第08讲 圆周角-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第08讲 圆周角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点2 圆内接四边形 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 教材习题01 解题方法 圆周角的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆周角的性质 ②等腰三角形的性质 【答案】 教材习题03 解题方法 圆内接四边形的性质 【答案】 / 考点一 直径所对圆周角为90°的运用 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 3．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形内角和定理，先根据直径对应的圆周角等于90度得，再根据角平分线的定义得，再由圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2024·广东汕头·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据平行线的性质，得到，，圆周角定理得到的度数，，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵连接并延长，交于点， ∴为直径， ∴， ∴； 故选C． 6．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆，圆周角定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．连接，证明是等腰直角三角形即可求出答案． 【详解】 解：如图，连接． ， ． ， ， ， 又是的直径， ． 在中，由勾股定理，得 故答案为：． 2．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，三角形内角和定理，作出辅助线是解答关键． 连接，利用直径所对的圆周角是直角，圆周角定理求得的度数，再结合题意求出来求解． 【详解】解：连接，如下图 是的直径， ． ， ， ． 点是的中点， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·湖北·二模）如图，的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D=40°，则∠C= ． 【答案】50° 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，垂径定理以及圆周角定理，先根据 的直径 平分弦（不是直径），得，再结合，得，最后由同弧所对的圆周角是相等的，得，即可作答． 【详解】解：∵ 的直径 平分弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点三 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用 1．（2025·广西南宁·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：B． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，是的直径，点，均在上，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由是的直径得到，求出，由得到，继而得到，即可得到答案． 【详解】解： 是的直径， ， ， ， ， 的度数为， 故答案为：． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解． 【详解】解：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 故答案为：． 考点四 圆内接四边形的综合运用 1．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点．根据圆周角定理得出，求出的度数，再根据圆内接四边形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 3．（2025·河南郑州·二模）如图，四边形内接于，， 点 E 在的延长线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．先根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形内角和定理结合等腰三角形的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（2025·山东·一模）如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的内接四边形互补、三角形的内角和定理等知识点，由题意得，结合即可求解； 【详解】解：∵四边形内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C 考点五 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长 1．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 2．（2025·四川·二模）如图，已知点A，B，C三点在上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据得到，结合，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据得到， 由， 故， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 【答案】3 【分析】连接，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到，从而即可求得的长．本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质． 【详解】解：连接， ， ．， ∵， ， ． ． 故答案为：3． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 圆周角的性质 2.圆内接四边形的性质 一、单选题 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·安徽宿州·二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆周角之间的关系，根据题意可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： C． 4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 5．（2025·广东佛山·二模）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握直径所对的圆周角等于是解题的关键． 由直径所对的圆周角等于得到，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为5， ∴直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，延长，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角性质．根据三角形的外角性质求出，根据圆内接四边形的性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，由，得到，根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 9．（2025·湖南邵阳·三模）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理的推论和含30度角的直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键； 根据是的直径，的半径为4，可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，的半径为4， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 10．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，，则的大小为 ． 【答案】50°/度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等， 先根据“同弧所对的圆周角相等”得，再根据“直径所对的圆周角是直角”得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴. 又是直径所对的圆周角， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：连接，则， 又∵是的直径， ∴， ∴， 又∵是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，的半径长为4，弦的长为，点C在上，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，勾股定理； 作所对的圆周角，作于H，连接、，如图，为等腰直角三角形，则，再利用圆周角定理得到，，所以 ，利用勾股定理计算出 ，从而得到答案． 【详解】解：作 所对的圆周角，作于H，连接、，如图， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴． 故答案为 ． 三、解答题 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆周角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点2 圆内接四边形 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 教材习题01 解题方法 圆周角的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆周角的性质 ②等腰三角形的性质 【答案】 教材习题03 解题方法 圆内接四边形的性质 【答案】 / 考点一 直径所对圆周角为90°的运用 1．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·二模）如图，内接于，为的直径，作的平分线交于点，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东汕头·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点二 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 2．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·二模）如图，的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D=40°，则∠C= ． 考点三 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用 1．（2025·广西南宁·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·一模）如图，是的直径，点，均在上，，若，则的度数为 ． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 考点四 圆内接四边形的综合运用 1．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 3．（2025·河南郑州·二模）如图，四边形内接于，， 点 E 在的延长线上，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·一模）如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长 1．（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 2．（2025·四川·二模）如图，已知点A，B，C三点在上，若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 圆周角的性质 2.圆内接四边形的性质 一、单选题 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽宿州·二模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·二模）已知为的直径，点C为上一点，已知半径为5，弦，则弦的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，延长，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是 ． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 9．（2025·湖南邵阳·三模）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为 ． 10．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，，则的大小为 ． 11．（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 °． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 13．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，的半径长为4，弦的长为，点C在上，若，则的长为 ． 三、解答题 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$