第03讲 空间向量基本定理（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基底的概念进行判断. 【解答过程】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【解答过程】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基底的定义直接判断. 【解答过程】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的几何图形，利用空间向量的基底表示. 【解答过程】依题意，. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【解答过程】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：C． 【变式2.3】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【解答过程】, 故选：C. 【题型3 根据空间向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高二上·安徽·期末）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点， 所以 因为，所以，故． 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用向量的线性运用表示向量，进而求得，进而求值即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【解答过程】由题 又由题，故. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解答过程】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【解答过程】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【解答过程】因为是空间的一个单位正交基底，则 则， 则空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意将向量用表示出来即可. 【解答过程】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【解答过程】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（24-25高二·全国·课后作业）已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D．0 【解题思路】根据空间向量基本定理，由向量共线的条件，列方程求. 【解答过程】因为与共线，空间的一组基底， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（    ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 【解题思路】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断 【解答过程】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【解题思路】利用空间向量的共面定理证明即可. 【解答过程】证明取，，， 则 ， 所以与，共面,即与共面， 即，，，四点共面． 【变式5.3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、垂直问题】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 【变式6.1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【解题思路】（1）设，把作为一组基底，根据题意可得，结合计算即可得出结果； （2）根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【解答过程】（1）设，则作为一组基 ， ， ， 解得，所以； （2） ， 所以，则. 【变式6.2】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6.3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【解题思路】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【解答过程】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【解答过程】， ∴， ∴. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【解答过程】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. (1)用向量，，表示向量； (2)求OE的长. 【解题思路】（1）根据题意，由空间向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由模长的公式结合数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1） 连接OD， 则 . （2）由（1）得 ，. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【解题思路】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，平行六面体中，设则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【解答过程】因为 ， ， ， 所以 ， 故选：A. 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【解答过程】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】利用基底的意义，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，向量，，共面，A不是； 对于B，，向量，，共面，B不是； 对于C，假定向量，，共面，则，而不共面， 于是，无解，因此向量，，不共面，C是. 对于D，，向量，，共面，D不是. 故选：C. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【解答过程】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】利用平面向量的线性运算可得，可求值. 【解答过程】由，得， 即，所以，，， 故. 故选：A. 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的基本定理，表示，，然后结合数量积，直接求解即可. 【解答过程】由题知，，， 所以 . 故选：B. 7．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知四面体是的重心，若，则（   ） A．0 B． C． D． 【解题思路】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得. 【解答过程】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以. 故选：A. 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】以，，为空间向量的一组基底，则，利用空间向量即可计算的长度. 【解答过程】根据题意，以，，为空间向量的一组基底， 所以， ， 所以， 可得，所以的长度为． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项向量是否共面即可. 【解答过程】对于A，有，所以，，共面； 对于B，有，所以，，共面； 对于C，假设，，共面，则有，即，由题意不共面，所以，无解， 故假设不成立，所以，，不共面； 对于D，，所以 ，，共面. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 11．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【解答过程】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【解题思路】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【解答过程】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    【解题思路】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可. 【解答过程】，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算， ， 整理得到. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【解题思路】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【解答过程】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是的中点，试用表示以下各向量．    (1)； (2)； (3) ． 【解题思路】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算结合基底向量逐项分析求解即可. 【解答过程】（1）因为P是的中点， 所以 . （2）因为N是BC的中点， 所以 . （3）因为M是的中点， 则 ； 且， 所以. 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【解题思路】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解答过程】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 17．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，.    (1)用向量、、表示向量，并求； (2)求. 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可，然后根据数量积的运算律及模长公式求解模长； （2）根据向量运算法则用基底向量表示，结合（1）利用数量积的运算律及数量积定义求解即可. 【解答过程】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为，且，， 所以 . 18．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 19．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量基本定理 【人教A版2019】 模块一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1.2】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据空间向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高二上·安徽·期末）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 模块二 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 模块三 用空间向量基本定理解决相关问题 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（24-25高二·全国·课后作业）已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D．0 【变式5.1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（    ） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【变式5.3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、垂直问题】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【变式6.1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【变式6.2】（24-25高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式6.3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. (1)用向量，，表示向量； (2)求OE的长. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，平行六面体中，设则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知四面体是的重心，若，则（   ） A．0 B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 二、多选题 9．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 13．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    14．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是的中点，试用表示以下各向量．    (1)； (2)； (3) ． 16．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 17．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，.    (1)用向量、、表示向量，并求； (2)求. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 19．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$