第04讲 一元二次方程的应用-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第04讲 一元二次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 一元二次方程的应用-变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 知识点2 一元二次方程的应用-传染﹑树干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 知识点3 一元二次方程的应用-单循环和双循环问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 知识点4 一元二次方程的应用-销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 知识点5 一元二次方程的应用-几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 知识点6 一元二次方程的应用-动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 教材习题01 用一根长 100 cm 的金属丝能否制成面积是 600 cm²的矩形框子?能否制成面积是 800 cm²的矩形框子? 解题方法 几何面积问题 【答案】 设矩形的长为 cm，则宽为（50-x）cm,矩形面积为S=x(50-)。 令S = 600，则方程为:x(50-x)= 600,即x²-50x+600=0。 解得 x1 = 30， x2= 20。 此时宽为 50-30 = 20 cm 或 50-20 =30cm，均为正数，符合实际。 令S = 800，则方程为:x(50-x)= 800,即x²-50x+800=0。 A=(-50)²-4x1x800=2500-3200=-700，由于 △ < 0，方程无实数解。 无法制成面积为 800cm²的矩形框子。 x1 x2 教材习题02 某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件51.2元求该种服装平均每次降价的百分率. 解题方法 变化率问题 【答案】 设该种服装平均每次降价的百分率为 必(0 <æ < 1)。 根据题意可列方程:80(1-x)²= 51.2 解答：x1=0.2=20% x2=-.08=-80% 该种服装平均每次降价的百分率为 20%。 教材习题03 某商店经销的某种商品，每件成本为40元:经市场调研，售价为 50 元时，可销售200件;售价每增加1元，销售量将减少10件:如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元:问:该商店销售了这种商品多少件?每件售价多少元? 解题方法 每每问题 【答案】 设每件售价为x元(x>50)，则每件利润为( x- 40 )元。 总盈利为利润乘以销售量，可列方程:(x-40)(700-10x)= 2000 解得:x1=50 x2=60 当x = 50 元时，销售量为700-10x50=200件 当x = 60 元时，销售量为700-10 x60 = 100 件。 教材习题04 解题方法 动点与几何问题 【答案】 / 考点一 一元二次方程应用-变化率问题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则二月份公司的营业额为万元，三月份公司的营业额为万元，根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程． 【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为， 则二月份公司的营业额为万元， 三月份公司的营业额为万元， 第一季度的总营业额要达到万元， ， 即． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．利用上映第三天的票房=上映第一天的票房×（1+每天票房的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选C． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率 (2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； （2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量． 【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 该校这两个月藏书的月均增长率为； （2）解；（册）， 所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册． 4．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 考点二 一元二次方程应用传染问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， ∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）秋季是流感的高发时期，某校11月初有2个人患了流感，经过两轮传染后共有200个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有2人患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 考点三 一元二次方程应用枝干问题 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 考点四 一元二次方程应用双循环问题 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得：（舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1640个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 【答案】一共有8个人过生日． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得 整理可得 解得（舍） 答：一共有8个人过生日． 考点五 一元二次方程应用单循环问题 1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设参加聚餐的人数为x人， 依题可得：， 化简得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程解实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．根据等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设这些朋友一共人， 根据题意得，． 故答案为：. 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 4．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）参加会议的每两人握一次手，共握45次，问有多少人参加会议？若设有x人参加会议，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 考点六一元二次方程应用-销售利润问题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)销售单价应为14元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售单价应为x元,根据题意得： ， 解得，，， ∵销售单价不得高于22元，即， ∴， ∴销售单价应为14元． 2．（2025·西藏日喀则·一模）列方程（组）解应用题2024年“国庆”假期期间，拉萨某景区某特产店销售，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元． (1)求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ (2)类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．则每件A类特产定价多少元时，A类特产利润能达到640元． 【答案】(1)类特产的售价为60元/件，类特产的售价为72元/件 (2)类特产每件售价为58元时，利润为640元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设类特产的售价为x元/件，类特产的售价为y元/件，根据“购买1件A类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元”，列方程组求解即可； （2）设类特产每件售价为a元，根据“利润为640元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设类特产的售价为x元/件，类特产的售价为y元/件， 根据题意，得， 解得， 答：类特产的售价为60元/件，类特产的售价为72元/件； （2）解：设类特产每件售价为a元，， 根据题意，得， 解得， 答：类特产每件售价为58元时，利润为640元 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件． (1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？ (2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间． 【答案】(1)乙厂生产恤11小时 (2)甲厂减少1小时 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设乙厂生产恤小时，根据共生产1820件恤得，即可解得答案； （2）设甲厂减少小时，求出乙厂生产恤11小时，产量为1100件，故，即可解得答案． 【详解】（1）解：设乙厂生产恤小时，则甲厂生产恤小时， 根据题意得：， 解得：， ∴乙厂生产恤11小时； （2）解：设甲厂减少小时，则每小时产量为件， 由（1）知，乙厂生产恤11小时，产量为1100件， ， 解得：或（舍去）， ∴甲厂减少1小时． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 【答案】每件应定价54元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件应降价x元，则每件定价为元，根据每天获得的利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件定价为元， 根据题意得， 化简得：， 解得：， ∵商铺要尽快减少库存， ∴， 答：每件应定价54元． 考点七一元二次方程应用-几何面积问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度为，那么四周外围环绕着宽度相等的小路的长方形的长、宽分别为、，根据长方形的面积公式和已知条件即可列出方程，解方程即可求出小路的宽度． 【详解】解：设小路的宽度为，依题意得， 整理：， 解之：， (不合题意，舍去)． 答：小路的宽度为． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是， ，则 ，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 【答案】(1)道路的宽为米 (2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：全部租出时的租金为：（元） 设月租金上涨元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 考点八一元二次方程应用-动点与几何问题 1．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)2秒 (2)2秒或3秒 【分析】本题考查勾股定理和一元二次方程的应用： （1）设秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的长度等于， 由题意，得：，则：， ∵， ∴，即：， 解得：（舍去）或， ∴P，Q分别从A，B同时出发2秒后，的长度等于； （2）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， 解得：或； 答：P，Q分别从A，B同时出发2秒或3秒后，的面积等于． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【分析】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 3．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 4．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)秒 (2)的面积不能等于； (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程求解； （2）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和，可列方程，根据方程有无实数根进行判断即可； （3）设经过x秒，的长度等于，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 知识导图记忆 知识目标复核 1.一元二次方程应用-变化率问题 2.一元二次方程应用传染问题 3.一元二次方程应用枝干问题 4.一元二次方程应用双循环问题 5.一元二次方程应用单循环问题 6.一元二次方程应用-销售利润问题 7.一元二次方程应用-几何面积问题 8.一元二次方程应用-动点与几何问题 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川广安·期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该景点接待游客人次年平均增长率为，则2023年接待的游客数为万人次，则2024年接待的游客数为万人次，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．由题意可知，每个学生都赠送了张贺卡，所有学生共赠送贺卡张，结合题意即可列出方程． 【详解】解：设九年三班共有名学生， 每个学生都赠送了张贺卡， 共赠送贺卡张， 又共赠贺卡张， ， 故选：． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，再建立方程即可． 【详解】解：根据题意得，第一轮被感染的电脑有台， 第二轮被感染的电脑有台， 则方程可列为． 故选：B． 2、 填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 8．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期中）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可． 【详解】解：设全班有名同学， 由题意得， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为420平方米，则通道宽为 米． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示，掌握一元二次方程解决实际问题的运用方法是关键． 根据题意，设通道宽为米，则大棚的长、宽分别为，由此列式求解即可． 【详解】解：设通道宽为米， ∴， 整理得，， 即， 解得，（舍去），， ∴通道宽为米， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排． 【答案】14 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可． 【详解】解：设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据题意得： ， 整理，得． 解得：(不合题意，舍去)， 则女兵方队共有14排． 故答案为：14． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是解答关键． 设与墙垂直的边长为，根据篱笆总长为，表示墙的对面的一条边的长，再利用长面积公式求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为， 则墙的对面的一条边的长为， 所以列出方程为． 故答案为：． 三、解答题 13．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得 （2）根据一次函数的性质即可求解 【详解】（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为 （2）， 解得：，（舍去）， 故答案为：40元 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键 14．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 一元二次方程的应用-变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 知识点2 一元二次方程的应用-传染﹑树干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 知识点3 一元二次方程的应用-单循环和双循环问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。 赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 知识点4 一元二次方程的应用-销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 知识点5 一元二次方程的应用-几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 知识点6 一元二次方程的应用-动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 教材习题01 用一根长 100 cm 的金属丝能否制成面积是 600 cm²的矩形框子?能否制成面积是 800 cm²的矩形框子? 解题方法 几何面积问题 教材习题02 某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件51.2元求该种服装平均每次降价的百分率. 解题方法 变化率问题 教材习题03 某商店经销的某种商品，每件成本为40元:经市场调研，售价为 50 元时，可销售200件;售价每增加1元，销售量将减少10件:如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元:问:该商店销售了这种商品多少件?每件售价多少元? 解题方法 每每问题 教材习题04 解题方法 动点与几何问题 / 考点一 一元二次方程应用-变化率问题 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某公司今年一月的营业额为万元，按计划第一季度的总营业额要达到万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册． (1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率． (2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？ 4．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 考点二 一元二次方程应用传染问题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）秋季是流感的高发时期，某校11月初有2个人患了流感，经过两轮传染后共有200个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 考点三 一元二次方程应用枝干问题 1．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 考点四 一元二次方程应用双循环问题 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 4．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决） 考点五 一元二次方程应用单循环问题 1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为（   ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程： ． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 4．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）参加会议的每两人握一次手，共握45次，问有多少人参加会议？若设有x人参加会议，则可列方程为 ． 考点六一元二次方程应用-销售利润问题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. (1)求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） (2)若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 2．（2025·西藏日喀则·一模）列方程（组）解应用题2024年“国庆”假期期间，拉萨某景区某特产店销售，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元． (1)求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ (2)类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．则每件A类特产定价多少元时，A类特产利润能达到640元． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件． (1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？ (2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 考点七一元二次方程应用-几何面积问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 考点八一元二次方程应用-动点与几何问题 1．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知：如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 知识导图记忆 知识目标复核 1.一元二次方程应用-变化率问题 2.一元二次方程应用传染问题 3.一元二次方程应用枝干问题 4.一元二次方程应用双循环问题 5.一元二次方程应用单循环问题 6.一元二次方程应用-销售利润问题 7.一元二次方程应用-几何面积问题 8.一元二次方程应用-动点与几何问题 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川广安·期中）某旅游景点2022年接待游客25万人次，2024年接待游客36万人次，设该景点接待游客人次年平均增长率为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）元旦将至，九年三班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2070张，若设九年三班共有x名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 8．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 9．（24-25九年级上·福建厦门·期中）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程 ． 10．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为420平方米，则通道宽为 米． 11．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 三、解答题 13．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． (1)与的函数关系式为________； (2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 14．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$