精品解析：江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

初二素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟；） 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上． ） 1. 中国的传统节日春节被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一．下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称轴或对称中心是解答的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不项符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 若要使式子有意义，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：， ， 的值可以是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 B. 环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D. 军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，根据范围窄或者具有特殊意义的用普查，范围广或者具有破坏性的，用抽样调查，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查，应采用普查，符合题意； B、环保部门对长江水域的水污染情况的调查，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； C、质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象的性质及函数值的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象的性质即可得出答案． 【详解】解：∵函数中系数， ∴反比例函数图象分布在第二象限和第四象限， 在第二象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 5. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 D. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求频率，先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率为，约为； B、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为； C、从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率，约为； D、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为0.5， 由图可知当实验次数很多时，频率稳定在0.15， ∴A符合题意， 故选：A． 6. 整数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，找到被开方数左右两边相邻的可以开方的数，然后进行判断即可，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 7. 如图，直线平行于y轴，且分别与反比例函数、的图象交于点A、B，则面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，令直线交轴于，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：如图，令直线交轴于， ∵直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点A、， ∴，， ∴， 故选：A． 8. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可判断①；连接，证明四边形是平行四边形，得出，，求出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；连接交于，证明，得出，即可判断②；设，，则，表示出，，由等腰直角三角形的性质可得，结合得出，求解即可判断④，从而即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； 连接， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 设，，则， ∴，， ∵，， ∴， 若，则， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．） 9. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 10. 当m为____________时，分式无意义． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频数为______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数据描述求频数，结合频数的概念进行作答即可． 【详解】解：∵某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中， ∴该运动员在这次训练中投篮命中的频数为64 故答案为：64 12. 任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性______有一个是4的倍数的可能性．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了可能性的大小，根据题意判断出是3的倍数的可能性和是4的倍数的可能性，进而求解即可． 【详解】∵三个连续自然数中至少有一个是3的倍数，有可能都不是4的倍数，比如：1，2，3 ∴任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性为1，是4的倍数的可能性为0到1 ∴有一个是3的倍数的可能性有一个是4的倍数的可能性． 故答案为：． 13. 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别做了下列四种不同的抽样调查：①在公园调查了1000名老年人的健康状况；②在医院调查了1000名老年人的健康状况；③在小组成员所在社区中调查了10名老年人的健康状况；④利用公安局的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况．你认为抽样比较合理的是________（填序号）． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查，在抽样调查时，应根据总体的特点，恰当地选取样本，使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性． 根据调查对象的选取逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：①②调查方法选取的对象比较片面，只能说明部分情况，不能了解周边地区老年人的健康情况，③的样本容量太小，只有④符合随机抽样的要求，选择的对象比较充分全面． 故答案为：④． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别为，，则此菱形的边长等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解∶在菱形中，，，， ∵，， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ∴菱形的边长为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 的对角线、相交于点O，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形可得，，再利用勾股定理求得的长，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16. 如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线的性质解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 17. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查由分式方程解的情况求参数，涉及解分式方程等知识，先解分式方程，得到，由题意得到，且，解不等式即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得， ，即，解得， 关于的分式方程的解是正数， ，且，解得且， 故答案为：且． 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点Q， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，即点Q是的中点， ∴点Q是反比例函数上的点， 过点Q作于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点M是反比例函数上的点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟知运算法则是正确解答此题的关键． （1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先用乘法公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得， 解得，， 经检验是增根，分式方程无解． 21. 已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）求当时，y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义． （1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解； （2）把代入（1）中所求函数解析式，计算求y即可． 【小问1详解】 解：设， 则 把代入得 ， ∴ ∴ 【小问2详解】 当时 22. “地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间20:30，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图． 居民用电情况频数分布表 居民用电情况频数直方图 组别 用电量/度 频数（户数） 百分比 A 2 5% B m 10% C 12 a D 14 35% E n 20% 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中，________；调查总户数为________； （2）计算m，n的值，补全频数直方图； （3）尝试总结该小区的居民用电情况，并给出两条节约用电的建议． 【答案】（1）；40 （2）， 补全频数直方图如下： （3） 由居民用电情况频数直方图可以得出，在72小时内，居民用电在15度以上的户数较多， ∴用电较多的人群占比较大，说明大家用电较为浪费． 建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销，②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数直方图，读懂频数分布表是解题关键． （1）利用A组的频数除以其百分比即可得调查总户数，再利用的频数除以调查总户数可得的值； （2）根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出的值，据此补全频数直方图即可； （3）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出两条节约用电的建议：①平时不使用的电器及时拔掉插销；②只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关． 【小问1详解】 解：调查总户数为（户）， 则， 故答案为：；40． 【小问2详解】 解：， ， 【小问3详解】 略 23. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b （1）表格中 ， ；（精确到） （2）请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ （3）转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？ （4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率的知识．大量反复试验下频率趋于某个稳定值，则这个稳定值即为概率．此外，在解答问题（3）时，还用到了有关扇形统计图的知识． （1）根据频率的算法：频率频数总数可得各个频率，据此填空即可； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，据此可得答案； （3）利用频率估计概率求解看； （4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 【小问2详解】 解：由题意得，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近； 【小问3详解】 解：由题意得，转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是； 【小问4详解】 解：， ∴在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是。 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）整数的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． （）证明，可得，进而由得到，即可求证； （）连接，由菱形的性质可得，即得，得到，再根据矩形的性质得，，最后利用勾股定理解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 26. 图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； （2）在图②中画一个正方形，使其面积为10； （3）在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 【答案】（1） 如图①，即为所求． （2） 如图②，正方形即为所求． （3） 如图③，平行四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）画出边长分别为3，4，5的直角三角形即可． （2）画出边长为的正方形即可． （3）先确定四边形为平行四边形，再结合勾股定理求出对角线为，另一条对角线为有理数即可． 【小问1详解】 解：由图可知，，，， ， ， 它的三边长均为有理数； 【小问2详解】 由图可知，， 正方形的面积为5； 【小问3详解】 根据图可知，，， 四边形为平行四边形， 连接，，根据勾股定理可知，，． 27. 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ （4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】（1），； （2）这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，二次根式的应用，完全平方公式的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）类比于题例求解，即可解题； （2）设这个矩形花园的长为米，则宽为米，进而得到所用的篱笆长度为米，结合题干例题方法求解，即可解题； （3）由得到，结合题干例题得到当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4，然后得到的最小值，进而推出的最大值，即可解题； （4）根据题意分情况讨论，当时，当，时，当，时，分别求出m的最大最小值，即可解题． 【小问1详解】 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设这个矩形花园的长为米，则宽为米， 所用的篱笆长度为米， 令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 这个矩形花园的长为米，宽为米，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是米； 答：这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； 【小问3详解】 解：， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4， ⸫代数式，当时，取得最小值为2， ⸫当时，代数式取到最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：当时，代数式的值为，即， 当时， ， 当时，， ⸫当时，m的最大值为， 当时， ， ⸫当时，m的最小值为， 综上所述，m范围为， 故答案为：． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． （1）如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． （2）如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 【答案】（1）①；②或 （2）①当时，；当时，；当时，；②， 【解析】 【分析】（）①根据题意画出图形解答即可；②分点在轴上方和下方两种情况，分别画出图形列方程解答即可； （）①分、和三种情况，分别画出图形解答即可即可求解；②根据①所得函数表达式，利用函数的性质求出最小值即可； 本题考查了矩形的新定义运算，一元一次方程的几何应用，反比例函数与几何图形，理解新定义并运用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：①当时，点，则点的最佳相伴矩形如图所示： ∴点的最佳相伴矩形的面积， 故答案为：； ②当点在轴上方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 当点在轴下方时，点的最佳相伴矩形如图所示： 则， 解得； 综上，的值为或； 【小问2详解】 解：当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点的最佳相伴矩形如图所示： ∴， 即； 综上，当时，；当时，；当时，； ②当时，随的增大而减小， ∵， ∴； 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值； 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 综上，当时的值最小，最小值等于， 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟；） 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上． ） 1. 中国的传统节日春节被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一．下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若要使式子有意义，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合用普查方法的是（ ） A. 学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 B. 环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D. 军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 4. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 D. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 6. 整数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线平行于y轴，且分别与反比例函数、的图象交于点A、B，则面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．） 9. 计算：=_______． 10. 当m为____________时，分式无意义． 11. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频数为______． 12. 任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性______有一个是4的倍数的可能性．（填“”“”或“”） 13. 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别做了下列四种不同的抽样调查：①在公园调查了1000名老年人的健康状况；②在医院调查了1000名老年人的健康状况；③在小组成员所在社区中调查了10名老年人的健康状况；④利用公安局的户籍网随机调查了该地区的老年人的健康状况．你认为抽样比较合理的是________（填序号）． 14. 若一个菱形的两条对角线长分别为，，则此菱形的边长等于__________． 15. 的对角线、相交于点O，，，，则的长为_____． 16. 如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 17. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为________． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 解方程 （1）； （2）． 21. 已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）求当时，y的值． 22. “地球一小时”是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间20:30，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表示他们对于应对气候变化行动的支持，为了解小区居民的用电情况，某小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数直方图． 居民用电情况频数分布表 居民用电情况频数直方图 组别 用电量/度 频数（户数） 百分比 A 2 5% B m 10% C 12 a D 14 35% E n 20% 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中，________；调查总户数为________； （2）计算m，n的值，补全频数直方图； （3）尝试总结该小区的居民用电情况，并给出两条节约用电的建议． 23. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b （1）表格中 ， ；（精确到） （2）请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ （3）转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？ （4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 24. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 25. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 26. 图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． （1）在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； （2）在图②中画一个正方形，使其面积为10； （3）在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 27. 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ （4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或共线，且，，三点都在矩形的内部或边界上，那么称该矩形为点，，的相伴矩形，在点，，所有的相伴矩形中，面积最小的矩形称为点，，的最佳相伴矩形．例如，图中的矩形，，都是点的相伴矩形，矩形是点的最佳相伴矩形． （1）如图，点，，（为整数）． ①如果，则点的最佳相伴矩形的面积是________． ②如果点的最佳相伴矩形的面积是，请写出一个符合题意的值_______． （2）如图，已知点在函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为， ①求点的最佳相伴矩形的面积关于的函数表达式， ②当 时的值最小，最小值等于 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $