精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期5月阶段性测试数学试题

高2024级高一下期5月阶段性测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可. 【详解】因为是实数， 所以， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3. 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 4. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题给条件求得该直棱柱的底面积，进而求得该直棱柱的体积. 【详解】该直棱柱的底面 则该直棱柱的底面为长2宽1的矩形，其面积为， 则该直棱柱的体积为 故选：A 5. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，在中，可由正弦定理求的长，即得到答案. 【详解】作出示意图如图所示，， ，，则. 由正弦定理，可得，则. 所以这时船与灯塔的距离为. 故选：B 6. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及余弦定理计算可得，再由平方关系以及三角形内角取值可得结果. 【详解】因为，则由正弦定理得． 由余弦定理可得，即， 根据正弦定理得， 所以． 又为三角形内角，则，则． 故选：C． 7. 已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出即可. 【详解】由题意有在上是增函数，所以，所以， 又在上有最小值，所以，所以，解得，所以的取值范围是， 故选：B. 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于式子，即可求出最小值. 【详解】 三点共线 即 故的最小值为. 故选：C. 三､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，的虚部为，A错； 对于B选项，复数在复平面内对应点在第三象限，B错； 对于C选项，的共轭复数为，C对； 对于D选项，因为，， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对. 故选：CD. 10. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D. 详解】对A，由正弦定理角化边得， 由余弦定理有， ， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，所以，A正确； 对B，由上知，， 因为为锐角三角形，，解得， 所以，B正确； 对C， ， 当时，得， 因为，，所以等号不成立，C错误； 对D， ， 因为，所以， 所以，所以， 即，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：根据在于利用正弦定理角化边，代入余弦定理表示出，结合二倍角公式求得. 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断A；取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B；利用圆幂定理和向量的线性运算可判断C；根据直径的大小可判断D. 【详解】对于A，如图，过作直径， 由题意，故A正确； 对于B，设为中点，连接， 则 ， 由题意，则，故B正确； 对于C，若，则， 则， 又，则，同理可得， 故，故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值16，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，所以． 故答案为： 13. 半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，连接并延长交球于点，求得，，结合棱锥和球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设的中点为，连接并延长交球于点，则， 在直角中，可得，所以， 所以， 所以， 则球的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该球与该内接正四棱锥体积之比为. 故答案为：. 14. 已知平面向量，满足，且，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合数量积的性质求出的范围即可求解. 【详解】由，得， 整理得，则 ，当且仅当与同向时取等号，解得， 因此， 所以的最大值是. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算； （2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可. 【小问1详解】 设底面圆的直径为2r， 由题可知,圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1 【小问2详解】 因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间； （2）利用换元法求x的取值范围. 【小问1详解】 = =， 令，解得 所以单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则，所以 所以不等式为，得，即 由，解得，所以解集为. 17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）预算资金够用 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解； （2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可. 【小问1详解】 解：由， 得， 则， 在中，由正弦定理得，即， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 整理得， 解得（舍去）． 在中，， 所以， 又， 解得． 在中，， 所以． 由于观光通道每米造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用． 18. 记的内角的对边分别为，已知且均为整数. （1）求的值； （2）设的中点为，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三角形三个内角和得到角的范围，结合题意得到及的值，在通过三角形三个内角和得到角的范围，由二倍角公式得出的值，用和差角公式得出的值； （2）由正切值算出正余弦值，由正弦定理得出三边关系，再由余弦定理得出边得到等腰三角形，从而得出结果. 【小问1详解】 由，则. 由，则，故， 所以， 因为为整数，所以， 由，可得. 因为，所以，则， 所以. 由，则， 解得或（舍去）， 故， 又为正整数，所以， 所以， 综上，. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 中，由正弦定理， 可得， 又的中点为，所以， 在中，由余弦定理得： ，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，紧紧抓住均为整数的条件，依次分析的正切值，从而得解. 19. 在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，求得，再由向量的线性运算法则，求得，得到为的外心，结合正弦定理，即可求得的长． （2）由（1）求得，且，根据向量的运算法则，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解； （3）取AB的中点D，连接OD，求得，，由向量数量积的定义得到，结合题意，得到和，联立方程组，求得，化简得到，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得, 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以． 【小问2详解】 解：因为，所以，所以，， 所以，外接圆的半径， 其中，且为锐角，故， 由，可得， 因为，解得，即 则，则，且， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以，，所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，②． 联立①②可得，， 所以， 又因为， 因为，可得，所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2024级高一下期5月阶段性测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（，为虚数单位），若实数，则（ ） A. B. C D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上是增函数，且在上有最小值，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 三､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 10. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的取值范围是 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为8 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则_________． 13. 半径为5球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为__________. 14. 已知平面向量，满足，且，则的最大值是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积. 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）若，，求满足不等式的x的取值范围. 17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，． （1）求的值； （2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 18. 记的内角的对边分别为，已知且均为整数. （1）求的值； （2）设的中点为，求的余弦值. 19. 在锐角△ABC中，记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$