点表示， 第二次点表示2， 第三次点表示， 第次点表示， 点表示20，则第20次点表示的数与点重合， 点表示，第10次点表示的数是10，故点不与点重合． 【题型四】绝对值的其他应用 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一批物品，标准质量为每袋．现随机抽取袋进行检测，把超过标准质量的用正数表示，不足的用负数表示，那么，最接近标准质量的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， ， 最接近标准质量的是， 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为比赛用球，应选哪一个（   ） 排球 1号 2号 3号 4号 质量（克） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查正数和负数及绝对值．将表格中的数据分别求得对应的绝对值后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴4号排球最接近标准， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 【答案】或 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据求一个数的绝对值的逆运算可知 或，进而可求解． 【详解】求有理数的绝对值的方法 解：根据题意可知， ， 所以或， 所以 或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 【题型五】利用数轴比较有理数的大小 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）数轴上表示数的点的位置如图所示，则可以是（ ） A．3 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由数轴可知，即可解答． 【详解】解：由数轴可得，所以选项中只有符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则的值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上的两个点分别表示数和， ∴， 选项中只有符合， 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）从数轴上看，大于且不大于2的整数有 个． 【答案】5 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】大于且不大于2的整数在数轴上与2之间，结合分界点可得答案． 【详解】解：根据数轴可得大于且不大于2的整数有：、、0、1、2共5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，整数的含义，注意零也是整数． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）回答下列问题： (1)过点，两点画一条数轴，使点表示3，点表示． (2)在所画的数轴上将4，表示在数轴上，并将4，，3，这四个数用“”连接起来．______<______<______<______ 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查数轴及比较有理数的大小； （1）根据所给条件画出数轴即可； （2）先再数轴上表示出4，，根据数轴上的点所表示的数的大小，左边的总比右边的小即可得解． 【详解】（1）从B点往右数两个为0点，再往右数3格是A点， （2） 如图，再到数轴上找到1即可；同时找到4，再从左到右排序 故有： 【题型六】有理数大小比较 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四个数中比小的数是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】解：，，，且， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）无论取何值，代数式的值总是（   ） A．比大 B．比小 C．比大 D．比小 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 根据与的关系判断A，B，再根据与m的关系可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 所以A，B不正确； 无论m取何值时，， 所以C不正确，D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）比较大小： （填“”“”“”）． 【答案】 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （2）先化简，再根据正数大于负数即可得出比较结果； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （4）先化简这两个数，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 又∵， ∴； （4）解：，， ∵，， 又∵， ∴， 即． 【题型七】有理数大小比较的实际应用 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 金华 南京 西安 厦门 A．金华 B．南京 C．西安 D．厦门 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】此题考查了比较有理数大小的应用．根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小，据此即可得到解答． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是西安， 故选：C 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是某一时刻我国四个城市的气温：哈尔滨，北京，杭州，海口，请问该时刻气温最高的城市是（   ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．海口 【答案】D 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，比较即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该时刻气温最高的城市是海口， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）水的凝固温度是，酒精的凝固温度是，水银的凝固温度是，凝固温度最高的是 ，凝固温度最低的是 【答案】 水 酒精 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．比较三种物品的凝固温度，即可得到答案． 【详解】解：， 凝固温度最高的是水，凝固温度最低的是酒精， 故答案为：水；酒精． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只． (1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用； (2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由． 【答案】(1)该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元 (2)当时，按方案一购买比较实惠．理由见解析 【知识点】有理数大小比较的实际应用、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式的实际应用， （1）根据所给优惠规则列代数式即可； （2）将代入（1）中结论，求出两个代数式的值，比较大小即可； 解题的关键是根据题意正确列出代数式． 【详解】（1）解：若该客户按方案一购买，需付款：元， 若该客户按方案二购买，需付款：元， ∴该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元； （2）按方案一购买比较实惠，理由如下： 当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴当时，按方案一购买比较实惠． 好题必刷 一、单选题 1．下列四个有理数中，最小的数是(   ) A． B．-0.2 C．-20 D．0 【答案】C 【分析】根据有理数大小比较法则解答． 【详解】解：∵，，， ∵正数＞零＞负数，且， ∴． ∴最小的数是． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小． 2．有理数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上左边的数小于右边的数直接判断即可． 【详解】解：由数轴可知，有理数在数轴上的位置从左到右依次是， 则的大小关系是． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数大小，解题关键是明确数轴上左边的数小于右边的数． 3．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．在，，，中负数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的定义，先化简多重符号和绝对值，再根据负数是小于0的数进行求解即可． 【详解】解：，，，， ∴负数有，，共2个， 故选：B． 5．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（    ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可． 【详解】解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件； 当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0， ∴==－1； 当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件； 当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件， 综上，=－1， 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 6．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值运算，有理数的减法运算，由得到，根据，确定有两种情况：分别进行计算即可求解，掌握绝对值运算及分类讨论是解题的关键. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴时，；时，； 当，时， ； 当，， ； ∴的值为或， 故选：B. 7．小明做这样一道题：“计算：”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果等于9，那么“■”表示的数是（   ） A．5 B． C．或13 D．5或13 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求得结果，采用排除法判定正确选项． 【详解】设这个数为x， ∵， ∴或， ∴或． 故选：C 【点睛】本题考查了绝对值的运算．解题的关键是注意绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数． 8．若，则的值为（　　） A．-13 或 13 B．-1或1 C．13或1 D．-13或-1 【答案】D 【分析】根据两数和的绝对值等于其相反数，可得，进而求得的值，代入进行计算即可求解． 【详解】∵， ∴，且， ∴，， ∴或． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，确定的值是解题的关键． 9．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，得，再根据有理数加减和绝对值的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解． 10．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 二、填空题 11．比较大小：   （填、或） 【答案】> 【分析】先计算，然后根据正数大于0，负数小于0比较大小． 【详解】解：∵>0，<0， ∴； 故答案为：>． 【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小． 12．（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ． （2）正数大于零，负数 零，正数 负数． 【答案】 大 小于 大于 【解析】略 13．绝对值不大于4.6的整数有 个，它们的和是 ． 【答案】 9 0 【分析】此题考查了绝对值的意义，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．找出绝对值不大于4.6的所有整数，求出之和即可． 【详解】解：绝对值不大于4.6的整数有0，，，，，共9个， ，即它们的和是0． 故答案为：9，0． 14．若a，b为实数，且，求的值 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了绝对值和平方的非负性，正确求出a，b的值是解题关键． 首先利用分式为0的条件和平方以及绝对值的性质得出a，b的值，进而代入求出即可． 【详解】由， 得，且， 所以且， 所以， 所以； 故答案为：2． 15．已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ． 【答案】0 【分析】）当a，b，c为正数时，有最大值3，当a，b，c为负数时，有最小值-3，求得m、n值，从而可求解． 【详解】解：当a，b，c为正数时，有最大值是3, ∴m=3， 当a，b，c为负数时，的最小值是-3， ∴n=-3． ∴m+n=3-3=0． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论． 16．（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 【答案】 2.4 3 0 【分析】根据绝对值的代数意义解答即可．绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【详解】（1）2.4到原点的距离是2.4，所以； 故答案为：2.4 （2）到原点的距离是3，所以； 故答案为：3； （3）0到原点的距离是0，所以． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了绝对值，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义． 三、解答题 17．求下列各数的绝对值： （1）﹣38； （2）0.15； （3）a（a＜0）； （4）3b（b＞0）； （5）a﹣2（a＜2）； （6）a﹣b． 【答案】（1）38；（2）0.15；（3）﹣a；（4）3b；（5）2﹣a；（6）a﹣b≥0时， a﹣b；a﹣b＜0时， b﹣a． 【详解】（1）|﹣38|＝38； （2）|+0.15|＝0.15； （3）∵a＜0， ∴|a|＝﹣a； （4）∵b＞0， ∴3b＞0， ∴|3b|＝3b； （5）∵a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a； （6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b； a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a． 18．把下列各数分别填在相应的集合里（填序号）： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧3.14，⑨， ⑩ 负数集合｛____________｝ 分数集合｛____________｝ 有理数集合｛____________｝ 无理数集合｛____________｝ 【答案】②④⑥；②③⑦⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨；⑥⑩ 【分析】根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：④，⑤，⑨， 负数集合｛②④⑥｝ 分数集合｛②③⑦⑧｝ 有理数集合｛①②③④⑤⑦⑧⑨｝ 无理数集合｛⑥⑩｝ 故答案为：②④⑥；②③⑦⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨；⑥⑩． 【点睛】本题考查了有理数与无理数，能熟记正数、整数、负数、无理数的定义是解此题的关键． 19．已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号： （1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可； （3）在数轴上表示出各数即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数有，，，； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 20．阅读下列过程，回答问题 （1）通过计算下列各式的值探究问题： ______，______，______，______． 探究：当时，______；当时，______． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1）2；0；；3：a；；（2）应用：． 【分析】（1）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【详解】解：（1）2，0，，3． 探究：当时， a；当时，-a 故答案为：2；0；；3：a；； （2）观察数轴可知：−2＜a＜−1，0＜b＜1，a＋b＜0． ＝|a|+|b|＋|a＋b|＝−a+b-a−b＝−2a． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． 21．（1）已知，且，求的值 （2）已知x是最小正整数，y ，z是有理数，且有，计算： ①求x，y，z的值．②求的值． 【答案】（1）（2）①，②8 【分析】（1）根据绝对值的意义，求出的值，再代入代数式计算即可； （2）①根据1是最小正整数，得到，绝对值的非负性，求出的值；②将①的值代入，计算即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， ∴； （2）①∵x是最小正整数， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①知：，， ∴． 【点睛】本题考查代数式求值，绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，是解题的关键． 22．读下列列料对子有理数x，，可知，当时，． 用这个结论解决问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，求的值． 【答案】(1) (2)或3 (3) 【解析】略 23．把下列各数填在相应的括号内（填序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个3之间依次多一个2） (1)整数集合{                                    …}； (2)分数集合{                                    …}； (3)无理数集合{                                    …}． 【答案】(1)④⑤ (2)①③⑥ (3)②⑦⑧ 【分析】本题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，是基础题，根据整数、分数、无理数的定义分别填空即可．熟记概念是解题的关键． 【详解】（1）解：整数集合：④⑤， 故答案为：④⑤； （2）分数集合：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）无理数集合：②⑦⑧． 故答案为：②⑦⑧． 24．数轴上点A，B，C的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点,则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“＜”号连接的结果是_________． 【答案】(1)A， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，数轴上平移计算，数轴比较数的大小． (1)根据数轴的意义，确定点；根据左减右加计算即可． (2)根据数的大小和符号两个方面去解答即可． (3)根据数轴上越靠近右边的数越大比较解答即可． 【详解】（1）根据题意，得表示有理数的点是点A， 故答案为：A； ∵点C表示的数是2， ∴向左移动4个单位长度得到点表示的数为， 故答案为：． （2）根据题意，数轴表示如下： ． （3）根据数轴表示，不等号连接结果如下： ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 绝对值与有理数大小的比较（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 绝对值的几何意义 题型二 求一个数的绝对值 题型三 绝对值非负性 题型四 绝对值的其他应用 题型五 利用数轴比较有理数的大小 题型六 有理数大小比较 题型七 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点2：绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点3：有理数大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点归纳： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型方法 【题型一】绝对值的几何意义 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图数轴上点，，，分别对应实数，，，．则下列各数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一批零件，标准直径为，随机抽取4个样品进行检测，把测量结果超过标准直径的部分用正数表示，不足的部分用负数表示．结果如下表，则最接近标准直径的是（    ） 零件编号 甲 乙 丙 丁 测量结果 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是，，． (1)求线段的中点D所表示的数． (2)求线段（O为原点）的长． (3)若，求x的值． 【题型二】求一个数的绝对值 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）（   ） A． B．2021 C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列几种说法正确的是（　　） A．0是最小的数 B．最大的负数是 C．1的绝对值是1 D．0没有相反数 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）2023的相反数是 ；的绝对值是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）把下列各数：，，，，，， (1)在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)指出其中，分数是_______________；非负整数是_______________． 【题型三】绝对值非负性 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若a表示一个有理数，则式子有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时， ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)、之间的距离为 ； (2)数轴上一点距点24个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数． (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，，点能移动到与或重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由． 【题型四】绝对值的其他应用 【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一批物品，标准质量为每袋．现随机抽取袋进行检测，把超过标准质量的用正数表示，不足的用负数表示，那么，最接近标准质量的是（      ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为比赛用球，应选哪一个（   ） 排球 1号 2号 3号 4号 质量（克） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）老师在课上出了一道有关绝对值的计算题：，若该题的计算结果为，则“”处的数为 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【题型五】利用数轴比较有理数的大小 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）数轴上表示数的点的位置如图所示，则可以是（ ） A．3 B． C．0 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则的值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）从数轴上看，大于且不大于2的整数有 个． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）回答下列问题： (1)过点，两点画一条数轴，使点表示3，点表示． (2)在所画的数轴上将4，表示在数轴上，并将4，，3，这四个数用“”连接起来．______<______<______<______ 【题型六】有理数大小比较 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列四个数中比小的数是（   ） A．0 B． C． D．1 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）无论取何值，代数式的值总是（   ） A．比大 B．比小 C．比大 D．比小 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）比较大小： （填“”“”“”）． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【题型七】有理数大小比较的实际应用 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 金华 南京 西安 厦门 A．金华 B．南京 C．西安 D．厦门 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）以下是某一时刻我国四个城市的气温：哈尔滨，北京，杭州，海口，请问该时刻气温最高的城市是（   ） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．海口 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）水的凝固温度是，酒精的凝固温度是，水银的凝固温度是，凝固温度最高的是 ，凝固温度最低的是 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只． (1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用； (2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．下列四个有理数中，最小的数是(   ) A． B．-0.2 C．-20 D．0 2．有理数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 4．在，，，中负数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（    ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 6．当，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．小明做这样一道题：“计算：”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果等于9，那么“■”表示的数是（   ） A．5 B． C．或13 D．5或13 8．若，则的值为（　　） A．-13 或 13 B．-1或1 C．13或1 D．-13或-1 9．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 10．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小：   （填、或） 12．（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ． （2）正数大于零，负数 零，正数 负数． 13．绝对值不大于4.6的整数有 个，它们的和是 ． 14．若a，b为实数，且，求的值 ． 15．已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ． 16．（1）2.4到原点的距离是2.4，所以 ； （2）到原点的距离是3，所以 ； （3）0到原点的距离是0，所以 ． 三、解答题 17．求下列各数的绝对值： （1）﹣38； （2）0.15； （3）a（a＜0）； （4）3b（b＞0）； （5）a﹣2（a＜2）； （6）a﹣b． 18．把下列各数分别填在相应的集合里（填序号）： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧3.14，⑨， ⑩ 负数集合｛____________｝ 分数集合｛____________｝ 有理数集合｛____________｝ 无理数集合｛____________｝ 19．已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 20．阅读下列过程，回答问题 （1）通过计算下列各式的值探究问题： ______，______，______，______． 探究：当时，______；当时，______． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 21．（1）已知，且，求的值 （2）已知x是最小正整数，y ，z是有理数，且有，计算： ①求x，y，z的值．②求的值． 22．读下列列料对子有理数x，，可知，当时，． 用这个结论解决问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，求的值． 23．把下列各数填在相应的括号内（填序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个3之间依次多一个2） (1)整数集合{                                    …}； (2)分数集合{                                    …}； (3)无理数集合{                                    …}． 24．数轴上点A，B，C的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点_______，将点向左移动4个单位长度得到点,则点表示的有理数是_______； (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和； (3)将，，，这四个数用“＜”号连接的结果是_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$