精品解析：辽宁省朝阳市第一中学联盟校2024-2025学年八年级下学期5月期中联考数学试题

朝阳一中2024--2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 （试题满分120分，测试时间90分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 2. 下列变形过程正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，故选项A错误，不符合题意； B．由，，则，故选项B错误，不符合题意； C．由，则，故选项C正确，符合题意； D．由，则，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A、是因式分解，选项正确； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示， 首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 故不等式组的解集为：， ∴不等式组在数轴上表示为：， 故选：A 5. 用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与c相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即 【详解】用反证法时应假设结论不成立，即假设的对立面a与c相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 6. 如图，将沿方向平移1个单位得到，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形平移，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移可得，由此即可求解． 【详解】解：将沿方向平移1个单位长度， ∴， ∴， 故选：D ． 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 8. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时 B、D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即此时 B、D两点之间的距离为， 故选：B． 9. 已知不等式组的解集为，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、求代数式的值，先分别求出每个不等式得解集，再根据题意得出，，从而求出，，代入代数式即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的理解，利用定义从图形中准确得找出旋转角是关键．根据题意得出旋转角，进而根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， 又∵， ∴ 故选：C． 11. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（　　） A. 31cm B. 41cm C. 51cm D. 61cm 【答案】C 【解析】 【分析】已知△AGC的周长，因为GB等于AG，所以△ABC的周长等于AC+CG+GB+AB，即等于△AGC的周长+AB. 【详解】∵DG是AB边的垂直平分线， ∴GA=GB， △AGC的周长=AG+AC+CG=AC+BC=31cm，又AB=20cm， ∴△ABC的周长=AC+BC+AB=51cm， 故选C. 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质.把求△ABC的周长进行转化是解题的关键. 12. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；③“对顶角相等”的逆命题是真命题；④如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断判断即可． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④如果，那么，说法正确； 正确的有①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 13. 若等腰三角形的一个角为，则底角为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．分这个的角为底角和顶角两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：可分两种情况， ①当这个的角为底角时，另一个底角也为； ②当这个的角为顶角时，底角为． 综上所述，底角为或． 故答案为：或． 14. 已知点与点关于原点对称，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：，． 15. 已知关于x不等式有2个负整数解，则a的取值范围为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、根据不等式的解析求参数，解不等式得出，结合有2个负整数解得出，求解即可． 【详解】解：解得：， ∵关于x的不等式有2个负整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 【答案】AB=DC或AC=DB 【解析】 【分析】:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据定义添加条件即可． 【详解】∵：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 又∵ , ∴再添加：或即可证明 故答案为：或 【点睛】本题考查证明直角三角形全等的方法，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键． 17. 如图，函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1＞2的解集是___． 【答案】x＞1. 【解析】 【详解】根据图象可知：y=ax－1＞2的x的范围是x＞1， 即不等式ax-1＞2的解集是x＞1. 18. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 19. 把多项式分解因式，得，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先利用乘法法则计算，再根据因式分解的意义得a、b的值． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故答案：，． 20. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 21. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，把代入，求出的值，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 由图可知：的解集为：； 故答案为：． 22. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的有________． ①是的平分线；②；③；④点在的垂直平分线上； ⑤；⑥若，则到点到的距离是． 【答案】①②③④⑥ 【解析】 【分析】由作图可知平分，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出，进而求出，判断②，等角对等边判断③和④，根据含度角的直角三角形的性质，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤，根据含度角的直角三角形的性质可判断⑥． 【详解】解：由作图可知：平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，，，故②③正确； ∴点D在的垂直平分线上，，故④正确，⑤错误； 如图，过点作于点， ∵， ∴，故⑥正确 故答案为：①②③④⑥． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 23. 解下列不等式（组）： （1）解不等式，并写出它的所有负整数解． （2） （3） 【答案】（1）解集为：，负整数解是：，； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式一般步骤和公共解的取法是解题的关键．特别注意系数化为1时，若一次项系数为负数，则所得解集不等号方向要改变． （1）按解一元一次不等式的一般步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1运算，再取负整数解即可； （2）分别解出两个一元一次不等式，再取公共解即可； （3）分别解出两个一元一次不等式，再取公共解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴原不等式的负整数解是：，； 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【小问3详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组解集为： 24. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价元，每个种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，那么最多购买种娃娃多少个？ 【答案】个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解．设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个，列不等式，解得：，再取其中的最大整数值，即可求解． 【详解】解：设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个， 根据题意得：， 解得：， 又正整数， 的最大值为， 答：最多购买A种娃娃个． 25. 如图，在中，，，为的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，结合条件可得到，，再利用含30°直角三角形的性质可得到，可证得结论． 【详解】证明：连接， ∵为的垂直平分线， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空． （1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、B、C关于原点对称的对应点、、，顺次连接即可； （3）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出图形，然后写出坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，即为所求； ∴的坐标为， 故答案为:． 27. 如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质系．过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分． 【详解】证明：如图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分． 28. 开放平台提供两种调用计费方案，方案A：每月基础服务费30元，每千次调用收费2元；方案B：每月可免费调用5千次，超出后每千次收费3元．某开发者预计每月调用次数为千次． （1）写出两种方案月总费用（元）和（元）与调用次数（千次）的函数关系式； （2）若每月调用超过5千次，开发者应如何选择方案才能使费用最低？请说明理由． 【答案】（1）， （2）当，选择方案 费用最低．当，选择方案费用最低．当 ，两种方案费用相同，可任意选择 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ； 【小问2详解】 解：当，解得：， 当，解得：， 当，解得：， ∴当，选择方案 费用最低．当，选择方案费用最低．当 ，两种方案费用相同，可任意选择． 29. 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” （1）组合是 ；（填梦想解或无缘解） （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 【答案】（1）无缘解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键． （1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解； （2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出，求解即可； （3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出，求解即可． 【小问1详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， 方程的解不满足，故此组合为无缘解； 【小问2详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的是“无缘解”， ∴， 解得：． 30. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 【答案】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：5； 理解应用：解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 朝阳一中2024--2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 （试题满分120分，测试时间90分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1. 下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是(　　　　) A. B. C. D. 2. 下列变形过程正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. a与b相交 D. a与c相交 6. 如图，将沿方向平移1个单位得到，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 8. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时 B、D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式组的解集为，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB=20cm，则△ABC的周长为（　　） A. 31cm B. 41cm C. 51cm D. 61cm 12. 下列说法中，正确的结论有（ ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；③“对顶角相等”的逆命题是真命题；④如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 13. 若等腰三角形的一个角为，则底角为________． 14. 已知点与点关于原点对称，则________，________． 15. 已知关于x的不等式有2个负整数解，则a的取值范围为 __________． 16. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 17. 如图，函数y＝ax－1图象过点(1，2)，则不等式ax－1＞2的解集是___． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 19. 把多项式分解因式，得，则________，________． 20. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是________． 21. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为_______． 22. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的有________． ①是平分线；②；③；④点在的垂直平分线上； ⑤；⑥若，则到点到的距离是． 三、解答题（本大题共8小题，共76分） 23. 解下列不等式（组）： （1）解不等式，并写出它的所有负整数解． （2） （3） 24. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个种娃娃进价元，每个种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，那么最多购买种娃娃多少个？ 25. 如图，在中，，，为的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空． （1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________． 27. 如图，，是的中点，平分，求证：平分． 28. 开放平台提供两种调用计费方案，方案A：每月基础服务费30元，每千次调用收费2元；方案B：每月可免费调用5千次，超出后每千次收费3元．某开发者预计每月调用次数为千次． （1）写出两种方案月总费用（元）和（元）与调用次数（千次）的函数关系式； （2）若每月调用超过5千次，开发者应如何选择方案才能使费用最低？请说明理由． 29. 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” （1）组合是 ；（填梦想解或无缘解） （2）若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； （3）若关于x是“无缘解”则m的取值范围为 ． 30. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$