第六章 变量之间的关系-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学教学参考（北师大版2024）

数学 七年级BS版 第六章 变量之间的关系 现实中的变量 教学目标 ............................... 【方法总结】考查学生对常量与变量的判断,掌握两 1.经历探索具体情景中两个变量之间关系的过程, 者的区别和特点是解题的关键 类型二 自变量、因变量的确定 获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号意识 2.在具体情景中理解什么是常量、自变量、因变量 【例2】A,B两地相距50km,明明以每小时5km的 并能举出反映变量之间关系的例子。 速度由A地到B地,如果他与B地的距离为y,到达时 重点难点.... 间为x,求这个变化过程中的自变量和因变量 【解析】因为在这个变化过程中,他与B地的距离y 重点:理解变量的概念,识别并描述现实情境中的 随时间的变化而变化,所以自变量是时间工,因变量是他 自变量和因变量 难点:将生活中的实际问题转化为数学问题,建立 与B地的距离y. 正确的数学模型 【解】这个变化过程中的自变量是时间x,因变量是 学过程 ................................. 他与B地的距离y. 【方法总结】在判断自变量和因变量时,要分清哪个 情景导入 量是主动变化的,哪个量是被动变化的,主动变化的量 以地壳随时间推移而运动为例,关注到我们生活在 是自变量,被动变化的量是因变量。 变化的世界中,很多东西都在发生变化,如:随着年龄的 随堂演练 增长,身高、体重都发生了变化;随着时间的变化,汽车 行驶的路程也在变化;烧一壶水,10min水开了,时间和 1.在利用太阳能热水器加热水的过程中,热水器里 水温的变化...... 水的温度随所晒时间的长短而变化,其中的因变量是 青春期男、女生身高曲线 ) .平均身高/cm A.太阳光强弱 B.水的温度 165 -男生 C.所晒时间 女生 一2过行 D.热水器的容积 2.小宇想要给妈妈调制一杯糖水,先往杯子中装了 一定质量的糖,然后向杯子中加入水,随着水量的增加; 糖水的浓度逐渐降低,这个变化过程中的常量和变量分 别是 f ) 0 891011121314151617181920年龄/ A.糖的质量,糖水的浓度 新知扫描 B.杯子的质量,糖的质量 C.水的体积,糖水的浓度 探究点 变量与常量 D.糖水的浓度,糖的质量 类型一 常量与变量的判断 【例1】写出下列问题的关系式中的常量与变量, 板书设计 (1)分针旋转一周内,旋转的角度”(单位:度)与旋 现实中的变量 转所需要的时间1(单位;min)之间的关系式n一6t; (2)一辆汽车以40km/h的速度向前匀速直线行驶 1.常量与变量. 汽车行驶的路程s(单位:km)与行驶时间z(单位;h)之间 2.自变量与因变量 的关系式,-40 课堂巩固 【解析】根据在一个变化的过程中,数值发生变化的 量称为变量,数值始终不变的量称为常量即可答题. 本节课学习了常量与变量的含义,能分清实例中的 【解】(1)常量:6:变量:n,7. 常量与变量,并能根据实际情景分析自变量、因变量的 (2)常量:40:变量:5.1. 关系,以及尝试用数学语言描述 下册第六章 教学参考 教学反思 认知冲突,提升学生的认知水平,使学生在原有的 知识基础上迅速迁移到新知上来。 自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变 化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两 答案 个重要的量,对于我们所熟悉的变化,在用了这两 随堂演练 个量的描述之后更加鲜明,本节是学好本章的基 1.B 2.A 础,在教学中应立足于学生的认知基础,激发学生的 2 用表格表示变量之间的关系 D学目标 B.所挂物体质量为4kg时,弹策的长度为12cm C.弹策不挂重物时的长度为0cm 1.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格 D.物体质量每增加1kg.弹策长度就增加0.5cm 表示两个变量之间的关系,并能根据表格中的数据尝试 【解析】弹赞不挂重物时的长度为10cm,故C说法 对变化趋势进行初步的预测. 错误. 2.掌握创建表格的方法,能够根据给定情境或数 【答案】C 据,准确填写表格,并从中分析变量间的依赖或相关性. 3.通过表格分析,识别变量间的变化规律,解决简 【方法总结】观察表中数据,注意弹不挂重物时的 单的应用问题,提升抽象思维和逻辑推理能力 长度是弹赞的原长. D重点难点 类型二 从表格中获取信息解决问题 ................................. 【例2】心理学家发现,在课堂前20min内,学生对 重点:对表格所表达的两个变量关系的理解,识别 概念的接受能力y与教师提出概念所用的时间x(单位: 变量间的模式和趋势 min)之间有如下的关系; 难点;根据表格中的数据分析变量间复杂的因果关 时间x/min 7 10 12 13 14 1720 系,以及如何将这种关系应用到解决实际问题中 D教厚过程 接受能力y 47.853.556.35959.859.959.858.355 ................................. (1)表中哪个是自变量?哪个是因变量? 情景导入 (2)当教师提出概念所用的时间是10min时,学生 烧一壶水,你注意过水温随着时间变化而变化的情 的接受能力是多少? 况吗?在烧开水时,水温达到100C就会沸腾,下表是某 (3)根据表格中的数据,教师提出概念所用的时间 同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据; 是多少时,学生的接受能力最强? 时间/min 【解析】(1)由条件可知,两个变量是提出概念所用 的时间和对概念的接受能力,对概念的接受能力随着时 温度/C 间的变化而变化: 新知扫描 (2)直接从表中得出提出概念时间是10min对应的 接受能力; 探究点 用表格表示数量间的关系 (3)从表中得出接受能力最强时对应的时间. 类型一 利用表格对数据进行分析 【解】(1)表中教师提出概念所用的时间是自变量, 【例1】弹挂上物体后会伸长,测得一弹的长度y (单位:cm)与所挂物体的质量r(单位:kg)间的关系如下表: 学生对概念的接受能力是因变量。 (2)59. xr/kg 0 12 3 45 (3)13min. y/em 10 10.5 11 11.5 12 12.5 【方法总结】解决这类问题,首先要弄清自变量与因 下列说法不正确的是 ) ( 变量,再根据表格中提供的几组数据总结变化规律,从 A.x与y都是变量,且x是自变量,v是因变量 而解决问题. 数学 七年级BS版 随堂演练 课堂巩固 1.某冰箱厂2024年上半年每个月的产量如下表: 本节课学习了用表格表示变量关系的要点,强调数 x/月 1 2 3 4 5 6 据分析的重要性,并能从表格中获得自变量与因变量之 y/台10000 10000 12000 13000 15000 18000 间的关系信息. 教学 反思 (1)根据表格中的数据,哪几个月的产量相同?哪 ................................. 个月的产量最高? 清晰的数据组织是用表格来表示变量间关系 (2)求2024年上半年的平均月产量. 2.某易拉罐厂在设计一种易拉罐的过程中发现符 的关键,本节课将表格表示变量关系的知识点与现 合要求的易拉罐底面的半径与用错量有如下关系: 实生活实例相结合,不仅提升了学生的兴趣和参与 度,也提高了他们的学习动机和深度 底面半径/cm 1.62.0 2.42.8 3.2 3.6 4.0 用错量/cm 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 答案 随堂演练 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自 变量?哪个是因变量 1.解:(1)1月和2月的产量相同,6月的产量最高. (2)当易拉罐底面的半径为2.4cm时,易拉罐需要 (2)(10000+10000+12000+13000+15000+ 18000)-6-13000(台). 的用错量是多少? 故2024年上半年的平均月产量为13000台. (3)根据表格中的数据,你认为易拉罐底面的半径 为多少时比较合适?说说你的理由. 2.解;(1)上表反映了易拉罐底面的半径和用错量 这两个变量之间的关系,其中易拉罐底面的半径是自变 板书设计 量,用错量是因变量 2 用表格表示变量之间的关系 (2)易拉罐需要的用错量是5.6cm{ 1.表格中的自变量与因变量. (3)易拉罐底面的半径为2.8cm时比较合适,因为 2.用表格表示变量间的关系。 此时用铅量较小,成本低. 3 用关系式表示变量之间的关系 D教学目标 某回学家长调取的几次通话时间和相应的通话费用; 1.经历探索某些图形中变量之间关系的过程,进一步 通话时间/min 1 2 3 4 5 6 通话费用/元 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 体验一个变量的变化对另一个变量的影响,发展符号意识 1.2 2.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的 如果用字母r表示通话时间,字母y表示通话费用. 关系,初步感受模型思想。 你能用字母表示它们之间的关系吗 3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的 新知扫描 数值对应关系. 探究点 D重点难点 用关系式表示变量间关系 ................................. 类型一 列关系式表示变量之间的关系 重点:找出题中的自变量和因变量 【例1】已知三峡大坝泄洪时每孔水流量为 难点;根据关系式找自变量和因变量之间的对应 关系。 2205m/s.上游水位为40m,水位每降低1m.下游水位 升高0.2m. D教厚过程 ................................. (1)你能说出这个变化过程中的自变量和因变量是 情景导入 什么吗? (2)如果下游水位升高Hm,泄洪后上游水位高度 随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷,下表是 为方m,试列出H和的关系式 下册第六章 教学参考 【解析】(1)根据题意可知,下游水位的高度随着上 【解】(1)Q-54-7.5(0 17.2). 游水位高度的变化而变化;(2)根据下游水位升高与泄 把=6h代入,得Q-54-7.5×6-9(L). 洪后上游木位高度的关系列式即可, (2)54-7.5-7.2(h). 【解】(1)自变量是上游水位下降的高度,因变量是 故最多能连续行驶7.2h 下游水位升高的高度 【方法总结】对于此类问题,要特别注意自变量的取 (2)关系式:H-0.2x40-h 值范围. 随堂演练 【方法总结】考查了学生用数学关系式表示文字信 息的能力. 1.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示皮 类型二 列关系式并求值 球从高处落下时,弹跳高度b(单位:m)与下降高度d(单 位:m)的关系,下面能表示这种关系的式子是 。 【例2】已知水池中有800m的水,每小时抽50m。 下降高度d/m (1)写出剩余水的体积Q(单位:m)与时间(单位; 50 80 100 150 h)之间的关系式; 弹跳高度b/m 25 40 50 75 (2)6h后池中还有多少水? A.b-df B.b-2d (3)几小时后,池中还有200m的水? C.b-# D.6-d+25 【解析】(1)根据“抽水时问×抽水速度一抽水量” “蓄水量一抽水量一剥余水量”列式即可;(2)根据自变 2.声音在空气中传播的速度y(单位;m/s)与气温 量与因变量的关系式,可得因变量相应的值;(3)根据自 (单位:C)之间存在如下关系:y一 变量与因变量的关系式,可得相应自变量的值 (1)当x-15°C时,y-: 【解】(1)Q-800-501(0<1<16). (2)当气温为20C时,某人看到烟花燃放5s后才听 (2)当t-6h时,Q-800-50×6-500m. 到声音响,则此人与燃放的烟花所在地相距 故6h后,池中还有500m{的水. 板书设计 (3)当Q-200m时,800-50-200,解得t-12h. 故12h后,池中还有200m的水. 3 用关系式表示变量之间的关系 【方法总结】利用关系式,根据任何一个自变量的值 1.表格和关系式对比 求出相应因变量的值,其实质是代数式求值;根据因变 2. 关系式表示两变量间关系的应用 量的值求出相应自变量的值,其实质是解方程 课堂巩固 类型三 关系式与表格的综合 【例3】一辆加满汽油的汽车在马路上匀速行驶,油 本节课学习了两种表示变量间关系的方法:表格和 箱中的剩余油量Q(单位:L)与行驶时间((单位;h)的关 关系式,学生明白了表格和关系式在表示变量间关系时 系如下表所示: 各有优点和缺点,并会利用关系式求变量的值. 教学 反思 行驶时间/h 剩余油量Q/L. 46.5 3 4 31.5 24 在教师的引导下,学生在实际问题中发现间 请你根据表格,解答下列问题: 题,从数学角度去观察、思考和解决问题,学生基本 (1)请直接写出Q与.的关系式,并求出这辆汽车在 上能准确地找到自变量和因变量,对单个自变量的 连续行驶6h后油箱中的剩余油量; 数值可以找到相应的因变量的值,但是对于自变量 (2)这辆车在中途不加油的情况下,最多能连续行 由一个值变化到另一个值时,找随之而变化的因变 驶多长时间? 量的值,有部分学生感到难以理解 【解析】(1)分析表中数据可知,每行驶1h消耗油量 答案 为7.5L.据此写出Q与7的关系式;(2)观察图表可知; 随堂演练 汽车行驶1h耗油7.5L.油箱原有汽油54L..据此可或 1.C 2.(1)340m/s (2)1715 出油箱中愿有汽油可以供汽车行驶的时间。 数学 七年级BS版 4 用图象表示变量之间的关系 第1课时 曲线型图象 教学 目标 ................................. 1.能从图象分析变量之间的关系,找出自变量、因 变量,加深对图象表示的理解。 D 2.能对实际情境中所蕴含的变量之间的关系借助 图象表示. 【解析】根据容器的形状可知,随着水的高度增长, 体积先是增加得越来越慢,然后增加得越来越快,据此 3.能够从图象中分析变量之间的关系,明确图象上 的点表示的意义,会利用图象找到准确的信息 可得出水的体积V与水的高度h之间关系的大致图象. 【答案】A D重点难点 【方法总结】仔细观察各图象,认真分析自变量与因 重点;理解图象上的点所表示的意义,并能从图象 变量的关系,总结出规律,找到对应的操作情况 中获取变量之间关系的信息 类型二 从曲线型图象中获取变量信息 难点,能用语言描述变量之间的关系 教学过程 【例2】如图表示的是某市2024年6月份某一天的 ................................. 气温随时间变化的情况 情景导入 气温/C 输地人耳地的的到到到畔 某地某天的温度变化情况如图所示,你能从中获取 怎样的信息? 03 6 9 12 15182124时间/时 03691215182124时间/时 请回答下列问题: 新知扫描 (1)这天在什么时间范围内气温在上升? (2)点A表示的意义是什么?几时的气温与点A表 探究点 效 用曲线型图象表示变量间关系 示的气温相同? 类型一 用曲线型图象表示两个变量间的关系 (3)请预测,次日凌晨1时的气温大约是 【例1】如图,均匀地向一个容器内注水,在注满水的 C. 过程中,水的体积V与水的高度h之间关系的大致图象 【解析】各题都需要认真观察图象,根据时问与温度 是 ) ( 的关系解答. 【解】(1)3时一15时气温在上升. (2)点A表示12时的气温是31C,21时的气温与 点A表示的气温相同。 (3)25(答案不唯一,合理即可) 【方法总结】从图象中获取信息,认真观察图象是解 题的关键. 随堂演练 1.某市一周内的平均气温如图所示,下列说法不正 A B 确的是 C ) 下册 第六章 教学参考 ·平均气温/C 13 板书设计 第1课时 曲线型图多 1.用曲线型图象表示变量间关系 一二三四五六日星期 2.从曲线型图象中获取变量信息 第1题图 课堂巩固 A.星期二的平均气温最高 本节课学习了从图象中分析变量之间的关系,能从图 B.星期四到星期日天气逐渐转暖 象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述 C.这一周最高气温与最低气温相差4C D教学 反思 D.星期四的平均气温最低 .............................. 2.某药物研究单位研制成功一种新药,经测试,如 图象法能直观形象地表示因变量随自变量变 果患者按规定剂量服用,服药后每毫升血液中含药量y 化的趋势,可通过图象来研究变量的某些性质,这 (单位;g)与时间c(单位;h)之间的关系如图所示,如果 也是数形结合的优点,但是它也存在观察不够准 每毫升血液中的含药量不少于20g,那么这种药物才能 确,画面局限性大的缺点,教学中让学生自己归纳 发挥作用,请根据题意回答下列问题 总结,回顾反思,将知识点事连起来,完成对该部分 (1)服药几分钟后,药物开始发挥作用 内容的完整认识和意义构建,这对学生在实际情境 (2)服药几小时后,每毫升血液中的含药量最大,最 中根据不同需要选择恰当的方法表示变量间的关 大值是多少? 系,发展与深化思维能力是大有裨益的. (3)服药后,药物发挥作用的时间有长? 答案 .yg 随堂演练 100 1.C 2.解:(1)×60-20( nin). (2)服药2h后,每毫升血液中的含药量最大,最大 值为80g. 3 (3)7一 第2课时 折线型图象 D教学 过目标 ................................. 图象分别表示一辆汽车速度变化的情况. +速度 ,速度 1.能从图象中获取变量之间关系的信息的能力,并 能用语言进行描述 2.能借助图象表示实际情境中所蕴含的变量之间 时间 时间 对间 的关系. (2) (1) (③) 3.结合具体情境,理解图象上的点所表示的意义, 图中反映了哪两个变量之间的关系?自变量、因变 能够解决实际问题 量分别是什么?你能从图中获得哪些信息?请用自己 D重点难点 ............................... 的语言描述这辆汽车的行驶情况 重点:从图中分析变量之间的关系,同时获取相关 新知扫描 信息并能用语言进行描述 难点:能借助图象表示实际情境中所蕴含的变量之 探究点 用折线型图象表示变量间关系 间的关系解决实际问题 类型一 用折线型图象表示两个变量间的关系 D教学过程 ................................. 【例1】小明放学后从学校乘车回家,他从学校出发, 情景导入 先匀速步行至车站,等了一会儿,小明乘车回到家,下面 能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的 大致图象是 汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的,下面的 ) 数学 七年级BS版 ’离家的距离 离家的距离 时间 时间 A ·离家的距离 离家的距离 D 【解析】根据小明从学校乘车回家可知,他离家越来 时问 D ## 越近,根据步行的速度慢可知,他与家的距离变化小;根 C 据乘车的速度快可知,他与家的距离变化大 2.如图反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步 【答案】D 离家的距离与时间之间的关系。 【方法总结】理解题意,将已知信息匹配对应的图 (1)爷爷从家里出发后20min到30min可能在做什 象,关键要理解信息的含义. 么?爷爷每天散步多长时间? 类型二 通过折线型图象获取信息 (2)爷爷散步时最远离家多少来? (3)分别计算爷爷离开家后的20min内、30min内、 【例2】星期天,玲玲骑自行车到郊外游玩,她离家的 45min内的平均速度. 距离与时间的关系如图所示. .距离/m 900 ...... 2030 45时间/min 板书设计 _10:30 0 9:00 10-0011:0012:0013:0014:0015:00 时阅 第2课时 折线型图多 请根据图象回答下列问题 1.用折线型图象表示变量间关系 (1)玲玲刚到离家最远的地方是什么时间?离家 2.根据折线型图象获取信息解决问题 多远? 课堂巩固 (2)她何时开始第一次休息?休息了多长时间? (3)玲玲全程骑车的平均速度是多少? 本节课培养学生学会从图象中获得信息的能力,提 高学生合作交流的能力,并给出实际情境,能大致描绘 【解析】(1)利用图中的点的横坐标表示时间,纵坐 出它对应的图象,能解决实际问题. 标表示离家的距离,进而得出答案;(2)休息时,路程不 教学反思 随时间的增加而增加;(3)用玲玲全程所行的路程除以 ................................ 所用的时间即可 经历一般规律的探索过程,培养学生的抽象思 【解】(1)珍珍刚到离家最远的地方是12:00,此时离 维能力;经历从实际问题中得到关系式这一过程 家30km. 提升学生的数学应用能力,使学生在探索过程中体 (2)她10:30开始第一次休息,休息了半小时. 验成功的喜悦,树立学习的自信心,体验生活中数 (3)(30+30)一(15-9)-10(km/h). 学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系 故玲玲全程骑车的平均速度是10km/h. 激发学生学数学、用数学的兴趣. 【方法总结】利用图象解决实际问题,必须认真观察 答案 图象,分析变量的含义. 随堂演练 随堂演练 1.B 2.解;(1)可能在某处休息,45min 1.洋洋从学校走回家,在路上他碰到两个同学:干 (2)900m. 是在文化宫玩了一会儿,然后再回家,下图中能较好地 (3)20min内的平均速度为900-20-45(m/min). 刻画出他离家的距离与时间的变化情况的图象是 30min内的平均速度为900-30-30(m/min). ) 45min内的平均速度为900×2-45=40(m/min).