第06讲 圆的对称性-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第06讲 圆的对称性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点2 同圆或等圆的性质 ①圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 教材习题01 解题方法 ①全等三角形的性质 ②等弧的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆心角的性质 【答案】 教材习题03 解题方法 ①垂径定理 ②勾股定理 【答案】 / 考点一 利用垂径定理求值 1．（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 2．（2025·北京石景山·二模）如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 3．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ； 考点二 利用垂径定理求平行弦问题 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 4．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 考点三 利用垂径定理求同心圆问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 3．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 考点四 利用垂径定理求解其他问题 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P； (2)求的长． 考点五 垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 2.（24-25九年级上·陕西西安·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 垂径定理的有关运算 2.垂径定理的的实际应用 3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 一、单选题 1．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（2025·新疆喀什·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．48寸 B．24寸 C．25寸 D．50寸 二、填空题 4．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 5．（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 6．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口的长度是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个钢珠的直径为 ． 7．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 三、解答题 8．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为40，求的长． 9．（2025·甘肃平凉·一模）筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的对称性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 知识点2 同圆或等圆的性质 ①圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 教材习题01 解题方法 ①全等三角形的性质 ②等弧的性质 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆心角的性质 【答案】 教材习题03 解题方法 ①垂径定理 ②勾股定理 【答案】 / 考点一 利用垂径定理求值 1．（2025·广东湛江·二模）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径． 【详解】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·北京石景山·二模）如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段． 根据垂径定理，先利用勾股定理求出，再求出的长． 【详解】解：∵为的弦，，半径于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2． 3．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 4．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ； 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 考点二 利用垂径定理求平行弦问题 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 4．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 考点三 利用垂径定理求同心圆问题 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 3．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点四 利用垂径定理求解其他问题 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和等腰三角形的性质三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点O点作，垂足为M，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可求证． 【详解】证明：过点O点作，垂足为M． ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上． (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，，分别作线段，的垂直平分线，交点即为过A，B，C三点的圆的圆心P； （2）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为所求． ； （2）解：由勾股定理得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解答本题的关键． 考点五 垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 【答案】8.9m 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 连接，设拱桥所在圆的半径，则，由垂径定理可得，在，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由题意知：，，设拱桥所在圆的半径，则． 是半径，且 在中， ， 解得：， 答：此桥拱所在圆的半径为8.9m． 2.（24-25九年级上·陕西西安·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 【答案】该圆弧所在圆的半径为5米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，正确理解题意，通过勾股定理建立方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为米，则米．在中，由勾股定理得：，代入解方程即可． 【详解】解：∵经过圆心，为弧中点， ∴， 设的半径为米，则米． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1)求该圆的半径． (2)若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 考点六 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法． （1）作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点． （2）过点作于点，证明是等边三角形，根据勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于， 即：作的角平分线交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即：该点即为所求． （2）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴ ∴ ∴的面积为 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据 即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得，进而由垂径定理可得，再证明四边形是正方形即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 垂径定理的有关运算 2.垂径定理的的实际应用 3.利用弧、弦、圆心角的关系求解 一、单选题 1．（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得到垂直平分，推出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 垂直平分， ， ， ， 故选：D． 2．（2025·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ． 【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·新疆喀什·二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．48寸 B．24寸 C．25寸 D．50寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为，则：， ∴， ∵为的直径，弦， ∴， 在中，由勾股定理，得：，即：， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 4．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【答案】// 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 5．（2025·江苏无锡·二模）如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 过O作垂直于的半径，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出的长；根据勾股定理可，由垂径定理知，进而列方程求解即可． 【详解】解：过O作于D，交于C，连接，设， 由折叠可知： ， 中， ，， 根据勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故答案 ：． 6．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口的长度是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个钢珠的直径为 ． 【答案】26 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意过圆心作的垂线，交于，连接，设半径为，在中应用勾股定理解出即可． 【详解】解：过圆心作的垂线，交于，连接， ， 设半径为，即 ∵小圆孔的宽口的长度是， ∴， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为， ∴， ∴，即，解得：， ∴这个钢珠的直径为：， 故答案为：26． 7．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 【详解】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．（2025·安徽淮北·二模）如图，为直径，E为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为40，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案； （2）连接，由四边形的面积为40求出，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：为弦的中点，为直径， ，， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 四边形的面积为40， ， ， ， ，则， 在中，， ． 9．（2025·甘肃平凉·一模）筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)该筒车的半径长为． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，尺规作图等知识点． （1）先作出线段的垂直平分线，根据垂径定理和圆的性质可得即是所求； （2）利用垂径定理和勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由（1）知，且点在直线上，连接， ， ， 设该筒车的半径长为， ， ， ， 解得， 即该筒车的半径长为． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$