2024-2025学年高二下学期数学期末复习综合卷（二）（适用于江苏省南京市）

2024-2025学年度高二下学期期末复习卷二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：由，得，解得，所以. 又由得，，解得，因为集合中，，所以， 所以. 故选A. 2.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（  ） A． B． C． D． 答案：B 解析：根据的展开式中，二项式系数的和为，所以． 则的展开式中，通项公式为， 令，解得，可得展开式中的系数为. 故选B. 3.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 答案：A 解析：因为在平行六面体中，， 所以 ． 故选A. 4.已知，直线与曲线相切，则的最小值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：由于直线 与曲线相切，设切点为， 且，所以，则切点的横坐标 ，则，即 . 又，所以，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为1. 故选D. 5.如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有（ ）种 A．54 B．72 C．144 D．216 答案：B 解析：若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是35，24，1，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故选B. 6.小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（   ） A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元 答案：A 解析：由题意知，化简得， 故，得. 则当时，，化简得， 两边同时取对数，得，得， 故当实际还款比例为时，小微企业的年收入约为46.49万元． 故选A. 7.下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好 C．一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 答案：C 解析：对于A选项，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A错误； 对于B选项，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B错误； 对于C选项，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D选项，在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍， 则， 此时是原来的2倍，所以D错误． 故选C. 8.设，则（   ） A． B． C． D． 答案：C 解析：设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以. 故选C. 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A．将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性回归直线一定过样本点中心 C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 答案：ABD 解析：对于A选项，由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原 数据方差相同，所以选项A正确； 对于B选项，由线性回归方程的性质可知，线性回归直线一定过样本点中心，所以选项B正确； 对于C选项，线性相关系数的绝对值越接近于 1，两个变量的线性相关性越强，所以选项C错误； 对于D选项，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，拟合精度越高，其模型的拟合效果 越好，所以选项D正确. 故选ABD. 10.已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 答案：ACD 解析：对于A选项：令，得，因为，所以，A正确； 对于B选项：令，得 ①， 所以，因为是奇函数，， 所以，即是偶函数，所以②， 由①②，得，即， 所以，所以，是周期为3的函数，所以，所以B错误，C正确； 对于D选项：因为，在①中令得，， 所以，，所以D正确. 故选ACD. 11.现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为 B．第二次抽到蓝色球的概率为 C．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子 D．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种 答案：ACD 解析：对于选项A，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内， 此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球， 因此第二次抽到蓝色球的概率为，故A选项正确； 对于选项B、C，记“第一次抽到红色球”，“第一次抽到黄色球”， “第一次抽到蓝色球”，“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”, “第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”， “第二次抽到蓝球”，易知，，两两互斥，和为， ，，，，，，故B选项错误； 第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同， 所以， ， ， 所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，所以C选项正确； 对于选项D，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按分或按分） 再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有种，故D选项正确. 故选ACD. 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.已知一组从小到大排列的数据：若其第70百分位数等于其极差，则 . 答案：10 解析：因为，所以的第70百分位数为， 其极差为，所以，解得. 13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________. 答案： 解析：因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 14.已甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 答案： 解析：设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则； 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明在某数独上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度（秒/题）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据： （天） 1 2 3 4 5 6 7 （秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）. （2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛局后结束，求随机变量的分布列及期望.参考数据（其中）： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 解析：（1）因为，，所以. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以所求回归方程为； （2）随机变量X的可能取值为3，4，5， ， ， . 所以随机变量X的分布列为 所以随机变量为期望. 16.（本题15分） 在展开式中，前3项的系数成等差数列. 求： （1）的值； （2）二项展开式中的有理项. 解析：(1)二项式展开式的第项为， 第一项系数为，第二项系数为，第三项系数为， 依题意，，显然，解得， 所以的值为8； ⑵由（1）知，显然展开式的有理项必满足，则为4的倍数，即有，因此， 所以二项展开式中的有理项为. 17.（本题15分） 如图，在三棱柱中，，，平面平面，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 解析：(1)， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； (2) ， 以为坐标原点，，，分别为，，的正向建立空间直角坐标系， 则各点坐标如下：，，，，取平面的法向量为，设平面的法向量为，取，，则，可得，令， 可得，设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 18.（本题17分） 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S. （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小. 解析：（1）. （2）（ⅰ）. （ⅱ））∵Z服从二项分布，∴. （3）当时，， . ∴是以为首项，为公比的等比数列， . . 累加得： . ∴ ∵，∴. 19.（本题17分） 设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 解析：（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为； （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二下学期期末复习卷二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（  ） A． B． C． D． 3.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）． A． B． C． D． 4.已知，直线与曲线相切，则的最小值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有（ ）种 A．54 B．72 C．144 D．216 6.小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例与小微企业的年收入（单位：万元）的关系为.已知小微企业的年收入为80万元时，其实际还款比例为，若银行希望实际还款比例为，则小微企业的年收入约为（参考数据：，1）（   ） A．46.49万元 B．53.56万元 C．64.43万元 D．71.12万元 7.下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好 C．一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D．在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 8.设，则（   ） A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A．将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性回归直线一定过样本点中心 C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10.已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（    ） A． B． C．是周期为3的函数 D． 11.现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为 B．第二次抽到蓝色球的概率为 C．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子 D．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.已知一组从小到大排列的数据：若其第70百分位数等于其极差，则 . 13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________. 14.已甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明在某数独上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度（秒/题）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据： （天） 1 2 3 4 5 6 7 （秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）. （2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛局后结束，求随机变量的分布列及期望.参考数据（其中）： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 16.（本题15分） 在展开式中，前3项的系数成等差数列. 求： （1）的值； （2）二项展开式中的有理项. 17.（本题15分） 如图，在三棱柱中，，，平面平面，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值. 18.（本题17分） 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本标准差S. （ⅰ）利用该正态分布，求； （ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布，则，. (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小. 19.（本题17分） 设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$