第06讲 等式性质与不等式性质（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版2019】 模块一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 模块二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（24-25高一上·河南许昌·期末）已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 【变式3.1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【变式3.3】（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【变式4.3】（25-26高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【题型5 利用作差法比较大小的应用】 【例5】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【变式5.1】（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【变式5.2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【变式5.3】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6.1】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6.3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【变式7.1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式7.2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【变式7.3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 二、多选题 9．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河北保定·期末）下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 11．（24-25高一上·重庆·期末）若，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 13．（24-25高一上·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ． ①；②；③；④ 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 16．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与. 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版2019】 模块一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意列出不等关系即可. 【解答过程】由题意得. 故选：D. 模块二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用不等式的性质及充分、必要性定义判断条件的关系. 【解答过程】由，则，又，则，充分性成立； 由，则，且，无法确定的符号，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一上·河南许昌·期末）已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断. 【解答过程】对于A，由，得，而不能推出，A是； 对于BC，取，满足，，而，BC不是； 对于D，，D不是. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【解题思路】利用不等式性质即可判断AB，举例即可判断C，作差法即可判断D. 【解答过程】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D，，因为，则， 所以，即，故D错误. 故选：A. 【变式2.3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【解答过程】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C. 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 【解题思路】利用作差法比较数的大小即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作差比较大小. 【解答过程】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【解题思路】利用作差法比较大小即可. 【解答过程】 ， 所以，当且仅当时取等号. 【变式3.3】（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式4.1】（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【解答过程】， ，. 两数作商 ， . 【变式4.3】（25-26高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【解题思路】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解答过程】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【题型5 利用作差法比较大小的应用】 【例5】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【解题思路】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【解答过程】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·云南昆明·期末）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【解题思路】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【解题思路】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论. 【解答过程】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【变式5.3】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为165平方米，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 【解题思路】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得. （2）记窗户面积为平方米、地板面积为平方米，同时减少的面积为平方米，表示出减少面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【解答过程】（1）设该公寓窗户面积为平方米，则地板面积为平方米， 依题意，，解得， 所以这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为平方米、地板面积为平方米，同时减少的面积为平方米， 依题意，，，减少面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，， 由， 因为，，则，， 得，因此, 所以同时减少相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变坏了. 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【解答过程】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【解答过程】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A. 【变式6.2】（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断. 【解答过程】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则有，则，故D正确； 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【解答过程】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【解题思路】由，，和，，证明即可. 【解答过程】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式7.1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式7.2】（2025高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【解题思路】利用不等式的性质证明． 【解答过程】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式7.3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）解：由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 【题型8 利用不等式的性质求取值范围】 【例8】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【解答过程】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：， ，故C成立. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【解答过程】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【解答过程】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质求解． 【解答过程】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断. 【解答过程】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 6．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【解答过程】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A. 7．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【解答过程】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 8．（24-25高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【解题思路】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得. 【解答过程】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·河南商丘·期末）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【解答过程】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一上·河北保定·期末）下列命题中，不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【解题思路】根据不等式性质判断A、B、C；应用作差法判断D. 【解答过程】A：由，则，故，错； B：由，则，又，故，对； C：由题设，又，则，错； D：， 由，，则，又， 所以，即，对. 故选：AC. 11．（24-25高一上·重庆·期末）若，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式的性质逐一判断即可. 【解答过程】，故A对； 不妨设， 则，，故B错，D错； ，故C对； 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 【解题思路】对进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果. 【解答过程】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·福建莆田·期末）若，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【解答过程】，故， 故，故. 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则下列不等式一定成立的是 ④ ． ①；②；③；④ 【解题思路】利用特殊值法可判断①②③错误，由不等式的性质可证明④正确. 【解答过程】对于①②③，假设，，，，满足，， ，，此时不成立， ，，此时不成立， ，，此时不成立，故①②③错误； 对于④，由，，得，即，故④正确； 故答案为：④. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志（如图），你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ 【解题思路】利用不等式的意义进行表示. 【解答过程】①最低限速50km/h，；②限制重量10t，；③限制高度3.5m，； ④限制宽度3m，；⑤通行时间7:30-10:00，. 16．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）设为实数，试比较以下两个式子的大小 (1)与 (2)与. 【解题思路】（1）用作差法比较大小． （2）用作差法比较大小． 【解答过程】（1），当且仅当时等号成立， 所以； （2）， 所以． 17．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【解题思路】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【解答过程】（1）∵，∴， ∴ ∴； （2）假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$