精品解析：四川省内江市威远中学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

威远中学校2026届高二下期5月月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 2. 展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 90 C. 40 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故选：A． 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，推导出，即可求出的值. 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除BD，根据时函数值的正负可排除A求解. 【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且， 故为奇函数，此时可排除BD, 当时，，此时排除A， 故选：C 6. 已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ） A. 120 B. 60 C. 48 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可解题. 【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种， 再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C 7. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可. 【详解】由于， 而， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过求导，判断单调性，比较与的大小，最后构造函数，进而确定与的大小关系，从而得出结果. 【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即， 令，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有， 所以， 令，则， 因为， 当时，，所以， 函数在上单调递减，所以，也即， 所以，故， 故选：B. 二.多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D. 【详解】对于A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的4部电影全排列， 则有种排法，故A正确； 对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定， 则有种排法，故B正确； 对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列， 则有种排法，故C正确； 对于D，先排两部动画片，刚好形成3个空，将三部喜剧电影插入这3个空， 则有种排法； 故选：ABC 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列为递增等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项判断即可. 【详解】若是等差数列，， 所以，则， 所以使的最大正整数的值为30.故A错误； 若是等比数列，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 若是等比数列，则，故C错误； 若，所以， 所以，所以， 即，所以， 所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确； 故选：BD. 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可. 【详解】A选项：因为，可知在上单调递增， 且，则，所以，A正确； B选项：因为，且，则，即， 因为在上单调递增，所以，B正确； C选项：令，则， 可知在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为，则，可得， 所以，C错误； D选项：由C可知，且， 则， 令 当单调递增，所以，所以， 所以， 所以，D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，列举出所有可能的排列结果可. 【详解】相同数字不相邻的情况： 三个3之间的两个位置只有两个2，有323231，132323； 三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，有232313，323132，231323，313232； 三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2，有312323，321323，323123，323213， 所以相同数字不相邻的个数为10个. 故答案为：10 13. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 14. “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________ 【答案】1 【解析】 【分析】由，即，所以，函数在上单调递增，则，所以，令，设，利用导数求其最小值即可. 【详解】依题意：，即， 则， 设，则在恒成立， 所以函数在上单调递增，则， ， 令，显然在上单调递增，, 设，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， . 故答案为：1. 四、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1） （2）的极小值为，极大值为 【解析】 【分析】（1）求出、即可； （2）利用导数求出的单调性，然后可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 所以曲线在处的切线的方程为，即 【小问2详解】 因为 所以当时，当时 所以在、上单调递增，在上单调递减 所以的极小值为，极大值为 16. 已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项的定义可得，再有等差数列的通项公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可求解. 【小问1详解】 ， ，又， . 【小问2详解】 原式 . 17. 已知函数（其中为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若，且在上恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最小值； （2）令，利用导数分析该函数的单调性，结合得出，可得出，令，，利用导数求出函数的最大值，即为的最大值. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以. 【小问2详解】 令，则， 由得出；由得出， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，所以，则， 令，，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故，故的最大值为. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点、，求证：． 【答案】（1）当时，函数的减区间为，增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为、；当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为、. （2） 当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证. （3） ， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，即证不等式，令，即证不等式，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时函数的减区间为，增区间为、； 当时，对任意的，， 此时函数的增区间为； 当时，由可得，由可得或， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 【答案】（1）或或； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据次生数列的定义得到，从而得到有3个，分别为或或. （2）（i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值； （ii）当为偶数时，，故，错位相减法求和，再求出当为奇数时，，检验时，也符合上式，从而得到答案. 【小问1详解】 因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或. 【小问2详解】 （i）设数列的公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则. 由“次生数列”的定义，可知， ， 故. （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以. 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式， 故 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2026届高二下期5月月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 90 C. 40 D. 120 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ） A. 120 B. 60 C. 48 D. 36 7. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共18分） 9. 2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（ ） A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法 B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有60种排法 C. 两部动画片相邻放映，共有48种排法 D. 3部喜剧电影不相邻，共有24种排法 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15 B. 若是等比数列，（为常数），则必有 C. 若是等比数列，则 D. 若，则数列为递增等差数列 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________. 13. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 14. “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________ 四、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求曲线在处的切线的方程； （2）求函数的极值； 16. 已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 17. 已知函数（其中为自然对数的底数）. （1）求函数的最小值； （2）若，且在上恒成立，求的最大值. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点、，求证：． 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $