精品解析：2025年河北省盐山县千童中学初中学业水平考试数学模拟试卷

2025年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．结合数轴的特点，运用数轴的平移变化规律即可计算求解． 【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度， 即． 故选：B． 2. 数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若4根红色木根表示，则3根黑色木根表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用正负数来表示实际问题中具有相反意义的量，熟练掌握用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据正负数的表示方法解答即可． 【详解】解：4根红色木根表示， 3根黑色木根表示， 故选：． 3. 如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意，A、B、C均不能得到，故不符合题意， 故选：D． 5. 如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，，找出旋转角即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，， ∴旋转角为． 故选：C． 6. 如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 7. 已知，且．则A 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 8. 如图，在四边形中 ，，且是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论，下列判断正确的是（ ） 甲：若连接 ，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】选择甲：由， 是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接 、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】解：如图1，连接 ， ∵， 是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 如图，连接 、，，交于， ∵， 是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 综上所述，甲、乙都正确． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 9. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 10. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图的正方形网格中，描述了某次单词复习中，，，四位同学的单词记忆效率与复习的单词个数的情况，其中，，三位同学对应的点在同一个函数图象上，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，正确理解题意是解题的关键．根据M，N，S，T四位同学的“单词的记忆效率”y与复习的单词个数的情况的图表来判断． 【详解】解：由图可知：M同学的单词记忆效率最高，但复习个数最少，T同学的复习个数多，但记忆效率最低，N、S两位同学的记忆效率基本相同，但S同学复习个数较多，所以四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S． 故选：C． 11. 如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点 ，以点为圆心，为半径作弧与交于点 ．设，，则方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：A． 12. 题目：“如图1是三个斜边分别为a，b，c（）的相似三角形，用它们可以不重合无空隙的拼成一个矩形．已知将①和②按如图2所示组合，可得到，求用①②③拼成的矩形的长与宽之比．”对于其答案，甲答：2；乙答：；丙答：，则正确的是（　　） A. 只有甲答得对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 乙、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，首先由得到，得到，设，，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理和解直角三角形求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∴设， 当按如下图所示拼成矩形时， ∴， ∴ ∴用①②③拼成的矩形的长与宽之比为； 当按如下图所示拼成矩形时， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴用①②③拼成的矩形的长与宽之比为； 综上所述，甲、丙答案合在一起才完整． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12） 13. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，， 分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）． 【答案】= 【解析】 【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】解：连接DE，如图 ∵点，点，点，点，点， 由勾股定理与网格问题，则 ，， ∴△ABC是等腰直角三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴△ADE是等腰直角三角形； ∴； 故答案为：=． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形． 15. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 连接、、，根据切线的性质求出，再求出，再在圆内接四边形中，求出，再根据内角和定理解答即可． 【详解】解：连接、、，如图， ∵与边分别相切于点， ∴， ∴， ∵正六边形的内角和为，每个内角为， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， ∴， 在圆内接四边形中， ， ， ， 故答案为：60． 16. 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，同时满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和谐数”．将“和谐数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若 能被整除，则满足条件的的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，整式加减的应用，设，可得，，进而由得到，即得被整除，据此解答即可求解，正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设， 则，， ∵， ∴ , ∵能被整除， ∴被整除， ∵的各个数位上的数字互不相等且均不为， ∴当取最大值时，，， ∵， ∴，， ∴满足条件的的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2，同时B 区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，B 两区初始显示的数分别是和7． （1）按键1次后，求A，B两区显示的结果的和； （2）若按键n 次后，A 区的结果比B区结果的2倍少5，求n的值． 【答案】（1）按键1次后，A，B两区显示的结果的和为5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）依据题意得到，即可求解； （2）依据题意得到方程，即可求解． 【小问1详解】 解：按键1次后，A，B两区显示的结果的和为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得． 18. 在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，m，1．小 红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a后放回并摇 匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号b． b a m 1 m 1 2 （1）用列表法（如表所示）表示的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）列表如下： b a m 1 m 1 2 共有9种等可能的情况数； （2）①理由如下： 当时，，，， ∴的情况有4种，概率为， 的情况有5种，概率为， ∵，则小红获胜；若，则小明获胜，， ∴小明获胜的可能性大； ② 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可； （2）①根据概率公式求出小明和小红获胜的概率，再进行比较，即可得出答案； ②如果小红获胜的可能性比小明大，则，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵由（1）可得9种情况中，，，满足，2满足， ∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足， ∴，， 解得， 即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为． 19. 如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点 处，让无人机飞到点 处 ，与底板平行，测得米，此时在点 处又测得坡道上的点 的俯角为，接着让无人机飞到点 处 ，与底板平行，测得米． （参考数据：） （1）求的值； （2）已知水平地面、顶板 在同一条直线上，且这条直线与底板平行，无人机从点飞到点，，测得米，此时在点处测得点 的俯角为，在不考 虑其他因素的前提下，请通过计算说明一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库． 【答案】（1） （2） 解：如图，连接， ∵均与平行， ∴在同一直线上， ∵，， ∴， ， 过点 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴货车能进入该车库． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键熟练掌握三角函数比． （1）过点作于点，可得四边形为矩形，利用三角函数求出的值，然后再利用三角函数即可求解； （2）连接，根据题意判定在同一直线上，利用等腰直角三角形得出，过点 作于点，利用三角函数和勾股定理即可求出结果进行判断． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，可得四边形为矩形，则. ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 20. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ ①（ ）2　－（ ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． （3）由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【答案】（1）①7，5；② （2）② （3）正确 【解析】 【分析】（）①根据规律即可求解； ②根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； （3）运用（）的过程进行作答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【小问1详解】 解：由规律可得，， 故答案为：，； 由规律可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【小问3详解】 解：依题意，由①②③可知，猜测正确 故答案为：正确 21. 如图，小明同学设计的鱼缸截面图是的一部分，是鱼缸的玻璃隔断，弓形部分（阴影）不注水，已知，且圆心O 在上，． （1）求的半径； （2）注水时，水面，且与交于点E，与交于点F． ①当水面恰好经过圆心O时（如图所示）求水面宽； ②直接写出注水过程中，水面宽度EF的最大值． 【答案】（1）的半径为 （2）①；②注水过程中，水面宽度的最大值为 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理解求出，即可作答． （2）①当水面恰好经过圆心时，其结合半径为，进而求出，根据平行线分线段成比例得，求出，即可求出水面宽度； ②作于点M，交FM于点H，交EF于点G，利用平行四边形的性质及相似三角形对应边成比例的性质将所求线段进行转化，可得，结合圆的性质可知，当经过圆心O时，取得取大值，由此可解． 【小问1详解】 解：连接， 设，则， ∵， ∴， 则在中，， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解：①由（1）得的半径为； ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当水面恰好经过圆心时，则水面宽为； ②如下图所示， 作于点M，交FM于点H，交于点G， ∴ 则四边形为平行四边形，， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 观察图形可知，当经过圆心O时，取得取大值， 此时， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由等面积法知， ∴， ∴ 即注水过程中，求水面宽度的最大值为． 【点睛】本题考查圆的基本知识、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等，综合性质较强，第二小题难度很大，需要作辅助线将所求线段进行转化，得出经过圆心O时，取得取大值， 22. 小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． （1）点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． （2）当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； （3）在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； （4）已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 【答案】（1）； （2）直线的解析式为 （3）点的横坐标的最大值与最小值的差为 （4）满足条件的整数的值有个 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形变换，掌握轴对称的性质，图形平移，二元一次方程的解等知识，数形结合分析是关键． （1）根据点关于轴对称，横坐标为相反数，纵坐标不变可得的坐标，如图所示，连接交轴于点，直线与轴交于点，过点作轴，则，根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，可证，得，即，即可求解； （2）把点代入解析式，再把（1）中代入即可求解； （3）当点过直线时，如图所示，得到，当点过直线时，如图所示，得到，由此即可求解； （4）根据题意，把点代入得到，结合题意，代入试根即可求解． 【小问1详解】 解：点在平面镜内的虚像，即点关于轴对称， ∴， 如图所示，连接交轴于点，直线与轴交于点，过点作轴，则， ∴，， 当时，，当时，，则， ∴， ∴， ∴， 根据反射原理得到，， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，； 【小问2详解】 解：反射光线经过点时， ∴， 由（1）得，， ∴， 解得，， ∴， ∴直线 的解析式为； 【小问3详解】 解：已知， 当点过直线时，如图所示， 即时，， 解得，， ∴， ∴，； 当点过直线时，如图所示， 令，则， 解得，， ∴， ∴点的横坐标的最大值与最小值的差； 【小问4详解】 解：反射光线经过点， ∴，且， ∴， 整理得，， ∵为正整数，为整数， ∴能被整除， ∴， 经验证当：时，，符合题意， 时，，符合题意， ∴时符合题意， ∴满足条件的整数的值有个． 23. 如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． （1）直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； （2）如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】（1），点B到地面的距离为2米 （2）①抛物线L的解析式为y=-（x-3）2+；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内 （3）这条钢架的长度为2米 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标即可得到点C的坐标，然后将代入求解即可； （2）①首先得出抛物线L的顶点为，然后根据抛物线L和抛物线形状相同，开口向下求解即可； ②令，得到，解得，，求出，进而求解即可； （3）首先得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ∵ ∴水滑道最低点C 的坐标为； 将代入，得 ∴点B到地面的距离为2米； 【小问2详解】 ①由题意得抛物线L的顶点与点C关于点B成中心对称，即B是它们的中点． 又∵，， ∴抛物线L的顶点为， ∴此人腾空后的最大高度为米． ∵抛物线L和抛物线形状相同，开口向下， ∴抛物线L的解析式为； ②由①得抛物线L的解析式为 令， ∴，解得，（舍去）， ∴． 又∵米， ∴（米）米， ∴落点D在安全范围内； 【小问3详解】 解：根据题意可得点的横坐标为， 代入 ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 24. 如图，在中，，，，点 P 从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P 不与点A，B重合时，在边上取一 点 Q，满足，过 点Q作 ，交边 于点M，以，为边作矩形，设点P 的运动时间为t秒． （1）当点P在边上时，求证：； （2）求线段的长（用含t的代数式表示）； （3）当点P从点A向点C 运动时，对于矩形与重叠部分图形的周长，嘉嘉 认为是个定值，淇淇认为越来越小，请你判断他俩谁说得正确，若嘉嘉说得正确，请直接 写出这个定值；若淇淇说得正确，请说明理由； （4）作点A关于直线的对称点，作点C关于直线的对称点，当点，这两个点中只有一个点在矩形内部时（不含边上），直接写出此时t的取值范围． 【答案】（1） 证明：如图1，过点Q作于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴； （2）或 （3）嘉嘉说得正确，定值为 （4）或 【解析】 【分析】（1）过点Q作于点H．证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）分两种情况，当点在上和点在上，利用全等三角形的性质和余弦的定义求解即可． （3）当时，重叠部分是四边形，通过相似三角形的判定和性质求出四边形各边，然后相加即可得出答案． （4）①如图5中，当点在线段MQ上时，作于求出t的值如图6中，当点在MN上时，作于求出t的值，由此即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，如图1， 在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 当时， 如图2，过点Q作于点K． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：嘉嘉说得正确，定值为，理由如下： 如图3中，当时，重叠部分是四边形． 由(2)可知：，，， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ， ， 同理可得出， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 四边形的周长． 【小问4详解】 解如图5中，当点在线段上时，作于K． 由轴对称的定性可知 即， 解得， 观察图象可知：当时，点这两个点中只有一个点在矩形内部． 如图6中，当点在上时，作于K． 同理 即， 解得， 观察图象可知：时，点这两个点中只有一个点在矩形内部． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷 一 、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若4根红色木根表示，则3根黑色木根表示（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且．则A 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 18 D. 20 8. 如图，在四边形中 ，，且是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论，下列判断正确的是（ ） 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确 9. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 10. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图的正方形网格中，描述了某次单词复习中，，，四位同学的单词记忆效率与复习的单词个数的情况，其中，，三位同学对应的点在同一个函数图象上，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 12. 题目：“如图1是三个斜边分别为a，b，c（）的相似三角形，用它们可以不重合无空隙的拼成一个矩形．已知将①和②按如图2所示组合，可得到，求用①②③拼成的矩形的长与宽之比．”对于其答案，甲答：2；乙答：；丙答：，则正确的是（　　） A. 只有甲答得对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 乙、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12） 13. 已知，那么________． 14. 如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）． 15. 如图，在正六边形中，经过点的与边分别相切于点G，H，与边交于点M，连接交于点N，则的度数为__． 16. 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为，同时满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数为“和谐数”．将“和谐数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数．若 能被整除，则满足条件的的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上2，同时B 区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，B 两区初始显示的数分别是和7． （1）按键1次后，求A，B两区显示的结果的和； （2）若按键n 次后，A 区的结果比B区结果的2倍少5，求n的值． 18. 在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，m，1．小 红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a后放回并摇 匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号b． b a m 1 m 1 2 （1）用列表法（如表所示）表示的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m 的取值范围． 19. 如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点 处，让无人机飞到点 处 ，与底板平行，测得米，此时在点 处又测得坡道上的点 的俯角为，接着让无人机飞到点处 ，与底板平行，测得米． （参考数据：） （1）求的值； （2）已知水平地面、顶板 在同一条直线上，且这条直线与底板平行，无人机从点飞到点，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考 虑其他因素的前提下，请通过计算说明一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库． 20. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ ①（ ）2　－（ ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． （3）由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 21. 如图，小明同学设计的鱼缸截面图是的一部分，是鱼缸的玻璃隔断，弓形部分（阴影）不注水，已知，且圆心O 在上，． （1）求的半径； （2）注水时，水面，且与交于点E，与交于点F． ①当水面恰好经过圆心O时（如图所示）求水面宽； ②直接写出注水过程中，水面宽度EF的最大值． 22. 小明利用平面镜成像原理设计了一个游戏，如图，在 轴上放置一平面镜，从点处 向平面镜发射一束光（看成线），经反射后沿直线传播． （1）点在平面镜内的虚像的坐标为 ； 满足的数量关系为 ． （2）当反射光线经过点时，求直线 的解析式（不用写自变量的取值范围）； （3）在 轴上从左到右有两点，且 ，从点向上作 轴，且． 若使 沿 轴左右平移，且保证中的反射光线能照射到边（包括端点）上，求点 的横坐标的最大值与最小值的差； （4）已知点（为正整数），设平面镜的长度足够长，若反射光线经过点，直接写出满足条件的整数的个数． 23. 如图1是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，并绘制了如图2所示的水滑道截面图，人从点A 处沿水滑道滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，且得到水滑道所在抛物线的解析式为． （1）直接写出水滑道最低点C 的坐标，并求点B到地面的距离； （2）如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米．若某人腾空后的路径形成的抛物线L恰好与抛物线形状相同，且关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线L的解析式（不用写自变量的取值范围）； ②规定人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离应不少于3米，通过计算判断此人腾空飞出 后的落点D 是否在安全范围内（水面与地面的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图3，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道上距y轴8米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上（假设水滑道的正下方都是地面），请你直接写出这条钢架的长度（结果保留根号）． 24. 如图，在中，，，，点 P 从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P 不与点A，B重合时，在边上取一 点 Q，满足，过 点Q作 ，交边 于点M，以，为边作矩形，设点P 的运动时间为t秒． （1）当点P在边上时，求证：； （2）求线段的长（用含t的代数式表示）； （3）当点P从点A向点C 运动时，对于矩形与重叠部分图形的周长，嘉嘉 认为是个定值，淇淇认为越来越小，请你判断他俩谁说得正确，若嘉嘉说得正确，请直接 写出这个定值；若淇淇说得正确，请说明理由； （4）作点A关于直线的对称点，作点C关于直线的对称点，当点，这两个点中只有一个点在矩形内部时（不含边上），直接写出此时t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $