7.1 相交线-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

第七章 相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 要点提示 1.相交线中邻补角、对顶角的概念：(1)邻补角.在两条直线相交所构成的四个角中，有一条公共边，它们的 另一边互为反向延长线，县有这种位置关系的两个角，互为邻补角：(2)对顶角，在两条直线相交所构成的 四个角中，有公共顶点但被有公共这的两个角互为对顶角， 2,邻补角和对顶角的性质：(1)邻补角的性质，邻补角互补，邻补角是补角的一种特殊情况：(2)对顶角的性 质，对项角相等。 O1固基础念 5.如图，直线AB,CD相交于点O. 若∠1=80°，∠2=30°，则4- B 40 知识点1对顶角、邻补角的识别 ∠AOE的度数为 ( E 1.(2024上饶余干期中)在下面四个图形中， D A.30° B.50 第5题图 ∠1与∠2是对顶角的是 ) C.60 D.80° 6.已知∠B与∠A互为邻补角，且∠B= 4∠A,那么∠B的度数为 B 7.(教材变式)如下图，直线AB,CD,EF相交 于点O (1)请写出图中∠AOC的邻补角及对顶角； D (2)若∠AOF=75°，求∠BOE和∠BOF的 2.下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是( 度数 知识点2对顶角、邻补角性质的应用 3.如图，直线AB与CD相交于点O,则∠BOD 的度数为 ( A.40° B.50° C.55° D.60 ●易错点未明确两个角的关系，导致漏解 第3题图 第4题图 4.如图，直线a,b相交于点O.如果∠1+∠2= 8.两条直线相交所构成的四个角中，有两个 60°，那么∠3的度数是 角的度数分别是(7x一80)°和(100 ( A.150°B.120°C.60° D.30° 2x)°，则x 下册第七章 ◆02提能力◆ (2)在图①中，若∠BCE=a°，则∠ACF的 9.如图，直线AB,CD,EF相交 D 度数为 (用含a的式子表示)： 于点O.若∠AOE=2∠BOD,A) (3)将图①中的三角板ABC绕顶点C旋转 ∠COF比∠AOE大30°，则 第9题田 至图②的位置，试探究∠ACF和∠BCE之 ∠AOC的度数是 ( 间的数量关系，并说明理由。 A.30°B.60 C.20° D.459 10.如图，直线AB,CD相交于 F 点O,OE平分∠BOD,OFC 平分∠COE,∠AOC= 号∠COB,则∠BOF的度 、D 第10题周 数为 11.如右图，直线AB,CD相交于点O,OE把 ∠BOD分成了两部分， D (1)图中∠AOC的对顶角为E B ,∠BOE的 邻补角为 ……◆03拓思维心… (2)若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD= 13.推理能力如下图，直线AB,CD相交于点 2:3,求∠AOE的度数. O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD (1)若∠AOC=50°，则∠FOD的度数为 (2)若∠AOC=a°，则∠EOD的度数为 (用含a的式子表示)： 12.如图，直角三角板ABC的直角顶点C在直 (3)探究∠EOD与∠FOD之间的数量关 线DE上，CF平分∠BCD, 系，并说明理由. 图2 (1)在图①中，若∠BCE=40°，求∠ACF的 度数： 数学七年级RJ版 7.1.2两条直线垂直 要点提示 1,垂直的概念：当两条直线，b相交所构成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直钱互相垂直，记作“a⊥”， 2垂线的概念：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的委孩，它们的交点叫作委足。 3.垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.垂线段的概念及性质：(1)从直线外一点作该直线的垂线，这个点和垂足之间的线段叫作垂孩段：(2)连接直 线外一点与直线上各，点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段景短 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线般的长度，叫作点到直线的最离 O1固基础念 知识点4垂线段的性质 知识点1垂直的概念及性质 5.(2024赣州于都期未)如图，斑马线的作用是 引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂 1.如图，两直线AB,CD相交于点O,则下列条 件中，能说明AB⊥CD的是 直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体 A.AO=OB B.CO=OD 现的数学依据是 C.∠AOC=∠BODD.∠AOC=∠BOC C 第5题园 A O B 知识点5点到直线的距离 D D 6.(教材变式)如右图，在直角三 第1题图 第2题国 2.如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于 角形ABC中，∠C=90°，BC 点O,∠EOC=35°，则∠AOD的度数是 8,AC=6,AB=10. ( (1)点B到AC的距离是 ;点A到 A.55° B.65° C.115° D.125 BC的距离是 知识点2垂线的画法 (2)画出表示点C到AB的距离的线段，并 3.(2024上饶弋阳月考)过直线1外一点P画 求出这个距离 它的垂线CD,下列各图中，三角板操作正确 的是 A B 知识点3垂线的基本事实 4.(教材变式)已知直线AB,CB,l在同一平面 内，若AB⊥I,垂足为B,CB⊥I,垂足也为 B,则符合题意的图形可以是 ◆易错点情况分析不全，导致漏解 B A 7.已知直线AB与直线CD相交于点O, ∠AOC=60°，EO⊥CD于点O,则∠AOE 的度数为 B +44 下册第七章 之02提能力之 … (2)若∠1=7∠A0C,求∠B0C和∠MOD 8.跨物理学科图①是光的反射规律示意图 的度数 其中PO是入射光线，OQ是反射光线，法线 KO⊥MN,∠POK是人射角，∠K(OQ是反 射角，∠KOQ=∠POK.图②中，光线自点 P射人，经镜面EF反射后会经过 ( D 反射面 …O3拓思维 0 图① 图2 13.推理能力如图，平面内两条直线EF,CD 第8题图 相交于点O,OA⊥OB,OC平分∠AOF A.点AB.点BC.点C D.点D (1)如图①，若∠AOE=40°，则∠BOD的 9.如图，AB⊥BD,BC⊥CD,且 度数为 D AD=10,BC=6.若线段BD (2)在图①中，若∠AOE=x°，请求出 的长为偶数，则BD的长为 B ∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并 第9题图 写出∠AOE和∠BOD的数量关系： 10.已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且 (3)如图②，当OA,OB在直线EF的同侧 ∠AOB<∠BOC,OD平分∠BOC,射线 时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发 OE在∠AOB的内部，且4∠BOE+∠BOC 生改变？若发生改变，请直接写出它们之 =180°，∠DOE=70°，OM⊥OB,则∠MOE 间的数量关系：若不变，请说明理由. 的度数为 11.如下图，某平原上有A,B,C,D四个村庄， 为解决当地缺水问题，政府准备投资修建 一个蓄水池（保留画图痕迹，不写画法）. (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 图 图2 的位置，使它到四个村庄的距离之和最小： (2)不考虑其他因素，请在图中画出将河水 引入蓄水池H的最短路线HG. A. ·C B。 D E F … 12.如下图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. (1)若∠1=∠2，求∠NOD M 的度数： 数学七年级RJ版 7.1.3两条直线被第三条直线所截 要点提示 1,同位角：如右图，∠1和∠5，这两个角分别在直线AB,CD的同一侧（上方），并且都在直载 E下的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角. 2.内错角：如右图，∠3和∠5，这两个角都在直线AB,CD之间，并且分别在直线EF的两侧 (∠3在左侧，∠5在右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内精角. 3.同旁内角：如右图，∠3和∠6，这两个角都在真线AB,CD之间，并且都在直线EF的同一 旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同膏内角 O1固基础 知识点1同位角的识别 1.下列图形中，∠1和∠2是同位角的是 C E 第4题图 第5题图 5.如图，直线AD,BE被直线BF和AC所截， 则下列选项中，分别与∠1是同位角、与∠2 是同旁内角、与∠3是内错角的是() A.∠2，∠3，∠6 B.∠2，∠6，∠4 C.∠4，∠3，∠2 D.∠4，∠6，∠2 知识点2内错角的识别 6.跨物理学科如图，把一根筷 2.如图，下列各角与∠1是内错角的是( 子的一端放在水里，一端露 A.∠2B.∠3 C.∠4D.∠5 出水面，筷子看起来变弯了， 44 D■ A 这是光的折射现象，光从空 第6题图 气射入水中，传播方向发生了改变.与∠1是 同旁内角的是 ,与 第2题图 第3题圈 ∠2是内错角的是 知识点3同旁内角的识别 7.(教材变式)如下图，∠1与∠2，∠3与∠4各 3.(2024菏泽东明期末)如图，在垃圾桶的简化 是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的 示意图中，∠1与∠2的位置关系是( 什么角？ A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角 知识点④同位角、内错角、同旁内角的综合 判断 +.如图，下列说法不正确的是 A.∠1与∠3是同位角 B.∠1与∠2是内错角 C.∠C与∠2是同旁内角 D.∠A与∠2是同位角 下册第七章 易错点混淆同位角、内错角、同旁内角 (4)图中有多少对同旁内角？ 而出错 (5)写出图中的内错角. 8.如图，∠1的同位角是 :∠1的内错角 是 第8题图 ∠1的同旁内角是 02提能力◆….… 9.下列各图中，∠1与∠2是内错角的是( 03拓思维 14.创新意识一种特殊的跳 1 棋棋盘如右图所示，其游 92 2 10716 戏规则是一个棋子从某 A B C 一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到 10.如图，有下列说法：①∠2与 达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同 ∠4是同位角：②∠3与∠4 3 位角或内错角或同旁内角的位置上.例如， 是同旁内角：③∠5与∠6是 5é 从起始位置∠1跳到终点位置∠3，有两种 同旁内角：④∠1与∠4是内 不同路径如下： 错角.其中正确的个数是 第10题图 ( 路径1：∠1同旁内角 ∠9内错角 ∠3： A.1 B.2 C.3 D.4 路径2：∠1 内错角 内错角 ，/12 ∠6 11.如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中， 同位角 ∠10 同旁内角 ∠3. 同位角的对数为a,内错角的对数为b,同 (1)请写出从起始位置∠1跳到终点位置 旁内角的对数为c,则abc= ∠8的路径： (2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、 同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位 置∠8？ 第11题图 第12题图 12.如图，直线AB,CD被直线EF所截.如果 ∠2=100°，那么∠1的同位角的度数为 13.如下图，直线EF交AB于点G,交CD于 点M. (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ 数学七年级RJ版参考答案 第七章相交线与平行线 (2)如图，线段CD即为所求， 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 1.B2.C3.B4.A5.B6.144 7.解：(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC,对顶角 :Ssw=2AC·BC=2AB·CD,即2X6X8 是∠BOD. (2),'∠BOE与∠AOF互为对顶角， 号×10cD. .∠BOE=∠AOF=75°. :∠BOF与∠AOF互为邻补角， CD-头，即点C到AB的距离是得 ∴.∠B0F=180°-∠AOF-180°-75°-105°. 8.20或329.A10.30° 7.30°或150°8.B9.810.110或70 11.解：(1)如图，点H即为所求. 11.解：(1)∠BD∠AOE (2)设∠BOE=2.x°，则∠EOD=3.x°， (2)如图，线段HG即为所求. .∠BOD=∠BOE+∠EOD=5x. Ae....c :∠BOD=∠AOC=70°， ∴.5x=70,∴.r=14, ”” .∠BO0E=2x=28°， 12.解：(1)：OM⊥AB,∴∠AOM=∠BOM-90°， ∴.∠AOE=180°-∠B0E=180°-28°=152. ∴.∠1+∠AOC=90°. 12.解：(1)，∠BCE=40°，点C在直线DE上， ∴.∠BCD=180°-∠BCE=180°-40°=140°. '∠1=∠2，∴.∠2+∠A0C=90°， 即∠C0N=90°，∴.∠NOD=180°-∠CON=90°. 又CF平分∠BCD, ∴.∠BCF=∠DCF=70 (2)设∠1=x°，则∠AOC=2.x°，∠AOM=∠1+ ∠ACB=90°. ∠A0C=3.x°.∠AOM=90°，即3.x°=90°，∴x=30, ∴.∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-70°=20. .∠1=30°..∠B0C=∠1+∠BOM=120°， ∠MOD=180°-∠1=150. (22 13.解：(1)20 (3)∠ACF=∠BCE.理由如下： (2)∠AOE=x, .∠AOF-180°-∠AOE=180°-x° :点C在DE上， :OC平分∠AOF, ∴.∠BCD=180°-∠BCE. CF平分∠BCD, ∴∠A00=2∠A0F=90-2 ∠BCP=吉∠BCD=(180°-∠BCE)=90° OA⊥OB, ∠AOB=90 ∠BCE. ∴.∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=180°-90°- ∠ACB=90°， (90°-7）-7 .∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-（90° .∠AOE=2∠BOD. (3)不变，理由如下： ∠BCE)-∠CE,即∠ACF-∠BCE 设∠AOE=a°，则∠AOF=180°-a. 13.解：1025°(2)90-20 :OC平分∠AOF,·∠COF=2∠A0F=90° (3)∠EOD+∠FOD=90°.理由如下： 1 OE平分∠AOD,OF平分∠BOD, 2a, ∴∠EOD=∠AOD,∠FOD=Z∠BOD ∠D0E=∠c0F=90-2a ,∠AOD+∠BOD=180°， OA⊥OB,∠AOB=90°，∴∠BOE=a°-90°， ∠EOD+∠FOD=号（∠AOD+∠BOD)= 1 2 ∴∠BOD=∠DOE+∠BOE=Za 180°=90°. ∴.∠AOE=2∠BOD. 7.1.2两条直线垂直 7.1.3两条直线被第三条直线所截 1.D2.D3.D4.C5.垂线段最短 1.A2.B3.C4.A5.B 6.解：(1)86 6.∠AOE,∠MOE.∠D∠MOE,∠AOE 下册参考答案 161 7.解：∠1与∠2是直线AB,CE被直线AD所截而形成3.D4.ABCD 的内错角：∠3与∠4是直线AD,BC被直线EC所截 5.解：：AC,BC分别是∠BAD,∠ABE的平分线， 而形成的同旁内角. 8.∠EFG∠DCB,∠DEA ∠DFG,∠DEC,∠DCA ∴∠1=∠BAD,∠2-∠ABE 9.B10.C11.1612.80 /1十∠2=90°， 13.解：(1)题图中有4对对顶角 ∴.∠BAD+∠ABE=2(∠1+∠2)=180°， (2)题图中有12对邻补角. ,.AD∥BE. (3)题图中有8对同位角. 6.D7.D8.C9.D (4)题图中有4对同旁内角。 10.解：AD⊥BC,∴.∠BDE+∠ADE=90. (5)∠AGF和∠GMD,∠CMG和∠BGM,∠CMG和 又∠C+∠CFG=90°，∠ADE=∠CFG, ∠MGH,∠NMG和∠MGB,∠NMG和∠MGH .∠BDE=∠C,.DE∥AC 14.解：)（答米不难一）∠1内错角∠12同旁内角，∠8 11.解：(1)∠BME=∠AMN,∠BME=∠CNF, (2)能，其路径为∠1月位角∠10内箭角∠5 ∴.∠AMN=∠CNF, ∴.AB∥CD. 同旁内角，∠8. (2)'MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平 分线， 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 ·.∠EMG= ∠EMB,∠HNF=Z∠CNR. 1.D2.C3.②③4.B5.C6.B7.D8.C :∠BME-∠CNF,∴.∠EMG=∠HNF. 9.B 又，∠EMN=∠FNM=180°，∴.∠EMN-∠EMG 10.(1)∥⊥⊥∥ =∠FNM-∠HNF,即∠GMN=∠HNM. (2)不是同一平面 .MG∥NH 11.解：：射线OA∥CD,射线OB∥CD, 12.解：(1)70 .A,O,B三点在同一直线上， (2)∠BCD+∠ACE=180°，理由如下： ∴.∠AOB=180°， ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD, ∠A0-子∠A0B=60 ∴.∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+ 90°=180°. 12.解：(1)如图，AE即为所求 (3)分两种情况讨论： (2)如图，CD即为所求. ①如图①，当∠ACE=30时，CE∥AB. (3)如图，BF即为所求 '∠ACE=30°，∠ACB=90°， .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120 又：∠B=60, .∠B+∠BCE=60°+120°=180°， CE∥AB. 13.解：(1)如图所示. (2)∠CPE=120°，∠EPD=60°，∠DPF=120°， 图① ② ∠CPF=60, ②如图②，当∠ACE=150°时，CE∥AB. (3)这些角的边与∠AOB的边分别平行. :∠ACE=150°，∠ACB=90°， (4)这些角的度数与∠AOB的度数相等或互补. ..∠BCE=∠ACE-∠ACB=150°-90°=60 (5)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 又∠ABC=60°， 或互补. .∠BCE=∠ABC,∴.CE∥AB. 7.2.2平行线的判定 综上所述，当∠ACE等于30°或150°时，CE∥AB. 1.D 7.2.3平行线的性质 2.解：：CD平分∠ECF, 1.B2.20°3.B4.15 ,.∠ECD=∠FCD. 5.解：AB∥CD,∠D=35°， :∠ACB=∠FCD, .∠ABD=∠D=35. ∴.∠ECD=∠ACB. BD平分∠ABC, :∠B=∠ACB, ,.∠ABC=2∠ABD=70°， ∴.∠B=∠ECD, ,.∠ABE=180°-∠ABC=110 .AB∥CE 6.C7.B8.A9.②③10.C11.100 162 数学七年级RJ版