第12讲 圆锥的侧面积-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第12讲 圆锥的侧面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 教材习题01 解题方法 圆锥侧面积的运算 【答案】 教材习题02 解题方法 圆锥侧面积和全面积的运算 【答案】 / 考点一 求圆锥侧面积 1．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，点、线、面、体以及勾股定理，将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：将绕所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥， 圆锥的底面圆的半径为1，母线长， 所以圆锥的侧面积． 故选：B． 3．（2025·浙江舟山·二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积等于扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴圆锥的侧面积等于扇形的面积． 故答案为：． 考点二 求圆锥底面半径 1．（2025·湖北恩施·一模）已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆锥与其侧面展开图之间的关系，利用底面周长展开图的弧长可得答案． 【详解】解：设这个扇形铁皮的半径为，由题意得， 解得． 故这个扇形铁皮的半径为， 故选C． 2．（2025·江苏宿迁·二模）用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为4的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：2． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，正五边形的边长为4，以为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，展开图折叠成几何体，圆锥的计算，正确记忆相关知识点是解题关键．设该圆锥的底面半径为，根据正多边形内角和定理求出，再根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的扇形的弧长列出方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 由题意得， 由题意得，， ， 该圆锥的底面半径为， 故答案为：． 4．（2025·宁夏银川·二模）如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为M，则， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， ， 解得． 故答案为：． 考点三 求圆锥的高 1.（2025年黑龙江省齐齐哈尔市九年级中考数学调研模拟卷）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径画弧，得到阴影部分的扇形，由这个扇形围成的圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的母线，高和底面圆半径之间的关系，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径是解题的关键． 先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：如图， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 3．（2025·广东清远·二模）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算以及勾股定理等知识，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 设此圆锥的母线长为R，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到 ，求解即可确定R的值，然后由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：设此圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得，即在中，， ∴由勾股定理，可得， 即此圆锥的高为． 故答案为：． 考点四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角度数，勾股定理求出母线长，根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设展开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：展开图的圆心角的度数为； 故选：C． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，根据圆锥的侧面展开图得到的扇形的弧长等于其底面圆周长建立方程求解即可． 【详解】解；设圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 由题意得，， 解得， ∴圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， 故答案为：． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的圆心角，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 考点五 圆锥的实际问题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 2．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 3．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积的求解，掌握圆锥的侧面积为（分别为底面圆半径和母线长）是解题的关键． 先根据勾股定理求出半径，再由圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 4．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 考点六 圆锥侧面上最短路径问题 1．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 3．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 知识导图记忆 知识目标复核 1.求圆锥的侧面积 2.求圆锥的底面半径 3.求圆锥的高 4.求圆锥侧面展开图的圆心角 5.圆锥的实际问题 6.圆锥侧面上最短路径问题 一、单选题 1．（2025·安徽宣城·二模）一圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算．首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径是：， 圆锥的底面周长为， 则这个圆锥的侧面积是． 故选：C 2．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且侧面积为，该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．设圆锥的母线长为，根据扇形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得：， 圆锥的母线长为3． 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 【答案】C 【分析】根据圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点D是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和D在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离． 正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面周长是，则， ∴即圆锥侧面展开图的圆心角是， ∴在圆锥侧面展开图中，，， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是 故选：C． 4.（22-23九年级上·湖北黄冈·期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为5，则底面周长l为，母线长为8， 所以侧面展开图的面积， 故选：C． 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，比较简单． 二、填空题 5．（2025·江苏徐州·一模）已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 6．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 7．（2024·广东肇庆·一模）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查求圆锥的侧面展开图的弧长，根据圆锥的展开图的弧长等于底面圆的周长，先由勾股定理求出底面半径即求解． 【详解】解：圆锥底面半径； 这个圆锥的侧面展开图的弧长是 故答案为：． 8．（2024·江苏徐州·一模）圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面积为，底面半径为3， ∴． 解得：， 故答案为：8． 9．（2023·云南·模拟预测）某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：解：这张扇形纸板的面积为， 故答案为：． 10．（2025·四川眉山·二模）有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是 m． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，求圆锥底面圆的半径，连接，圆周角定理的推论得到为直径，求出的长，进而求出的长，进而求出圆锥底面圆的半径即可． 【详解】解：连接，由题意，得：，， ∴为的直径， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴圆锥的底面圆的半径为：； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 13．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形弧长计算，圆的周长公式等知识；涉及的知识点较多．过点B作于H；由正六边形的性质得，；在中，由勾股定理求得，从而求得，则可求得的长，再根据圆锥底面周长等于扇形弧长，即可求得圆锥底面圆的半径． 【详解】解：如图，过点B作于H， ∵正六边形， ， 又， ，； 同理可知， ， 在中，， 则，由勾股定理得：， ， 的长， ∴圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． 14．（2023·湖北十堰·三模）党的二十大提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道．”王家庄村民李兴旺看到来村游客越来越多，民宿需求大增，就扩大自己的农家乐经营规模，在新建大厨房时，购买了规格为180cm×120cm的长方形不锈钢铁皮（如图①）用来制作如图②的烟囱帽（圆锥部分），他用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为 cm．    【答案】 【分析】先找到用铁皮裁下的最大扇形，再根据圆锥的性质即可求解． 【详解】解：如图，扇形面积为，    如图，扇形面积为，    如图，，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，， 扇形面积为， 最大扇形的弧长为， 圆锥的底面半径为，母线长为， 用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 16．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 17．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 18．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥的侧面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 教材习题01 解题方法 圆锥的侧面积公式运算 【答案】 教材习题02 解题方法 圆锥的侧面积和全面积的运算 【答案】 / 考点一 求圆锥侧面积 1．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，把绕直线旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江舟山·二模）已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的侧面积是 ． 考点二 求圆锥底面半径 1．（2025·湖北恩施·一模）已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形铁皮的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·二模）用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为 ． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，正五边形的边长为4，以为圆心，以为半径作弧，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 4．（2025·宁夏银川·二模）如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 考点三 求圆锥的高 1.（2025年黑龙江省齐齐哈尔市九年级中考数学调研模拟卷）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径画弧，得到阴影部分的扇形，由这个扇形围成的圆锥的高为 ． 3．（2025·广东清远·二模）在数学课上，某同学用一张如图所示的长方形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形，围成一个圆锥模型，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径，则此圆锥的高为 ． 考点四 求圆锥侧面展开图的圆心角 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ． 3．（2025·山西朔州·三模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 考点五 圆锥的实际问题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 2．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 3．（2025·云南昆明·二模）2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 4．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ． 考点六 圆锥侧面上最短路径问题 1．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东梅州·一模）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 知识导图记忆 知识目标复核 1.求圆锥的侧面积 2.求圆锥的底面半径 3.求圆锥的高 4.求圆锥侧面展开图的圆心角 5.圆锥的实际问题 6.圆锥侧面上最短路径问题 一、单选题 1．（2025·安徽宣城·二模）一圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且侧面积为，该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A．3cm B． C． D．6cm 4.（22-23九年级上·湖北黄冈·期末）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·江苏徐州·一模）已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ． 6．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）． 7．（2024·广东肇庆·一模）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 ．（结果保留π） 8．（2024·江苏徐州·一模）圆锥的侧面积为，底面半径为3，则该圆锥的母线长是 ． 9．（2023·云南·模拟预测）某节活动课上，安安用一张半径为的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为，则这张扇形纸板的面积为 ．    10．（2025·四川眉山·二模）有一直径是的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是的扇形（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是 m． 11．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 13．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 14．（2023·湖北十堰·三模）党的二十大提出“发展乡村特色产业，拓宽农民增收致富渠道．”王家庄村民李兴旺看到来村游客越来越多，民宿需求大增，就扩大自己的农家乐经营规模，在新建大厨房时，购买了规格为180cm×120cm的长方形不锈钢铁皮（如图①）用来制作如图②的烟囱帽（圆锥部分），他用铁皮裁下的最大扇形焊成的烟囱帽的高度为 cm．    三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 16．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 17．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 18．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$