第10讲 正多边形与圆-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第10讲 正多边形与圆 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点3 与正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 教材习题01 解题方法 ①正多边形的性质 ②勾股定理 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆内接正多边形的性质 ②正多边形的内角和公式 【答案】 / 考点一 求正多边形的中心角 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 3．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为 考点二 正多边形与圆求线段长度 1．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（   ） A．3 B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（   ） A． B． C． D．12 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 考点三 正多边形与圆求半径 1.（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 考点四 正多边形与圆求面积 1．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 2．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，正内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·湖北黄石·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 5．（2025·河南周口·二模）如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为 ． 考点五 正多边形与圆求周长 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，半径为1的正六边形的对角线、交于点，则四边形的周长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ． 考点六 正多边形与直角坐标系综合 1．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，如图将“雪花”图案（边长为的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 知识导图记忆 知识目标复核 1.正多边形的性质 2.正多边形与圆综合应用 3.正多边形与坐标综合 一、单选题 1．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025·吉林长春·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 6．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A．2 B． C． D．4 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东济宁·期末）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（　  　） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 11．（2025·江苏盐城·二模）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 12．（2025·陕西渭南·一模）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 14．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 ，周长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 17．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正多边形与圆 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点3 与正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 教材习题01 解题方法 ①正多边形的性质 ②勾股定理 【答案】 教材习题02 解题方法 ①圆内接正多边形的性质 ②正多边形的内角和公式 【答案】 / 考点一 求正多边形的中心角 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 3．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 4．（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据，得出该正多边形的中心角为，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该正多边形的中心角为， ∴该多边形为十边形， 由得其内角和为， 故答案为：． 考点二 正多边形与圆求线段长度 1．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、圆与正多边形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由题意可得，，进而得到，如图：过A作，根据等腰三角形的性质可得，30度直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求得，进而完成解答． 【详解】解：∵六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴ 如图：过A作， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，， 在中，，， ， 同理， ， ， 故选：C． 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正六边形可求出，证明是等边三角形，进而可求出，则有，然后通过勾股定理得，设，则，，再由圆周长公式求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形是圆内接正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 设，则，， ∵的周长等于， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 考点三 正多边形与圆求半径 1.（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， ∴为正三角形， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为点，根据正六边形的性质得，再结合，证明出是正三角形，又，所以，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ，即内切圆半径为， 故答案为：． 考点四 正多边形与圆求面积 1．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，    如图，在中，，， ∴，， ∴． 这个正六边形的面积． 故选：C． 2．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，正内接于半径为1的圆，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是正多边形与圆、等边三角形的性质和直角三角形的性质，掌握正多边形中心的性质、等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键． 连接、，延长交于点D，根据题意可知：O为的中心，，，从而求出，然后根据所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出和，然后根据垂径定理求出，最后根据即可求出结论． 【详解】解：连接、，延长交于点D， ∵正内接于半径是1的圆， ∴O为的中心，，， ∴，， ∴在中，， ， ∴，， ∴ 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，连接，过点A作于点M，根据多边形的性质求得，勾股定理求得，进而即可得解，熟练掌握正多边形与圆，勾股定理的性质是解决此题的关键． 【详解】连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 的半径为2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·湖北黄石·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 5．（2025·河南周口·二模）如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质,等边三角形的性质,正多边形的中心等知识，根据正多边形的中心的定义，可得出,,证明四边形是菱形,得出,证明，得出,,根据含的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，即可求解。 【详解】解:∵为等边三角形的中心， ∴,,,, 由作图知:, ∴, ∴四边形是菱形, ∴, ∴, 连接, ∵,,, ∴ ∴,,, ∴, ∴, ∴, ∴四边形的面积为, 故答案为: . 考点五 正多边形与圆求周长 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，   点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 2．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，半径为1的正六边形的对角线、交于点，则四边形的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据题意可得是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵边长为1的正六边形的对角线交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴四边形的周长为 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题． 【详解】解：设正六边形的边长为a， 连接，交于H，如下图： ∵六边形是的内接正六边形， ∴，，， ∴ ∴， ∴ ∴， 由正六边形的性质知，是等边三角形， ∴， 故答案为：． 考点六 正多边形与直角坐标系综合 1．（2025·山西吕梁·二模）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图，这是部分巢房的横截面图，图中全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，坐标与图形，设中间正六边形的中心为，连接根据的坐标分别为，得出，求出，即可求出，得出结果． 【详解】解：如图，设中间正六边形的中心为，连接． 点的坐标分别为， ， ． ， ， 点的坐标为． 故选：B． 2．（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点的坐标即可． 【详解】解：连接，，如图，    在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ， ， 点的坐标为， 将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过2025次旋转后，顶点的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， 过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴ ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 经过2025次旋转后，顶点的坐标为， 故选：A． 4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，如图将“雪花”图案（边长为的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可：首先根据点坐标及正六边形的边长求出点坐标，然后通过解直角三角形即可求出顶点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ，， ，即， 在中，， ， ， ， ， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 顶点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的综合，坐标与图形综合，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握正六边形的性质以及坐标与图形的性质是解题的关键． 知识导图记忆 知识目标复核 1.正多边形的性质 2.正多边形与圆综合应用 3.正多边形与坐标综合 一、单选题 1．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·安徽六安·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识，根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·山东临沂·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：B． 4．（2025·吉林长春·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为， ∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则它的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示：    ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 6．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型：点的坐标，坐标与图形变化-旋转，连接，设交y轴于点P，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转8次为一个循环，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交y轴于点P， ， ∵边长为6的正六边形的中心与原点O重合，轴， ∴轴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴同理得，，，， ∵将六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，8次一个循环， ∵， ∴第900次旋转结束时，点A与点D重合， ∴点A的坐标为， 故选：B． 7．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键． 根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可。 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， , 即它的内切圆半径为， 故答案为：C. 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是解题关键． 先求出正六边形的边长，再构建直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：如图：连接，作 ． ∵圆内接正六边形的周长为24， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选B． 9．（24-25九年级上·山东济宁·期末）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂径定理可得，，再证明是等边三角形，可得，，再根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：连接，交于点M，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接正多边形，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识点． 二、填空题 10．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆， 先求出中心角，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵这个多边形是正八边形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 11．（2025·江苏盐城·二模）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长． 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 12．（2025·陕西渭南·一模）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正多边形的性质和等边三角形的性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 设为正六边形的中心，连接，则是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：设为正六边形的中心，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长为1， ∴． 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 ，周长为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，连接，证明正三角形，得连接得是等边三角形，求出面积即可得解 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是正六边形， ∴ ∴， ∵ ∴在上， 同理可得，在上， ∴三点共线， ∴ ∴ 又 ∴ ∴正三角形， ∴ ∴小正六边形的周长为； 连接则 ∴是等边三角形， ∴ 过点作于点P， ∴ ∴ ∴， ∴小正六边形的面积为， 故答案为：6； 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多边形的性质，圆心角的计算，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，则是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∴正六边形的周长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 17．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可； （）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， 则， ∵的周长等于等于， ∴半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心到的距离； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$