专题01 集合的概念（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题01 集合的概念 1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，发展数学抽象素养. 2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“”“ ”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有关集合. 3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养. 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． 4．常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 5．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 6．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 对点集训一：集合的基本概念 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 精练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 对点集训二： 判断元素与集合的关系 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B．-1 C． D． 3．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 对点集训三：利用集合中元素的互异性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 例题2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设集合，若，则实数 对点集训四：用列举法表示集合 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 精练 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 对点集训五： 用描述法表示集合 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 精练 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 对点集训六：集合中的含参问题 角度1：已知集合相等求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 例题2．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 精练 1．（多选）（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，则的值可能为（ ） A．0 B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 3（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 角度2：已知集合元素个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 例题2．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 例题3．（24-25高一上·北京·阶段练习）若集合中有2个元素，则的取值范围是 . 精练 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 6．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 9．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 10．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，且，求的值. 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的概念 1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，发展数学抽象素养. 2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“”“ ”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有关集合. 3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养. 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． 4．常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 5．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 6．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 对点集训一：集合的基本概念 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 精练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的特性即可判断. 【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 对点集训二： 判断元素与集合的关系 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 例题2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 精练 1．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据选项中大写字母代表的数集，结合元素与集合的属于关系逐一判断即可. 【详解】四个选项中的大写字母分别代表正整数集、整数集、有理数集、实数集， 显然不是正整数，不是整数，不是有理数，是实数， 故选：D 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B．-1 C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】由元素与集合的关系即可直接判断 【详解】由已知可得，-1是集合中的元素，根据元素与集合之间的关系，知. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 对点集训三：利用集合中元素的互异性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 例题2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 精练 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 2．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则， 解得，可知BD符合题意， 故选：BD. 3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设集合，若，则实数 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解. 【详解】，， 若，， 此时，不满足互异性，故， 所以，即，解得或（舍去）， 当时，， 所以. 故答案为：. 对点集训四：用列举法表示集合 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 例题2．（24-25高一下·上海·开学考试）用列举法表示集合 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用 【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可. 【详解】. 故答案为： 精练 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】解一元二次方程，即可求出集合. 【详解】由，解得，，故. 故选：C． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 3．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 对点集训五： 用描述法表示集合 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 精练 1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3．（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 对点集训六：集合中的含参问题 角度1：已知集合相等求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 精练 1．（多选）（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，则的值可能为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】BD 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据只有个元素对进行分类讨论，结合判别式求得，由此求得. 【详解】∵集合，只有个元素， ∴或， 解得或， ∴或 故选：BD. 2．（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【答案】1 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 3（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若，则 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 角度2：已知集合元素个数求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】通过讨论和即可求解. 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 例题2．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 例题3．（24-25高一上·北京·阶段练习）若集合中有2个元素，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据条件，得到，即可求解. 【详解】因为集合中有2个元素， 所以，解得且，所以的取值范围是， 故答案为：. 精练 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 2．（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，其中为实数，若集合中仅含有一个元素，求的值． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意可得有两个相等的实数根，可得，求解即可. 【详解】因为集合中仅含有一个元素， 所以有两个相等的实数根， 所以，解得，满足题意，则． 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 2．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】需要注意集合中的元素的形式，本题的A选项和C选项与集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可选出正确答案D. 【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对）， 选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除； 再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上. 故选D． 4．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由集合的概念可得集合C中的元素. 【详解】由题意得但 ∴． 故选：A. 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 6．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 7．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 8．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB 【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 10．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 三、填空题 11．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，且，求的值. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】分两种情况讨论，结合集合元素间的互异性即可求解. 【详解】由于，故或， 解得或. 当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意. 故. 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【知识点】集合的分类 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【知识点】集合元素互异性的应用、集合新定义 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】集合新定义 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）存在三个互不相同的，使得均属于,证明满足性质的三个条件即可. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下:从任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足③， 有一个为2时，不妨令，则，不满足②， 综上，集合不具有性质. （2）因为集合具有性质，所以是偶数，必为奇数. 当时，由，则，不合题意; 当时，由，则，或（舍去）;所以，所以具有性质， 而中的元素1，2，3满足:，集合是的“期待子集”. （3）当集合是集合的“期待子集”时，则在中存在三个互不相同的元素使得均属于， 不妨设，令，，则，满足①， ，满足②， 为偶数，满足③，所以集合具有性质， 所以集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键是理解新定义，利用“性质”和“期待子集”的定义. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$