精品解析：2025年福建省泉州市洛江区九年级4月质量检测数学试题

2025年中考模拟测试数学科试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列数的大小比较中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：A、0＞-2，故错误； B、-1＞-2，故错误； C、，故错误； D、，则，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小． 2. “半城烟火，半城仙”，2024年泉州五一小长假落下帷幕，节日期间，全市共接待游客万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万． 故选A． 3. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】它的左视图首先应该是一个凸六边形，中间的线条应该是垂直的，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 【详解】由已知中几何体的直观图， 我们可得左视图首先应该是凸六边形，故A，B不正确； 中间的线条应是垂直的，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键． 4. 如图，木条a，b，c通过下列方式钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a 旋转的度数至少是（　　） A. 23° B. 27° C. 45° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据木条a与b平行，得，结合，列式计算即可作答． 【详解】解：∵木条a与b平行 ∴ ∵ ∴ 故答案为：B 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘和相除、幂的乘方等知识，根据相关的法则运算即可得到答案. 【详解】A. 与不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据五个编号中不小于 的两个数是，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵五个编号中不小于 的两个数是， ∴五个编号中不小于 的概率为， 故选 ． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 7. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，过点O作，垂足为H，在中，有勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接 ，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为3cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 8. 古代曾有人用如下的方法给大象称重：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，则下列说法正确的是（ ） A. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得 B. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得 C. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得 D. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得 【答案】D 【解析】 【分析】设每块条形石的重量为x斤和大象的重量为y斤，分别列出方程逐一对照解题即可． 【详解】解：设每块条形石的重量为x斤，可列方程得，故A、B均不正确； 设大象的重量为y斤，可列方程得，故C不正确，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键． 9. 如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼 的顶部的仰角为 ，向前走到达E处，测得教学楼 的顶部的仰角为 ，已知小明的身高 为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼 的高度约（ ）m（结果精确到，参考数据：）． A. 27.3 B. 28.9 C. 31.3 D. 35.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，设，解可得，则，然后在中，解直角三角形求出x，即可得出答案． 【详解】解：如图，延长 交 于H， 由题意得，，，， 设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选B． 10. 已知a为实数，下列命题： ①若，则 ；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】借助函数图象，先确定出三函数图象的交点坐标为，再根据二次函数与不等式组的关系求解即可． 【详解】解：对于函数和， 当 时，三个函数的函数值都是1， 所以，交点坐标为， 根据对称性， 和在第三象限的交点坐标为， 画出三个函数的图象如图， ①如果，那么 ，故①正确； ②如果时，那么，故②正确； ③如果，那么或，故③正确； 综上所述，真命题是①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．找出公因式，即可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解答方法． 根据不等式的运算法则和解集的表示方法解题． 【详解】解： 去括号，得 ， 移项及合并，得 ， 系数化为1，得 ． 故答案为． 13. 若某公司25名员工年薪的具体情况如下表，则该公司全体员工年薪的众数是___________万元． 年薪(万元) 30 14 9 6 4 3.5 3 员工数(人) 1 2 3 4 5 6 4 【答案】3.5 【解析】 【分析】本题为统计题，考查众数意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，掌握判断众数的方法是解题关键．根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可找出答案． 【详解】解：在这一组数据中 万元是出现次数最多的，众数是 万元； 故答案为： ． 14. 如图在 中，，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点 恰好落在边 上，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质可得 ，进而可得是等边三角形，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将 绕点 顺时针旋转得到 ， ∴ ， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，点在 轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上， 交 轴于点 ，若，则 的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点 作 轴于 ，根据面积比得出，进而得出点C的坐标，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出 的值． 【详解】解：如图，过点 作 轴于 ， ， ， ， 点在 轴的负半轴上， ， ， 点C的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形面积公式，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 16. 如图1，长、宽均为高为 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 ，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CF⊥BG于点F，设DE=x，根据水的体积不变，列出方程，求出x的值，进而求出CD的值，由∆DEC~∆BFC，得，进而即可求解． 【详解】过点C作CF⊥BG于点F， 设DE=x，则AD=8-x， 根据题意得：(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得：x=4， ∴DE=4， ∵∠E=90°， ∴CD=， ∵∠BCE=∠DCF=90°， ∴∠DCE=∠BCF， ∵∠DEC=∠BFC=90°， ∴∆DEC~∆BFC， ∴，即：， ∴CF=． 故答是：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再计算加减即可得答案． 【详解】解： ． 18. 如图，已知OA=OC，OB=OD，∠1=∠2，求证：AB=CD 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠BOA=∠DOC 在△BOA和△DOC中 ∴△BOA≌△DOC（SAS） ∴AB=CD． 【解析】 【分析】由∠1=∠2，∠DOA=∠DOA，得∠BOA=∠DOC，构成SAS条件证明△BOA≌△DOC，从而得到AB=CD． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，利用公共角求等角是解决本题的关键． 19. 化简求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． 先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简，然后将的值代入计算求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，在 中， ． （1）求作 分别与 ， 相切，使得圆心O落在 上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知， ，求的值． 【答案】（1） 即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作 的角平分线 ，过 作 的垂线，垂足为 ，以 为圆心， 为半径画圆，则 即为所求； （2）由（1）得：，， ，结合， ，由面积可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作 的角平分线 ，过 作 的垂线，垂足为 ，以 为圆心， 为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得： 到 的距离为圆的半径 ， ∴ 是 的切线，即， 由作图可得： 是 的切线， ∴ 即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ， ∵ ， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键． 21. 已知抛物线与 轴交于点，对称轴是直线 ，直线与抛物线交于两点（点 在点 的左侧），点 是抛物线的对称轴与 轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）当 和 的面积相等时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，线段中点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）分别过点，作 的垂线，垂足为 ，连接 交 于点G，利用三角形的面积公式和已知条件得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用线段中点的坐标的性质求得点的坐标，再利用待定系数法列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：与 轴交于点，对称轴是直线 ， ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 方法一：设直线与 轴交点为点 ，与抛物线的对称轴交于点 ， ． ． 把 代入得，把 代入得， ． ． 当时，得 当时，，不成立 方法二：如图，分别过点作 的垂线，垂足为，连接 交 于点，则． ， 在和中， ， ， 即点为 的中点， 点在直线上， ， 22. 我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图1： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． 已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示： 该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格． （1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为________； （2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率； （3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？ 【答案】（1）； （2） （3）不低于10元/件 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义即可求解． （2）列表法表示所有可能的结果情况，根据概率公式即可求得结果． （3）根据利润不低于43万元，求出样本中“合格”、“良好”、“优秀”所占的百分比，设未知数列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：A生产线20件产品的鉴定成绩从小到大排列后第10个和第11个都是，则A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为， B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的是，则B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为， 故答案为：；． 【小问2详解】 A生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有2件，B生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有3件，共5件， 从2件A中，3件B中随机抽取2件，所有可能情况如图所示： 第1件 第2件 （） （） （） （） （ ） （） （） （） （ ） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 共有20种可能出现的结果情况，其中至少有1件是A生产线的有14种， 所以抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为． 【小问3详解】 设质量等级为优秀的产品定价为 元/件，由题意得， ， 解得， 答：质量等级为优秀的产品定价不得低于10元/件． 【点睛】本题考查了列表法求随机事件发生的概率、中位数、众数及样本评估总体，熟练掌握中位数、众数及用列表法求随机事件发生的概率是解题的关键． 23. 证明函数的增减性． 对于函数，当自变量取，对应的函数值分别为，当自变量取值范围内任意的，如果，都有，则函数值 随 的增大而增大；反之，当自变量取值范围内任意的，如果，都有，则函数值 随 的增大而减小． （1）已知函数，求证：函数值 随 的增大而减小． （2）已知，求证：当，函数值 随 的增大而增大． 【答案】（1） 证明：任取自变量，且满足． 则对应的函数值为： 则 即在自变量取值范围内任意的，当，都有， 函数值 随 的增大而减小． （2） 证明：任取自变量、，且满足，． 则对应的函数值为： 则 即 即 所以当时的任意，当，都有， 函数值 随 的增大而增大． 【解析】 【分析】本题考查函数的增减性，一次函数的函数值与自变量的关系，二次函数的函数值与自变量的关系． （1）任取自变量，且满足，则对应的函数值为：， 利用求差法，即可比较的大小，即可解答． （2）任取自变量、，且满足，则对应的函数值为，利用求差法，即可比较的大小，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． （1）任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； （2）任务2：如图2， 是矩形 的对角线，圆和圆分别是 和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于 两点，求圆的半径； （3）任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）任务1：由题可知两圆的直径为，则圆的最大半径为； （2）任务2：连接，，利用勾股定理求出 ，利用三角形内切圆的性质证明四边形为正方形，即可解答； （3）任务3：设圆的半径为 ，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，连接、，过作 的垂线，过作 的垂线，两垂线交于点，利用勾股定理求得半径的值，根据题意求出符合的半径即可． 【小问1详解】 解： 从一块长、宽 的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列， 两圆的直径为， 圆的最大半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 设的半径为 ， 在 中，， 是 的内切圆， ， ，，，， 又， 四边形为正方形， ． 【小问3详解】 解：设圆的半径为 ，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距 ， 如图，连接、，过作 的垂线，过作 的垂线，两垂线交于点， 则，， 在中，， 整理得， 解得， 当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查两圆相切的性质，三角形内切圆的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，掌握两圆相切的性质，勾股定理是解题的关键． 25. 如图，在 中， ，， ，点 是线段 上一动点．以点 为圆心， 长为半径作交 的延长线于点，交直线 于点 和点，连结 并延长交于点 ，连结 ． （1）求 的度数； （2）①若，求证：； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①见解析；②18 【解析】 【分析】（1）求出 的正切值，根据正切值求解即可； （2）①连结，根据圆的性质可知，，证得，可知，进而求得，再由，即可得结论； ②过点 作于点 ，连结 ，设圆 的半径为 ，则，进而求得，再证得，根据相似比可得二次函数，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在 中， ， ． 【小问2详解】 解：①方法一：如图，连结， ， ， ， 是的直径， ， ， ， （圆的内接四边形的外角等于内对角）， ， ， ． 方法二：如图，连结， ， ， ， ， ， ， ． ②方法一：如图，过点 作于点 ，连结 ，设圆 的半径为 ，则，则， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为18． 方法二：过点 作于点 ，连结 ，设圆 的半径为 ， 则， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为18． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，圆的性质，二次函数的性质，熟练应用以上性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟测试数学科试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列数的大小比较中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. “半城烟火，半城仙”，2024年泉州五一小长假落下帷幕，节日期间，全市共接待游客万人次．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，木条a，b，c通过下列方式钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a 旋转的度数至少是（　　） A. 23° B. 27° C. 45° D. 72° 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于 的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 古代曾有人用如下的方法给大象称重：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，则下列说法正确的是（ ） A. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得 B. 若设每块条形石的重量为x斤，则可列方程得 C. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得 D. 若设大象的重量为y斤，则可列方程得 9. 如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼 的顶部的仰角为 ，向前走到达E处，测得教学楼 的顶部的仰角为 ，已知小明的身高 为（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼 的高度约（ ）m（结果精确到，参考数据：）． A. 27.3 B. 28.9 C. 31.3 D. 35.9 10. 已知a为实数，下列命题： ①若，则 ；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：___________． 12. 不等式的解集是___________． 13. 若某公司25名员工年薪的具体情况如下表，则该公司全体员工年薪的众数是___________万元． 年薪(万元) 30 14 9 6 4 3.5 3 员工数(人) 1 2 3 4 5 6 4 14. 如图在 中，，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点 的对应点 恰好落在边 上，若，则 ______． 15. 如图，点在 轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上， 交 轴于点 ，若，则 的值为______． 16. 如图1，长、宽均为高为 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 ，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，已知OA=OC，OB=OD，∠1=∠2，求证：AB=CD 19. 化简求值，其中． 20. 如图，在 中， ． （1）求作 分别与 ， 相切，使得圆心O落在 上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知， ，求的值． 21. 已知抛物线与 轴交于点，对称轴是直线 ，直线与抛物线交于两点（点 在点 的左侧），点 是抛物线的对称轴与 轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）当 和 的面积相等时，求 的值． 22. 我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图1： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． 已知某工厂有两条不同生产线A和B生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示： 该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m，当时，产品质量等级为优秀；当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格． （1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为________；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为________； （2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率； （3）已知每件产品的成本为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？ 23. 证明函数的增减性． 对于函数，当自变量取，对应的函数值分别为，当自变量取值范围内任意的，如果，都有，则函数值 随 的增大而增大；反之，当自变量取值范围内任意的，如果，都有，则函数值 随 的增大而减小． （1）已知函数，求证：函数值 随 的增大而减小． （2）已知，求证：当，函数值 随 的增大而增大． 24. 情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． （1）任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； （2）任务2：如图2， 是矩形 的对角线，圆和圆分别是 和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于 两点，求圆的半径； （3）任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 25. 如图，在 中， ，， ，点 是线段 上一动点．以点 为圆心， 长为半径作交 的延长线于点，交直线 于点 和点 ，连结 并延长交于点 ，连结 ． （1）求 的度数； （2）①若，求证：； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $