精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高二下学期第二次调研考试数学试题

高二年级下学期第二次调研考试 数学试卷 2025.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足不等式的的值可以为（    ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. (a为常数) B. C. D. 3. 设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（ ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 4. 有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 5. 若，则（ ） A. 0.9 B. 0.78 C. 0.66 D. 0.12 6. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 7. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 24 B. 6 C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 11. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列满足，且，则____________． 13. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 14. 在公比不为1的正项等比数列中，若，且有成立，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 16. 实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 （1）根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率； （2）是否有的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？ 附：. 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 已知数列满足，．设． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），a，. （1）当时，讨论在上的单调性； （2）当时，若存在，使，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第二次调研考试 数学试卷 2025.5 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足不等式的的值可以为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. (a为常数) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 3. 设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（ ） X 0 1 2 P 0.1 0.4 0.2 0.3 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用分布列的性质求解. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 0.9 B. 0.78 C. 0.66 D. 0.12 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式、事件和的概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 6. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 18 B. C. 24 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 7. 二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 24 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项，进而确定常数项并求解. 【详解】依题意，展开式中的通项公式为， 显然无解，由，得， 所以所求常数项为. 故选：D 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式计算出方差，再由方差的性质计算判断A，根据方差的定义求解判断BD，根据正态分布的性质判断C． 【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确; 对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n， 则， 当且仅当时，故B错误; 对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误； 对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确. 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. B. 对任意实数 C. D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，而，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极小值1， 当时，；当时，. 恒成立，所以在上单调递增， 当；当. 所以函数的大致图象如图所示， 不妨设，由为偶函数可得， 直线与和的图象有三个交点，显然， 令，整理得， 解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列满足，且，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据递推关系逐一求解的值即可求解. 【详解】由以及可得， 故， 故答案为：4 13. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）； 1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个； 2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个. 1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9， 所以能表示的数有个； 1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5， 所以能表示的数有个； 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故答案为：. 14. 在公比不为1的正项等比数列中，若，且有成立，则______. 【答案】10或4049 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由，可得，利用通项公式化简条件等式，可得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为且， 由，则，故， 又， ， ，即， ，又， ， ， 化简整理得，即， 解得或，均满足. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若△ABC的周长为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 又， ， 化简得：， 由得，又，故. 【小问2详解】 由题可知：，且，故， 由余弦定理得：， 即，解得：， . 16. 实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种牛痘疫苗 20 30 已接种牛痘疫苗 10 60 （1）根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率； （2）是否有的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？ 附：. 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据分别求出未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的频率，然后利用频率来衡量概率； （2）根据公式计算，然后根据临界值表中的数据分析判断. 【小问1详解】 由题意可知，末接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为 已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为. 【小问2详解】 列联表如下 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 合计 未接种牛痘疫苗 20 30 50 已接种牛痘疫苗 10 60 70 合计 30 90 120 则， 所以有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关. 17. 已知数列满足，．设． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明: 由，，可得， 因为，则，，可得是首项为，公比为的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，得到为等比数列， （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得 【详解】（1）略； （2）由（1），由，可得， ， ， 上面两式相减可得： ， 则． 18. 为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用组合数和概率乘法公式即可计算求解. （2）甲得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望；乙得分的取值有，分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得分的数学期望. 【小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. 【小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分的数学期望为. 19. 已知函数（e为自然对数的底数），a，. （1）当时，讨论在上的单调性； （2）当时，若存在，使，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论，由导数法求函数单调性； （2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数，对a分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论； 【小问1详解】 当时，，的定义域为，， 当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增； 当时，方程有两不等正根， 结合定义域由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，方程有一负根和一正根， 结合定义域由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可知： 当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 法一：分离变量可得：，令，，则 ， 易得当时，，且，从而， 所以在单调递减，于是. 即a的取值范围为. 法二：当时，，令，，则，即为， 而在上单调递减，所以当时，， 又， i. 当，即时，，符合题意； ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使； iii. 当时，由于时，，所以， 令，则，所以在上是增函数，最大值为， 又，所以，此时恒有， 因此不存在，使. 综上可知，，即a的取值范围为. 【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值，得出结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $