精品解析：2025年北京市房山区九年级中考二模数学试卷

房山区2024-2025学年度第二学期综合练习（二） 九年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个含角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个正多边形的每一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是（） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 7. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 10. 分解因式：______． 11. 写出一个比大且比小的整数________． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_______． 13. 某校为了解全校名学生的课外阅读情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下： 每周课外阅读时间/小时 人数 若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需要表彰约_____人． 14. 在中，为上一点，，交于点，若．则的长为______． 15. 如图，为的直径，点在上，且，过点作的切线交的延长线于点．若，连接，则的长为__________． 16. 某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为______元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为______元． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 21. 为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 23. 4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．初二年级20名学生的分数数据如下： ．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： ．样本数据的平均数、众数、方差如下： 平均数 众数 方差 初一年级 初二年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的值为______； （2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组； （3）可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； （4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到____分才能参加区级比赛． 24. 如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求． 25. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） （1）通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间关系，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，对于任意正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）； （3）已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 27. 在和中，，连接，点是的中点，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______； （2）如图2，当点在内部时，（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 28. 在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作． （1）边长为1的正方形的宽距为______； （2）已知点，连接所形成图形为． ①若，直接写出的取值范围； ②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024-2025学年度第二学期综合练习（二） 九年级数学 本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4. 已知，则下列论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：， A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项错误，不合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：C． 6. 已知一个正多边形的每一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是（） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和等于，因为正多边形的每个外角均相等，直接令外角和除以每一个外角的度数即可得解． 【详解】解：∵多边形的外角和为，每个外角等于 ∴这个正多边形的边数是． 故选：B 【点睛】本题考查了多边形的外角和为、正多边形的每一个外角都相等等知识点，灵活运用相关知识点是解决问题的关键． 7. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 【详解】解：由题意得： ∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点是线段上的动点，连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，二次函数的性质，点的坐标；设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点，根据得出，进而得出时，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设，过点作轴，延长交轴于点，设交轴于点 当时，如图， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图，同理可得 ∴ ∴ ∴ 当时，，重合，则重合，此时， ∴当时，也成立 ∴， ∵ 当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴ 故选：A． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 10 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 写出一个比大且比小的整数________． 【答案】2##3##4 【解析】 【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ∴比大且比小的整数为：2或3或4． 故答案为：2或3或4（写其一即可）． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求反比例函数的自变量，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求出反比例函数解析式，根据函数图象上的点满足函数解析式、列出方程求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴，解得：． 故答案为：． 13. 某校为了解全校名学生的课外阅读情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下： 每周课外阅读时间/小时 人数 若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需要表彰约_____人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，用乘以阅读时间大于等于2小时的同学的占比，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 在中，为上一点，，交于点，若．则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵． ∴ 解得：， 故答案为：． 15. 如图，为的直径，点在上，且，过点作的切线交的延长线于点．若，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，，则，，由可求得，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：连接，如图， ∵为圆的切线，且点为切点， ∴， 即； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， 即， ∴， 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，已知切线，连接过切点的半径是常作的辅助线． 16. 某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为______元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为______元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案：，． 三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算；特殊角的三角函数值．首先代入特殊角的三角函数值，应用幂的运算性质完成零指数幂、负整数指数幂的运算，二次根式化为最简二次根式，然后进行合并即可． 【详解】解： 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键．先根据分式的性质化简，然后根据已知等式得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴原式 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形； （2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：， ． ． 四边形是矩形， ． ， ． 在中，， 21. 为增强学生劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生． 【答案】11名 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．然后列二元一次方程组求得x、y值，进而完成解答． 【详解】解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生． 依题意得： ，解得， ∴． 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数平移，待定系数法求解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集； （1）根据一次函数的平移可得函数过点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据当时，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于等于1，即可求解． 【小问1详解】 .解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数过点， ∴， 解得： ∴函数解析式为 【小问2详解】 解：时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数之差的绝对值差大于1， ∴ ∴或 解得：或 23. 4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．初二年级20名学生的分数数据如下： ．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）： ．样本数据的平均数、众数、方差如下： 平均数 众数 方差 初一年级 初二年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的值为______； （2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第_____组； （3）可以推断出______（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； （4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到____分才能参加区级比赛． 【答案】（1） （2） （3）初二 （4） 【解析】 【分析】本题考查了数据统计，众数，中位数，方差的意义，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据众数的定义求得的值； （2）根据中位数的定义，结合频数分布直方图，即可求解； （3）根据方差的意义，比较两个年级成绩的方差，即可求解； （4）根据题意，成绩考前的能参加比赛，找到初二年级前的最低分，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格可得初二年级学生分数中，出现次数最多，则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据初一年级20名学生分数的频数分布直方图可得第和第个数据在第4组， 故答案为：． 【小问3详解】 解：初二成绩的方差小于初一成绩的方差， ∴初二年级学生在本次比赛中发挥比较稳定； 故答案为：初二． 【小问4详解】 解：， 初二年级成绩从大到小排列为：，，，，，…… 第个数据为 ∴估计成绩至少达到分才能参加区级比赛 故答案为：． 24. 如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则； （2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） （1）通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】（1）图象见解析 （2）①毫升；②天 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． （1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解． （2）①观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【小问1详解】 描点，连线，如图， 【小问2详解】 ①解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； 当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）； （3）已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键； （1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得 关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解； （3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为 ∵，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 又∵ ∴ 故答案为：． 【小问3详解】 ①当时，抛物线过点，关于的对称点为 直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为， 如图 ∵B， ∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点. ∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点. ②当时， ∵点的横坐标为1，则，即 把代入 得 ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴ 解得： 综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点， 27. 在和中，，连接，点是的中点，连接． （1）如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______； （2）如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证； （2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证． 【小问1详解】 ，理由如下 如图，延长交于点，过点作，连接，则， ∵在和中，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， 又∵是的中点， ∴ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 证明：如图，延长到，使得． 是的中点， ， 又， ． ，． ． ， ． ， ， ． 即． 又， ． ． ， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知图形，点是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作． （1）边长为1的正方形的宽距为______； （2）已知点，连接所形成的图形为． ①若，直接写出的取值范围； ②已知点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）① ②或 【解析】 【分析】本题考查了几何新定义，圆的综合问题，解直角三角形，理解新定义求得符合题意的临界值是解题的关键； （1）根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即可求解； （2）①根据新定义，画出图形，在以为圆心，为半径的圆内公共部分，则当最大时，是等边三角形，解直角三角形，即可求解； ②根据题意可得当时，点或到上的点距离最大为，最小值为，当时，以为圆心和为半径作，当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值，设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点，根据圆与圆的位置关系以及勾股定理求得的坐标，结合图形即可得出的范围，根据对称性求得的坐标的相反数，即可得出另一个范围，即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义可得，长为1的正方形的宽距为对角线的长度，即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵， ∴ 如图，在以为圆心，为半径的圆内公共部分， ∴当最大时，是等边三角形， ∴ ∴ ②∵，点，以为圆心，1为半径作圆．若点为上任意一点时，都有， ∴当时，点或到上的点距离最大为，最小值为 当时，如图， 以为圆心和为半径作， 当与为半径的圆内切时取得最大值，当和为半径的圆外切时，取得最小值， 设与为半径的圆内切于点，与为半径的圆内切于点， ∴ ∴，则此时 同理可得，，则 ∴此时, ∴ 当时，根据对称性，同理可得 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$