高二数学下学期期末押题试卷（测试范围：沪教版2020选修全部）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选修二）

2024-2025学年高二数学下学期期末押题试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．平行直线与间的距离为 . 2．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 3．已知随机变量，且，则 . 4．在的二项展开式中，常数项为 . 5．已知数列的前n项和，那么的值为 . 6．用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 7．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 8．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 9．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 10．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 11．若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 12．在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（    ） （附：） A．有的人认为该电视栏目优秀 B．有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 14．设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 18．如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．    (1)证明、、、四点共面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 19．为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． (1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，． (1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长； (2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； (3)若弦，的斜率均存在，求面积的最大值． 21．对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期末押题试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．平行直线与间的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 2．若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 【答案】4 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【详解】根据题意，拋物线的方程为，其拋物线的焦点在轴的正半轴上，其焦点坐标为， 又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得． 故答案为：. 3．已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 4．在的二项展开式中，常数项为 . 【答案】20 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式中，常数项为， 故答案为： 5．已知数列的前n项和，那么的值为 . 【答案】 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 6．用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【分析】通过个位数字是0和2，两类情况讨论即可求解； 【详解】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 7．已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 8．已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 9．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 10．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 11．若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】分别构造函数，结合同角三角函数关系求导，分析单调性，根据存在成立问题令，求出即可； 【详解】设 则， 令，因为锐角，所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， ， 令，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， 因为，所以． 故答案为：. 12．在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可知连续项共有种情况，然后分类讨论，分、和，根据题意讨论即可. 【详解】因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情况， 若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为的数列一定是“阶可重复数列”； 若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”， 则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值为. 【点睛】思路点睛： 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（    ） （附：） A．有的人认为该电视栏目优秀 B．有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 【答案】D 【分析】根据卡方表示的意义结合临界值表分析判断即可 【详解】只有时才能在犯错误的概率不超过的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系， 而即使也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有的人等无关．故A，B不正确． 由于，故C错误，D正确. 故选：D. 14．设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 15．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【答案】B 【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果. 【详解】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求 （2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论． 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为． 由，可得， 解得，则 （2）由，可得 即 (*) 当时，成立； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，且为奇数时，显然(*)式不成立； 当时，且为偶数时，设， ， 即，可得(*)式不成立． 综上所得，． 18．如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．    (1)证明、、、四点共面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系后，借助空间向量可得，即可得证； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，    可得有关点的坐标为、、、、、， 因为，，所以， 因此直线与EF共面，即、、、四点共面； （2）设平面的法向量为，则，， 又，， 故，解得， 取，得平面的一个法向量， 又，故， 故直线与平面所成的角的正弦值为， 因此直线与平面所成的角的大小为． 19．为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图． (1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：， 【答案】(1)列联表见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意即可完善列联表； （2）求出即可求解. 【详解】（1） 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 合计 （2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关， 则根据列联表中的数据计算， 所以依据小概率值的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于. 20．在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，． (1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长； (2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； (3)若弦，的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】(1)右焦点，长轴长为； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及长轴长. （2）斜率均存在，设直线AB方程为与椭圆方程联立求出点坐标，同理得点坐标，再求出直线的方程即可；再讨论一条直线斜率不存在时的情况. （3）由（2）中中信息求出，借助函数的单调性求出最值. 【详解】（1）由椭圆，得长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以右焦点坐标，长轴长为. （2）当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为， 由消去，得， 则有，点，而直线：，同理， 当时，直线MN斜率， 直线：，整理得，直线恒过定点， 当，即时，直线：过点， 当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时， 不妨设斜率不存在，斜率为0，，直线：过点， 所以动直线过定点. （3）由（2）知直线过定点， ， 令，当且仅当取等号，， 函数在上单调递增，， 所以，即时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 21．对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$