第02讲 数轴 （知识清单+6大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02讲 数轴 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 数轴上两点之间的距离 题型四 相反数的定义 题型五 化简多重符号 题型六 相反数的应用 知识清单 知识点1：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 题型方法 【题型一】数轴的三要素及其画法 【例1】（七年级上·浙江温州·期中）下列表示数轴的选项中，正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【详解】解：A、没有原点，不符合题意； B、单位长度不统一，不符合题意； C、-2和-1的位置不正确，不符合题意； D、符合数轴三要素，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴的画法，明确数轴的三要素，并数形结合进行识别，是解题的关键． 【举一反三】 1．（七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列各图中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴的三要素：原点、单位长度（相邻两个单位长度之间距离相等）、正方向即可求解． 【详解】解：数轴是由原点、单位长度（相邻两个单位长度之间距离相等）、正方向组成的， 选项，没有正方向，不符合题意； 选项，没有原点，不符合题意； 选项，有原点、单位长度、正方向，符合题意； 选项，相邻两个单位长度之间距离不相等，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 2．（七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【答案】 负 正 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 【题型二】用数轴上的点表示有理数 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）点在数轴上表示，点离的距离是4，那么点表示的数为（ ） A． B． C．或 D．或7 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查用数轴表示有理数及数轴上两点之间距离，根据题意，作出图形，再由数轴上两点之间的距离表示方法即可得到答案，熟记数轴上两点之间距离的表示是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点在数轴上表示，点离的距离是4， 点表示的数为或， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点在数表示的点的左侧，则点表示的数可能是（   ） A． B． C．0.5 D．1.5 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点P在数表示的点的左侧， 所以点P表示的数比小， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 【答案】4或0 【知识点】数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数． 【详解】解：∵， ∴点和点的距离为4， ∴点表示的数为或， 由折叠的性质可知，，即点为线段的中点， 当表示的数为16时，点表示的数为：， 当表示的数为8时，点表示的数为：， 故答案为：4或0． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【答案】不是唯一确定，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了用数轴表示数，两点间的距离等知识点，根据两人的对话分类讨论即可得解，熟练掌握用数轴表示数，两点间的距离公式并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：不是唯一确定．理由如下：    情形①当小明家在学校西5千米（即在数轴原点的左侧）时， 小明家表示的数为， 若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 情形②当小明家在学校东5千米（即在数轴原点的右侧）时， 小明家表示的数为，   若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 综上所述，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【题型三】数轴上两点之间的距离 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 根据数轴上点到原点距离解答即可． 【详解】解：A. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； B. 两点到原点距离分别为，故两点到原点距离相等，故符合题意； C.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； D.两点到原点距离分别为，故两点到原点距离不相等，故不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，数轴上点表示的数，由点A表示的数是，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，可得出点B表示的数是3，再由点A到点B的距离等于点B到点C的距离可得出则点C表示的数是9． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵点A到点O的距离等于点O到点B的距离， ∴， ∴点B表示的数是3． ∴， ∵点A到点B的距离等于点B到点C的距离， ∴， ∴则点C表示的数是9． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 【答案】2 或 10 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的差的绝对值，也等于两点之间的线段长度，进行解答即可． 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【知识点】数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 【题型四】相反数的定义 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若实数a的相反数是，则a等于（　　） A． B． C．2024 D．0 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的概念是解答本题的关键．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．根据相反数的概念解答即可． 【详解】解：实数a的相反数是 则， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知与互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）若a的相反数是2025，则 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解答此题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：∵a和2025互为相反数， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 【详解】（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． 【题型五】化简多重符号 【例5】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】分别化简判断即可． 【详解】A．，化简错误，不符合题意； B． ，化简正确，符合题意； C． ，化简错误，不符合题意； D． ，化简错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．先将各数化简，再根据相反数的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：A、和不是互为相反数，本选项不符合题意； B、和化简后分别为和5，是互为相反数，本选项符合题意； C、和不是互为相反数，本选项不符合题意； D、，，则和不是互为相反数，本选项不符合题意． 故选：B． 2．化简下列各数的符号： ， ． 【答案】 3 【知识点】化简多重符号 【分析】根据相反数的性质，即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，3 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，在一个数的前面加上正号是原数是解题的关键． 3．（七年级·全国·假期作业）化简下列各式的符号： （1）﹣（＋4）； （2）＋（﹣）； （3）﹣[﹣（﹣）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 【答案】（1）-4；（2）；（3）；（4）π；最后结果的符号与﹣的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当﹣的个数是奇数，最后结果为负数，当﹣的个数是偶数，最后结果为正数 【知识点】化简多重符号 【分析】根据已知数据结合去括号的法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“-”号的个数的关系． 【详解】解：（1）﹣（+4）＝﹣4； （2）； （3）﹣[﹣（﹣）]＝﹣； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}＝π． 最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，如果一个数是正数，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数． 【点睛】本题考查了相反数的意义，正确发现数字变化规律是解题的关键． 【题型六】相反数的应用 【例6】（七年级上·浙江·专题练习）互为相反数的两个数乘积为（　　） A．负数 B．非正数 C．0 D．正数 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反数的应用 【分析】根据同号得正，异号得负，分这两个数不是0和是0两种情况讨论求解． 【详解】解：若这两个数不是0，则互为相反数的两个数乘积是负数， 若这两个数都是0，则它们的积是0， 所以，互为相反数的两个数乘积是非正数． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要利用了同号得正，异号得负，要注意对0的考虑． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【知识点】相反数的应用、用数轴上的点表示有理数 【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度， ∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的应用、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相反数的应用、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为． （2）方法同（1）可得点D表示的数为． （3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为． 【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度， ∴可得点所表示的数为； 故答案为： （2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5， ∴点D表示的数为； （3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6， ∴点所表示的数为， ∵点在点F左边1个单位， ∴点所表示的数是2， ∴点所表示的数的相反数是． 【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字． 好题必刷 一、单选题 1．是21的（） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．平方根 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，熟知相反数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：是21的相反数， 故选：C． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 3．如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴的值是， 故选：D． 4．如果与2互为相反数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 5．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】规定了原点、正方向以及单位长度的直线，叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解： A．数轴单位长度不一致，因此选项A不符合题意； B．数轴数据标识不正确，因此选项B不符合题意； C．数轴符合数轴的定义，因此选项C符合题意； D．数轴数据标识不全、没有正方向，因此选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查数轴的概念，熟知数轴三要素是解题的关键． 6．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（    ） A．0 B．1 C．1.5 D．2.5 【答案】C 【分析】点A所表示的数在-2和-1之间，根据相反数的意义，可求出点B所表示的数在1和2之间，据此即可判断． 【详解】解：∵点A所表示的数在-2和-1之间， ∴点B所表示的数在1和2之间， 0、1、1.5、2.5四个数中，只有1.5符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，在数轴上在原点的两侧，到原点距离相等的两个数互为相反数． 7．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．2和 B．﹣2和 C．2和﹣2.375 D．+（﹣2）和﹣2 【答案】C 【详解】解：A．∵，∴它们不是相反数； B． ∵，∴它们不是相反数； C． ∵ ，∴它们是相反数； D． ∵+（﹣2）+（﹣2）=-4≠0，∴它们不是相反数． 故选C． 8．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：−2021的相反数是2021， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 9．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（    ） A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米 【答案】A 【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，根据数轴分析即可得出答案． 【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴， 则文具店表式的数是，玩具店所表示的数是，依题意， 故此时小明的位置在文具店 故选A 【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量，有理数的加减的应用，根据数轴分析是解题的关键． 10．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 二、填空题 11．若与互为相反数，则与的和是 ． 【答案】 【分析】互为相反数的两个数和为，直接联立等式，使(，得到与的和 【详解】解：与互为相反数， ， 即， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相反数的概念，务必清楚互为相反数的两个数和为． 12．点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧，则点A所表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间距离公式，再根据点A在原点的左侧判断其符号即可． 【详解】解：∵点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 13．如果两个数只有 不同，那么称其中一个数为另一个数的 ，也称这两个数 ．特别地，0的相反数是 ．如：+3与-3，-1.5与1.5互为相反数．互为相反数的两个数，分别位于原点的 ；且与原点的距离 ． 【答案】 符号 相反数 互为相反数 0 两侧 相同 【解析】略 14．数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数定义和数轴，掌握相反数对应的点在数轴的两侧，到原点的距离相等是解题的关键． 数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，以及B在A的右侧，即可求解． 【详解】点表示互为相反数的两个数，B在A的右侧，并且这两点的距离为6， 这两个数一个为3，另一个则为， B在A的右侧， 点B表示的数为． 故答案为：． 15．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    【答案】7 【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案． 【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个； 故答案为：7． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键． 16．如图在一条可以折叠的数轴上，点表示的数分别是，若以点为折点，将此数轴向右对折，若点落在点右边，且两点相距1单位长，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出表示的数． 【详解】解：∵表示的数为， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点在的左侧， ∴C点表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数形结合是解题的关键． 三、解答题 17．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 【答案】作图见解析 【分析】先根据数轴的定义画出数轴，再将各数标记在数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，熟练掌握数轴的定义是解决本题的关键，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 18．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数． 【答案】点A，B，C，D，E表示的数分别是0，－2，1，2.5，－3 【详解】点A表示0，点B表示，点C表示1，点D表示2.5，点E表示． 19．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图， 20．化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 【答案】，3.5，5，；（1）5；（2）5． 【分析】根据规律：“若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数．”求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；5；． 总结规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是5． （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是5． 【点睛】本题考查化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题的关键． 21．写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出下列各数以及它们的相反数． ． 【答案】见解析 【分析】先写出个数的相反数，再在数轴上表示出个数以及它们的相反数． 【详解】解：的相反数是，0的相反数是0，的相反数是，的相反数是4，的相反数是    【点睛】本题考查了数轴与相反数，解题的关键是掌握数轴与相反数的定义． 22．用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的定义； （1）根据相反数的定义及确定点表示的数是，点表示的数是，由，得点所表示的数，即可求出； （2）根据数轴上两点间的距离分别得到点，，表示的数，即可求出的值． 【详解】（1）解：点，所表示的数互为相反数，， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， 点所表示的数是， 此时， （2）数轴上点表示的数为，， 点所表示的数是， ， 点所表示的数是， ． 23．如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示，点G表示8． (1)表示原点的是点______，点C表示的数是______； (2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离． 【答案】(1)E， (2)1或7 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上的两点之间的距离，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出相邻任意两点间的距离为，再结合数轴即可得解 （2）分两种情况：当、在点的同侧时，当、在点的异侧时，分别画出图形，利用数轴上两点间的距离公式计算即可得解． 【详解】（1）解：，故相邻任意两点间的距离为， ∴表示原点的数为，点表示的数为； （2）解：如图：当、在点的同侧时， 或； 如图，当、在点的异侧时， 或； 综上所述，点M，N之间的距离为1或7． 24．已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)见解析； (2)存在，与是互为相反数，它们之间的整数是、0、1． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数轴上两点的距离，数形结合是解题的关键． （1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的意义找出互为相反的两个数，并写出所有整数． 【详解】（1）解：数轴如图所示； （2）解：存在，与是互为相反数， 和之间的整数为，0，1． 25．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，； (2)或或． 【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 数轴的三要素及其画法 题型二 用数轴上的点表示有理数 题型三 数轴上两点之间的距离 题型四 相反数的定义 题型五 化简多重符号 题型六 相反数的应用 知识清单 知识点1：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点归纳： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 题型方法 【题型一】数轴的三要素及其画法 【例1】（七年级上·浙江温州·期中）下列表示数轴的选项中，正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【举一反三】 1．（七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列各图中，表示的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【题型二】用数轴上的点表示有理数 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）点在数轴上表示，点离的距离是4，那么点表示的数为（ ） A． B． C．或 D．或7 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点在数表示的点的左侧，则点表示的数可能是（   ） A． B． C．0.5 D．1.5 2．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【题型三】数轴上两点之间的距离 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列数轴中两点到原点距离相等的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【题型四】相反数的定义 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若实数a的相反数是，则a等于（　　） A． B． C．2024 D．0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知与互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·期末）若a的相反数是2025，则 ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【题型五】化简多重符号 【例5】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．化简下列各数的符号： ， ． 3．（七年级·全国·假期作业）化简下列各式的符号： （1）﹣（＋4）； （2）＋（﹣）； （3）﹣[﹣（﹣）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 【题型六】相反数的应用 【例6】（七年级上·浙江·专题练习）互为相反数的两个数乘积为（　　） A．负数 B．非正数 C．0 D．正数 【举一反三】 1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 2．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 好题必刷 一、单选题 1．是21的（） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．平方根 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 4．如果与2互为相反数，那么等于（    ） A． B．2 C． D． 5．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（       ） A． B． C． D． 6．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（    ） A．0 B．1 C．1.5 D．2.5 7．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．2和 B．﹣2和 C．2和﹣2.375 D．+（﹣2）和﹣2 8．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（    ） A． B． C． D． 9．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（    ） A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米 10．正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 11．若与互为相反数，则与的和是 ． 12．点A在数轴上距的点3个单位长度，且位于原点左侧，则点A所表示的数是 ． 13．如果两个数只有 不同，那么称其中一个数为另一个数的 ，也称这两个数 ．特别地，0的相反数是 ．如：+3与-3，-1.5与1.5互为相反数．互为相反数的两个数，分别位于原点的 ；且与原点的距离 ． 14．数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 15．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    16．如图在一条可以折叠的数轴上，点表示的数分别是，若以点为折点，将此数轴向右对折，若点落在点右边，且两点相距1单位长，则点表示的数是 ．    三、解答题 17．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 18．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数． 19．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    20．化简下列各式的符号，并回答问题： __________________； __________________； __________________； __________________． （1）当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？ （2）当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 21．写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出下列各数以及它们的相反数． ． 22．用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，，．如图所示，设点，该数轴的原点为． (1)若点，所表示的数互为相反数，求此时的值； (2)若数轴上点表示的数为，求的值． 23．如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示，点G表示8． (1)表示原点的是点______，点C表示的数是______； (2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离． 24．已知下列有理数：，4． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 25．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$