第5章 图形的轴对称&第6章 变量之间的关系-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

书 考 点 解 密 ?考点１：识别轴对称图形 例１　在一些美术字中，有的汉字是轴对称 图形．下面４个汉字中，可以看作是轴对称图形 的是 （　　） 解：Ｄ． ●专项练习 １．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资 源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的 故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个 个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博 物馆的标志，其中是轴对称图形的是 （　　） ２．如图１，用无刻度的直尺分别画出下列图 形的对称轴． ?考点２：轴对称图形的性质 例 ２　 如 图 ２，ＡＤ 是 △ＡＢＣ的高，线段 ＡＥ与线段 ＡＢ关于ＡＤ所在直线对称．若 ∠Ｂ＝３５°，∠ＣＡＥ＝４０°，则 ∠ＢＡＣ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７０° Ｂ．７５° Ｃ．８０° Ｄ．８５° 解析：因为ＡＥ与ＡＢ关于ＡＤ所在直线对称， ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠Ｅ＝∠Ｂ＝３５°，点Ｄ， Ｃ，Ｅ三点共线．所以∠ＢＡＥ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｅ ＝１１０°．因为 ∠ＣＡＥ ＝４０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＢＡＥ－∠ＣＡＥ＝７０°． 故选Ａ． ●专项练习 ３．如图 ３，在 △ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ 分别是ＡＢ，ＡＣ上的点，点Ａ与点Ａ′ 关于 ＤＥ所在直线对称，∠Ａ＝ ３４°，∠ＣＥＡ′＝５４°，则 ∠ＢＤＡ′的 度数为 ． ４．如图 ４，在正方形网格中， 直线ｌ与网格线重合，点 Ａ，Ｃ，Ａ′， Ｂ′均在网格点上． （１）已知△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于直线 ｌ对 称，请把△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′补充完整； （２）在直线ｌ上画出点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＣ最短． ５．如图５，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，点Ｂ关于直线 ＡＣ的对称点为Ｅ，连接ＡＥ，ＣＥ，Ｆ为线段ＣＥ上一 点（不与点 Ｅ重合），ＡＦ＝ＡＢ．试用等式表示线 段ＢＤ，ＥＦ的数量关系，并说明理由． ?考点３：等腰三角形 例３　 如图 ６，ＡＢ∥ ＣＤ， ∠Ｃ＝３３°，ＯＣ＝ＯＥ，则∠Ａ的 度数是 ． 解析：因为 ＯＣ＝ＯＥ，∠Ｃ ＝３３°，所以∠Ｅ＝∠Ｃ＝３３°． 所以 ∠ＤＯＥ＝１８０°－∠ＣＯＥ ＝∠Ｅ＋∠Ｃ＝６６°．因为ＡＢ∥ ＣＤ，所以∠Ａ＝∠ＤＯＥ＝６６°． 故填６６°． ●专项练习 ６．已知ｘ，ｙ满足｜５－ｘ｜＋（ｙ－１１）２ ＝０， 则以ｘ，ｙ的值为两边长的等腰三角形的周长是 （　　） Ａ．２１ Ｂ．２７ Ｃ．２１或２７ Ｄ．以上答案均不对 ７．如图７，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ， 垂足为点Ｄ，点Ｅ是ＡＤ上一点，ＤＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＣ ＝７０°，则∠ＡＣＥ的度数为 （　　） Ａ．１８° Ｂ．２７° Ｃ．２５° Ｄ．３６° ８．如图８，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ，Ｅ分 别在边ＢＣ，ＡＣ的延长线上，ＡＤ＝ＡＥ． （１）若∠ＢＡＤ＝１２０°，求∠ＥＤＣ的度数； （２）猜想∠ＢＡＤ与 ∠ＥＤＣ的关系，并说明 理由． ?考点４：线段的垂直平分线 例 ４　 如 图 ９， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ＤＥ垂直平分ＡＢ交ＢＣ于点 Ｄ．若 △ＡＣＤ 的 周 长 为 ５０ｃｍ，则ＡＣ＋ＢＣ＝ （　　） Ａ．２５ｃｍ Ｂ．４５ｃｍ Ｃ．５０ｃｍ Ｄ．５５ｃｍ 解析：因为ＤＥ垂直平分ＡＢ交ＢＣ于点Ｄ，所 以ＡＤ＝ＤＢ．因为△ＡＣＤ的周长为５０ｃｍ，所以ＡＣ ＋ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＤＢ＋ＣＤ＝ＡＣ＋ＢＣ＝５０ｃｍ． 故选Ｃ． ●专项练习 ９．如图 １０，已知 △ＡＢＣ， ＡＢ＜ＢＣ，用尺规作图的方法在 ＢＣ上取一点 Ｐ，使得 ＰＡ＋ＰＣ ＝ＢＣ，下列选项正确的是 （　　） １０．如图１１，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ垂直平分 ＡＣ 于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｄ，连接ＡＤ，ＡＢ的垂直平分线 交ＡＤ于点Ｆ，连接ＢＦ．设∠Ｃ＝α，∠ＤＢＦ＝β， 则∠ＢＡＣ的大小为 （　　） Ａ．１８０°－２α－２β Ｂ．９０°－１２β Ｃ．９０°－１２α Ｄ．α＋β １１．如图 １２，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ，ＤＦ分别为 ＢＣ，ＡＢ边的垂直平分线，连接ＡＤ，ＣＤ．若∠Ｂ＝ ５０°，求∠ＡＣＤ的度数． ?考点５：角的平分线 例 ５　 如 图 １３， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＢＤ 平分 ∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ ＡＢ，垂足 为点Ｅ，ＡＤ＝６，ＡＣ＝１０，则 ＤＥ的长是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 解析：因为ＡＤ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＣＤ＝ＡＣ－ ＡＤ＝４．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＤＣ⊥ＢＣ．又因为 ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＤＥ＝ＤＣ＝４． 故选Ｂ． （下转第２９版                                                                                                               ） ! " # ! !" $ % & ! " ! # 书 知 识 回 顾 １．轴对称图形及两个图形成轴对称 （１）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条 直线折叠后， 能够互相重合， 那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作 对称轴． 理解轴对称图形应注意：①指一个图形；② 图形被直线分成的两部分能够互相重合；③ 轴 对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在 多条． （２）两个图形成轴对称：如果两个平面图形 ，那么称这两个 图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对 称轴． 理解两个图形成轴对称应注意：① 有两个 图形；②沿某一条直线折叠后能够完全重合；③ 成轴对称的两个图形一定是全等图形，但两全 等的图形不一定成轴对称；④对称轴是直线，而 不是线段． （３）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成 轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴 ，对应线段 ，对应角 ． ２．等腰三角形 （１）有两边 的三角形叫作等腰三 角形，两条相等的边叫作 ，另一边叫作 ，两腰的夹角叫作 ，腰和底边 的夹角叫作 ． （２）等腰三角形是 对称图形． （３）等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 重合 （也 称 “ ”），它们所在的直线是等腰三角形的 ． （４）等腰三角形的两个底角 ． ３．线段垂直平分线和角平分线的有关性质 （１）线段：是轴对称图形，垂直并且平分线 段的直线是它的一条对称轴，这样的直线叫作 这条线段的垂直平分线，简称 ． 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离 ． （２）角：是轴对称图形， 是它的对称轴． 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． "! ! ' % " & $ ! $ % ! ( & $ " ! % & ' ( ) & ' ( ) ! ! ! " # $ !" ! " # $ #$ ! !" # $ ! !* $ ' & % ! " & % !$ ' " ! !! $ ! & " % ! !$ % ! & $ " ! * ! & % " $ ! + ! , $ ! & " % ! " $ ) ! " $ ) ! " $ ) ! " $ ) & ' ( ) ! - ! ' % & " $ * ! + "! $! ! . 书 考 点 解 密 ?考点１：常量与变量 例１　“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西 瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温 度随时间变化而变化，其中自变量是 ， 因变量是 ． 解：时间，温度． ●专项练习 １．指出下列各关系式中的变量与常量： （１）球的表面积 Ｓ（ｃｍ２）与半径 Ｒ（ｃｍ）的 关系式是Ｓ＝４πＲ２； （２）一物体自高处自由落下，这个物体运动 的距离ｈ（ｍ）与它下落的时间ｔ（ｓ）的关系式是ｈ ＝１２ｇｔ ２（其中ｇ取９．８ｍ／ｓ２）； （３）已知橙子每千克的售价是１．８元，则购 买数量ｘ（千克）与所付款ｙ（元）之间的关系式 是ｙ＝１．８ｘ． ?考点２：用表格表示变量之间的关系 例２　我国首辆火星车正式被命名为：“祝 融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新 型隔温材料 ——— 纳米气凝胶，该材料导热率 Ｋ［Ｗ／（ｍ·Ｋ）］与温度Ｔ（℃）的关系如下表，下 列选项描述不正确的是 （　　） 温度Ｔ／℃ １００ １５０ ２００ ２５０ 导热率Ｋ／［Ｗ／（ｍ·Ｋ）］ ０．１５ ０．２ ０．２５ ０．３ Ａ．在这个变化过程中，自变量是温度，因变 量是导热率 Ｂ．在一定温度范围内，温度越高，该材料导 热率越高 Ｃ．当温度为 ３５０℃ 时，该材料导热率为 ０．３５Ｗ／（ｍ·Ｋ） Ｄ．温度每升高 １０℃，该材料导热率增加 ０．０１Ｗ／（ｍ·Ｋ） 解析：在这个变化过程中，导热率随温度的 变化而变化，即自变量是温度，因变量是导热率， 故Ａ正确，不符合题意； 根据表格可知，在一定温度范围内，温度越 高，该材料导热率越高，故Ｂ正确，不符合题意； 根据表格可知，温度每升高５０℃，导热率增加 ０．０５Ｗ／（ｍ·Ｋ），所以当温度为３５０℃时，该材料导 热率为０．４Ｗ／（ｍ·Ｋ），故Ｃ不正确，符合题意； 因为温度每升高５０℃，该材料导热率增加 ０．０５Ｗ／（ｍ·Ｋ），所以温度每升高１０℃，该材料导热 率增加０．０１Ｗ／（ｍ·Ｋ），所以Ｄ正确，不符合题意． 故选Ｃ． ●专项练习 ２．一空水池现需注满水，水池深４．９ｍ，现 以不变的流量注水，数据如下表，其中不变的量 是 ，可以推断注满水池所需的时间是 ． 水的深度ｈ／ｍ ０．７ １．４ ２．１ ２．８ 注水时间ｔ／ｈ ０．５ １ １．５ ２ ３．科学家实验发现，声音在不同气温下传播 的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的 变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料 发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存 在如下关系： 气温Ｔ／℃ ０ １ ２ ３ ４ ５ 声音在空气中的 传播速度ｖ／（ｍ／ｓ） ３３１ ３３１．６３３２．２３３２．８３３３．４ ３３４ （１）在这个变化过程中， 是自变 量， 是因变量； （２）声音在空气中的传播速度ｖ（ｍ／ｓ）与气 温Ｔ（℃）之间的关系式可以表示为 ； （３）某日的气温为１０℃，小乐看到烟花燃 放３ｓ后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在 地大约相距多远？ ?考点３：用关系式表示变量之间的关系 例３　泰和工农兵大道安装的护栏平面示 意图如图１所示，假如每根立柱宽为０．２米，立柱 间距为３米． （１）将表格补充完整： 立柱根数 １ ２ ３ ４ ５… 护栏总长度 ／米 ０．２ ３．４ ９．８ （２）在这个变化过程中，自变量、因变量各 是什么？ （３）设有ｘ根立柱，护栏总长度为ｙ米，求ｙ 与ｘ之间的关系式． （４）当护栏总长度为６１米时，求立柱的根数． 解析：（１）由图表知，当立柱根数为３时，护 栏总长度为：３．２×３－３＝６．６（米）； 当立柱根数为５时，护栏总长度为：３．２×５ －３＝１３（米）． 故表格从左至右依次填：６．６，１３． （２）在这个变化过程中，护栏总长度随立柱 根数的变化而变化，所以自变量是立柱根数，因 变量是护栏总长度． （３）由题意得，ｙ与ｘ之间的关系式为：ｙ＝ （０．２＋３）ｘ－３，即ｙ＝３．２ｘ－３． （４）当ｙ＝６１时，３．２ｘ－３＝６１．解得ｘ＝ ２０． 答：当护栏总长度为６１米时，立柱的根数为 ２０． ●专项练习 ４．某市倡导低碳生活，节约用电，节能环保，采 用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用 电量不超过１５０度时，按０．５元 ／度计费；月用电量 超过１５０度时，其中的１５０度仍按０．５元 ／度计费， 超过部分按０．６５元／度计费．若某户家庭月用电 量为ｘ（ｘ＞１５０）度时，则应交电费ｙ与ｘ之间的 关系式为 ． ５．小星在家做家务时发 现纸杯的个数和叠放的高度 有一定的规律，于是就想用 学过的数学知识进行探究． 如图２是１个纸杯和６个纸杯 叠放在一起的示意图，小星通过测量纸杯的数据 得到如下表格： 纸杯的个数ｘ １ ２ ３ ４ ５ ｎ … 纸杯叠放的总高度ｙ／ｃｍ ８．５ ９ ９．５１０ ｍ １１ … 请你帮他完成相关问题的探究． （１）表中ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）写出表格中数据满足的一个关系式，并 计算出１０个纸杯叠放在一起的总高度； （３）请根据（２）中得到的关系式，写出关系 式中常量的实际意义． （下转第２９版                                                                                               ） 书 知 识 回 顾 １．变量、自变量、因变量和常量的概念 （１）在某一变化过程中，不断变化的量叫作 ． （２）如果在一个变化过程中含有两个变量， 并且其中一个变量 ｙ随另一个变量 ｘ的变化而 变化，那么ｘ叫作 ，ｙ叫作 ． （３）在变化过程中数值始终 的量 叫作常量． ２．变量的表示方法 （１）列表法：是将自变量和因变量的部分对 应数值填写在表格中，来表示它们之间关系的 一种方法． ①优点：一目了然，对于表格中已有的自变 量的值，不需要计算就可以查到对应的因变量 的值； ②缺点：列表法只能表示部分自变量和因 变量的对应值，难以反映变量之间变化的全部 面貌． （２）关系式法：是用关系式表示两个变量之 间的关系的方法． ①关系式的基本特征是： ａ．等式的左边是因变量，等式的右边是关 于自变量的代数式； ｂ．等式中只含有自变量和因变量两个变 量，其他的量都是常量； ｃ．自变量可在允许的范围内任意取值． ②优点：简单明了，规范准确，适合做理论 分析和推导计算． ③缺点：有时这种表示方式计算很麻烦，而 且在实际问题中，有些变量之间的关系很难或 不能用关系式表示． （３）图象法：就是用图象表示两个变量之间 的关系的方法． ①优点：形象直观，可以形象地反映出事物 变化的趋势和某些性质； ②缺点：图象是近似的、局部的，观察图象 确定的因变量的值往往不够准确，只能近似地 看出数量的大小． ３．实际应用中关系式的求法 （１）等量关系法：假设自变量为 ｘ，因变量 为ｙ，在求关系式时，一般与列方程解应用题一 样，先根据题目中的实际意义找出等量关系，列 出关于ｘ，ｙ的等式，再用含有ｘ的代数式表示ｙ， 即得关系式． （２）公式法：即利用某些典型应用问题中的 基本关系式或几何图形的计算公式，求解关系 式．例如：路程 ＝速度 ×时间． （３）数形结合法：即根据图形、图案反映出 的规律，写出变量之间的关系式． !" ! # ! ! !" ! " # $ ! !" #$% "#! $ ! % 书 （上接第６版） ?考点５：全等三角形的判定 例５　 如图 １０，点 Ｅ在 △ＡＢＣ的边ＡＣ上，ＡＥ＝ＢＣ， ＢＣ∥ ＡＤ，∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＤ． 试说明：△ＡＢＣ≌△ＤＥＡ． 解：因为ＢＣ∥ ＡＤ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠Ｃ．因为 ∠ＣＥＤ ＝１８０°－∠ＡＥＤ，∠Ｄ ＋∠ＤＡＣ ＝ １８０°－ ∠ＡＥＤ，所以 ∠ＣＥＤ ＝∠Ｄ＋∠ＤＡＣ．又因为 ∠ＣＥＤ＝∠ＢＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＋∠ＢＡＣ，所 以∠Ｄ＝∠ＢＡＣ．又因为ＢＣ＝ＥＡ，所以△ＡＢＣ ≌△ＤＥＡ（ＡＡＳ）． ●专项练习 １５．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人 墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着 造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风 筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图１１所示的 “风筝”图案中，ＡＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ＝ＤＥ， 则可以直接判定 （　　） Ａ．△ＡＥＧ≌△ＡＢＣ Ｂ．△ＡＥＧ≌△ＡＣＦ Ｃ．△ＡＢＦ≌△ＡＤＧ Ｄ．△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ １６．如图１２，已知∠１＝∠２，添加下列条件， 不能使△ＡＢＣ≌△ＤＣＢ的是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＣＤ Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．∠Ａ＝∠Ｄ Ｄ．∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ １７．如图１３，点Ｃ是线段ＡＢ的中点，∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，试说明：△ＡＣＥ≌ △ＢＣＤ． 例６　如图１４，在△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，边 ＢＣ与边Ｂ′Ｃ′上的中线分别为ＡＤ与Ａ′Ｄ′．若ＡＢ ＝Ａ′Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，ＡＤ＝Ａ′Ｄ′．试说明：△ＡＢＣ ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′． 解：因为 ＡＤ，Ａ′Ｄ′分别是 △ＡＢＣ，△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 的中线，所以 ＢＤ＝１２ＢＣ，Ｂ′Ｄ′＝ １ ２Ｂ′Ｃ′．又因 为ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所以 ＢＤ ＝Ｂ′Ｄ′．在 △ＡＢＤ和 △Ａ′Ｂ′Ｄ′中，因为ＡＢ＝Ａ′Ｂ′，ＢＤ＝Ｂ′Ｄ′，ＡＤ＝ Ａ′Ｄ′，所以 △ＡＢＤ≌ △Ａ′Ｂ′Ｄ′（ＳＳＳ）．所以 ∠Ｂ ＝∠Ｂ′．在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，因为 ＡＢ＝ Ａ′Ｂ′，∠Ｂ＝∠Ｂ′，ＢＣ＝Ｂ′Ｃ′，所以 △ＡＢＣ≌ △Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＡＳ）． ●专项练习 １８．如图１５，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ在线段 ＢＥ上，ＡＤ ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∠１＝２５°， ∠２＝３０°，则 ∠３的度数为 ． １９．如图１６，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ为 ＢＣ边上的 中线，过点Ｂ作 ＢＥ⊥ ＡＤ，交 ＡＤ的延长线于点 Ｅ，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，在ＤＡ延长线上取 一点Ｇ，连接 ＧＣ，使 ∠Ｇ＝∠ＢＡＤ，则 Ｓ△ＢＤＥ Ｓ△ＡＧＣ ＝ ． ２０．如图１７，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在边ＡＢ上， ＥＦ分别交 ＢＣ，ＡＣ于点 Ｇ，Ｏ，ＤＦ∥ ＢＣ，ＡＣ＝ ＤＦ，∠Ｃ＝∠ＯＧＣ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，试说明：ＢＣ＝ ＥＦ． ?考点６：全等三角形的应用 例７　情境：如图１８－①，为了测量池塘两 端Ａ，Ｂ之间的距离，在地面上选取可以直接到达 点Ａ和点Ｂ的点Ｃ，连接 ＡＣ，ＢＣ，再在地面上选 取可以直接到达点 Ｂ和点 Ｃ的点 Ｄ，连接 ＤＢ， ＤＣ，使ＣＢ平分∠ＡＣＤ，ＡＣ＝ＤＣ（点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在 同一平面内），此时测量出线段 ＢＤ的长便是池 塘两端Ａ，Ｂ之间的距离． 论证：（１）请你说明“情境”中的结论正确； 探究：（２）请你再设计一种测量池塘两端Ａ， Ｂ之间距离的方案，并说明理由（要求写出方案 并借助刻度尺和圆规在图１８－②中画出图形）． 解：（１）因为ＣＢ平分∠ＡＣＤ，所以∠ＡＣＢ＝ ∠ＤＣＢ．在△ＡＣＢ和△ＤＣＢ中，因为ＡＣ＝ＤＣ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＢ，ＢＣ ＝ＢＣ，所以 △ＡＣＢ≌ △ＤＣＢ（ＳＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＢ． （２）如图１９，在地面上选取可以直接到达点 Ａ和点Ｂ的点Ｏ，连接ＡＯ并延长到点Ｃ，使ＯＣ＝ ＯＡ，连接ＢＯ并延长到点 Ｄ，使 ＯＤ＝ＯＢ，连接 ＣＤ，此时测量出线段ＣＤ的长就是池塘两端Ａ，Ｂ 之间的距离．理由为：在 △ＡＯＢ和 △ＣＯＤ中，因 为ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，ＯＢ＝ＯＤ，所以 △ＡＯＢ≌△ＣＯＤ（ＳＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ． ●专项练习 ２１．如图２０，工人师傅要检查人字梁的 ∠Ｂ 和∠Ｃ是否相等，但他手边没有量角器，只有一 个刻度尺．他是这样操作的：①分别在ＢＡ和ＣＡ 上取ＢＥ＝ＣＧ；②在ＢＣ上取ＢＤ＝ＣＦ；③量出 ＤＥ的长为ａ，ＦＧ的长为ｂ．如果ａ＝ｂ，那么说明 ∠Ｂ和∠Ｃ是相等的，他得出此结论的依据是 ． ２２．如图２１，已知△ＡＢＣ和射线ＥＭ，请仅用 无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图 痕迹，不写作法）． （１）在射线ＥＭ的上方，作∠ＮＥＭ ＝∠Ｂ； （２）在射线 ＥＭ的上方，作 △ＥＤＦ，使得 △ＢＡＣ≌△ＥＤＦ． （本章检测卷见第１３～１４版                                                                                             ） 书 （上接第３１版） ?考点４：用图象表示变量之间的关系 例４　小敏上午８：００ 从家里出发，骑车去一家 超市购物，然后从这家超 市返回家中，小敏离家的 路程 ｙ（米）和所经过的 时间ｘ（分钟）之间的图象如图３所示．下列结 论：①小敏在超市逗留了３０分钟；②小敏家距离 超市 ３０００米；③ 小敏去超市途中的速度是 ３００米 ／分；④小敏８：５０返回到家，其中正确的 是 （填序号）． 解析：由图象知：小敏在超市逗留的时间为： ４０－１０＝３０（分钟），① 正确；小敏家距离超市 ３０００米，②正确；小敏去超市途中的速度为： ３０００÷１０＝３００（米 ／分），③正确；小敏从超市 返回时的速度为： ３０００－２０００ ４５－４０ ＝２００（米 ／分）， 所以小敏从超市返回时的时间为：３０００÷２００＝ １５（分钟），４０＋１５＝５５（分钟），所以小敏８：５５ 返回到家，④错误． 故填①②③． ●专项练习 ６．小明在游乐场坐 过山车，在某一段６０秒 的时间内过山车的高度 ｈ（米）与时间ｔ（秒）之 间的图象如图 ４所示， 下列结论错误的是 （　　） Ａ．当ｔ＝４１时，ｈ＝１５ Ｂ．过山车距水平地面的最高高度为９８米 Ｃ．在 ０～６０秒范围内，当过山车高度是 ８０米时，ｔ的值只能等于３０ Ｄ．在４１～５３秒范围内，高度ｈ（米）随时间 ｔ（秒）的增大而增大 ７．如图５所示容器是由两个底面半径不相 等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容 器注满，在注水过程中，水面高度ｈ随注水时间ｔ 变化的图象是 （　　） （本章检测卷见第２１～２２版） 书 （上接第３０版） ●专项练习 １２．如图１４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，以顶 点Ａ为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ＡＣ，ＡＢ 于点Ｅ，Ｆ；再分别以点Ｅ，Ｆ为圆心，大于１２ＥＦ的 长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ，作射线 ＡＰ交 ＢＣ 于点 Ｄ．若 ＣＤ ＝６，则点 Ｄ到 ＡＢ的距离是 ． １３．如图１５，在△ＡＢＣ中，Ｓ△ＡＢＣ ＝２１，∠ＢＡＣ 的平分线ＡＤ交ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ为ＡＤ的中点，连 接ＢＥ，点Ｆ为ＢＥ上一点，且ＢＦ＝２ＥＦ．若Ｓ△ＤＥＦ ＝２，ＡＣ＝６，则ＡＢ＝ ． （本章检测卷见第１９～２０版） ! " # $ % ! !" ! " # $ ! $ ! !# ! " ! " # $ & ' % ( ! !$! %& ! " # $ & ( ' ! " # $ & ( ' ! %% ! " # $ & ! %' ! " # $ ! ( ! %( ! " # $ $! !! "! #! ! %) ! " # $ & % ( * ! %+ !" ! " # $ ! + ) ' * ) ' * ) ' * ) ' * , - . / * ''' ( ''' ' !' )' )+ +,! -,"# ! * ' !+ +0 0' "0 *' )! +*&' ),! *,$ ! ) ! " # $ & ! !* . / !" # $ & 0 ( ! !) " # & $ ( ! ! !+ ! (' ! (! & . ! " $ ! " # $ & ( ' 书 ∠４＋１０°，所以∠４＋１０°＋∠４＝５８°．解得∠４＝２４°． 所以∠Ｈ＝３４°． ２３．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＭＮ＝∠ＣＮＭ．因为 ｌ∥ＦＧ，所以∠ＦＧＣ＝∠ＣＮＭ．所以∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ． （２）如图１，过点Ｆ作ＦＨ∥ＡＢ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＣＤ∥ＦＨ．所以∠ＭＥＦ＝ ∠ＥＦＨ，∠ＦＧＣ＝∠ＧＦＨ．由（１）知∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ．所 以∠ＢＭＮ＝∠ＧＦＨ．所以∠ＥＦＧ＝∠ＧＦＨ＋∠ＥＦＨ＝ ∠ＢＭＮ＋∠ＭＥＦ． （３）因为ＥＲ平分 ∠ＦＥＢ，ＧＲ平分 ∠ＦＧＤ，所以设 ∠ＢＥＲ＝∠ＦＥＲ＝ｘ，∠ＦＧＲ＝∠ＤＧＲ＝ｙ．所以∠ＡＥＦ ＝１８０°－２ｘ．如图２，过点Ｆ作ＦＴ∥ＡＢ，过点Ｒ作ＲＳ∥ ＡＢ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ＦＴ∥ ＡＢ∥ ＣＤ∥ ＲＳ．所以 ∠ＥＲＳ＝∠ＢＥＲ＝ｘ，∠ＧＲＳ＝∠ＤＧＲ＝ｙ，∠１＝∠ＦＧＣ ＝１８０°－２ｙ．所以∠ＥＲＧ＝ｘ＋ｙ．因为∠ＨＦＧ＝９０°，所 以∠２＝９０°－∠１＝９０°－（１８０°－２ｙ）＝２ｙ－９０°．所 以∠ＦＨＤ＝∠２＝２ｙ－９０°．因为 ∠ＦＨＤ－∠ＡＥＦ＝ ３０°，所以２ｙ－９０°－（１８０°－２ｘ）＝３０°，即２ｘ＋２ｙ＝ ３００°．所以 ｘ＋ｙ＝１５０°．所以 ∠ＥＲＧ＝１５０°．所以 ∠ＨＭＮ＝ １６∠ＥＲＧ＝２５°． 《概率初步》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．６０％；　５．４； ６．Ｃ；　７．１２；　８．１４． ９．（１）设盒子中有黑球ｘ个．由题意，得ｘ＝１３（３＋ ７＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：盒子中有５个黑球． （２）由题意，得７＝ １３（３＋７＋ｍ）．解得ｍ＝１１． １０．４７；　１１．Ａ． 《概率初步》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ 二、１１．不可能；　１２．０．９７；　１３．③；　１４．π４； １５．１或２或３或４或５． 三、１６． （１） 抽 中 Ｃ 类 数 据 的 概 率 为： ５０ ２０＋３０＋５０＋４０＝ ５ １４． （２）不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试验 次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等． １７．（１）表格中从左至右依次填４，２或３． （２）事件Ａ发生的概率为： ８１２－２＝ ４ ５． １８．因为摸了１００次，发现有２５次摸到红色乒乓球，所 以估计摸到红色乒乓球的概率为： ２５ １００＝ １ ４．设箱子中有 红色乒乓球ｘ个．由题意，得ｘ＝１４（１５＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：估计箱子中有５个红色乒乓球． １９．（１）Ｐ（小明获得中性笔）＝ ３１８＝ １ ６． （２）Ｐ（小明获得奖品）＝２＋３＋４１８ ＝ １ ２． （３）１８×５９ ＝１０（个），１０－９＝１（个），所以需要再 将１个空白扇形涂上颜色． ２０．（１）因为盒中有ｘ枚白棋和ｙ枚黑棋，所以盒中 共有（ｘ＋ｙ）枚棋子．由题意，得ｙ＝４９（ｘ＋ｙ）．所以ｙ与 ｘ之间的关系式为ｙ＝ ４５ｘ． （２）由题意，得ｙ＋１２＝ ２３（ｘ＋ｙ＋１２）． 由（１）得ｙ＝ ４５ｘ，所以 ４ ５ｘ＋１２＝ ２ ３（ｘ＋ ４ ５ｘ＋ １２）．解得ｘ＝１０．所以ｙ＝８． ２１．（１）Ｐ（指针落在红色区域）＝１４４３６０＝ ２ ５， Ｐ（指针落在白色区域）＝３６０－１４４３６０ ＝ ３ ５． （２）红色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１３ ＝ １２０°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×５１２＝ １５０°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１４ ＝ ９０°．画图略． ２２．（１）０．６７；　（２）０．７；　（３）０．４； （４）根据题意，得４π０．４＝１０π（平方米）． 答：估计整个封闭图形的面积是１０π平方米． ２３．（１）由表１可知，经过食堂的师生有７０人，使用 共享雨伞的有７人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是： ７ ７０＝ １ １０． （２）４个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：２８０×６８０＝２１，图书馆：３３０× ８ １１０＝２４，食 堂：２００×７７０＝２０，宿舍楼：２２５× ６ ９０＝１５． 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：２１＋２４＋ ２０＋１５＝８０，所以在４个放置区投放雨伞的把数分别为： 教学楼：２４０×２１８０＝６３，图书馆：２４０× ２４ ８０＝７２，食堂：２４０ ×２０８０＝６０，宿舍楼：２４０× １５ ８０＝４５． 所以投放方案是教学楼６３把，图书馆７２把，食堂 ６０把，宿舍４５把． 《三角形》专项练习 １．３；　２．钝角；　３．三角形具有稳定性； ４．９０°或６０°；　５．５０；　６．Ｂ；　７．１９； ８．７；　９．Ｂ；　１０．２０°或８０°． １１．（１）１２； （２）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因 为∠Ｃ＝７０°，所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２０°．因为∠Ｃ ＝７０°，∠ＢＡＣ＝６０°，所以∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＢＡＣ ＝５０°．因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＡＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２５°．所以∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＡＣ＝ ９５°． １２．①②③④；　１３．２；　１４．１２；　１５．Ｄ；　１６．Ａ． １７．因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，所以ＡＣ＝ＢＣ．因为 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，所以 ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ＋ ∠ＤＣＥ，即∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ．设ＢＤ与ＡＥ交于点Ｏ，因为 ∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，∠ＤＯＭ＝∠ＥＯＮ，所以１８０°－∠ＤＭＥ －∠ＤＯＭ＝１８０°－∠ＤＮＥ－∠ＥＯＮ，即∠Ｄ＝∠Ｅ．所以 △ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＡＡＳ）． １８．５５°；　１９．１２． ２０．因为ＤＦ∥ＢＣ，所以∠Ｆ＝∠ＯＧＣ．又因为∠Ｃ ＝∠ＯＧＣ，所以∠Ｆ＝∠Ｃ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为 ∠Ｃ＝∠Ｆ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＣ＝ＥＦ． ２１．全等三角形的对应角相等． ２２．图略． 《三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、１１．三角形具有稳定性；　１２．９．５，９．５； １３．１４０°；　１４．１６；　１５．４．２或０．８． 三、１６．（１）由三角形的三边关系，得ａ＋ｃ＞ｂ，ｃ－ａ ＜ｂ．所以原式 ＝ａ＋ｃ－ｂ＋ｃ－ａ－ｂ＝２ｃ－２ｂ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，所以ＡＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ． 因为Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ和ＡＣ上的点，所以ＡＢ－ＡＤ＝ＡＣ－ ＡＥ，即ＢＤ＝ＣＥ． １７．如图３，△ＡＢＣ和△ＡＢＣ′即为所求． １８．因为∠ＢＣＡ＝４０°，∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＣ＝ １８０°－∠ＢＣＡ－∠ＡＢＣ＝８０°．因为ＡＥ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以∠ＥＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°．因为ＢＦ是△ＡＢＣ 的高，所以∠ＢＦＡ＝９０°．所以∠ＡＯＦ＝９０°－∠ＥＡＣ＝ ５０°．所以∠ＥＯＦ＝１８０°－∠ＡＯＦ＝１３０°． １９．（１）因为∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＢＣＡ＋ ∠ＡＣＥ＝９０°，∠ＥＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°．所以 ∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中，因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＣ ＝ＥＣ，∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）．所 以ＡＣ＝ＤＣ． （２）由（１）知 ＡＣ＝ＤＣ．因为 ∠ＡＣＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°．因为 ＡＣ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝ ∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝６７．５°．所以 ∠ＤＥＣ＝ １８０°－∠ＡＥＣ＝１１２．５°． ２０．因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ ＝９０°．又因为 ∠ＡＣＢ＝６８．２°，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°－ ∠ＡＣＢ＝２１．８°＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＣＤＥ中，∠ＢＡＣ ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ，ＢＣ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＣＤＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ．因为ＣＤ＝１２ｍ，所以ＡＢ ＝１２ｍ，即教学楼高度ＡＢ为１２ｍ． ２１．（１）因为∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，所 以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）△ＣＰＱ为等腰直角三角形．理由如下： 由（１）知ＡＤ＝ＢＥ．因为ＡＤ，ＢＥ的中点分别为点Ｐ， Ｑ，所以ＡＰ＝ＢＱ．因为△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，所以∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ．在△ＡＣＰ和△ＢＣＱ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ，ＡＰ＝ＢＱ，所以△ＡＣＰ≌△ＢＣＱ（ＳＡＳ）．所以ＣＰ ＝ＣＱ，∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＱ．又因为∠ＡＣＰ＋∠ＰＣＢ＝９０°， 所以 ∠ＢＣＱ＋∠ＰＣＢ＝９０°，即 ∠ＰＣＱ ＝９０°．所以 △ＣＰＱ为等腰直角三角形． ２２．（１）２４０； （２）因为∠Ａ＝４５°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１３５°．因为∠Ｅ＋∠Ｆ＝１０５°，所以∠Ｄ＝１８０°－ （∠Ｅ＋∠Ｆ）＝７５°．所以∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ ＝１０５°．所以 ∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ－ （∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝３０°． （３）不能．理由如下： 由（２）知∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１０５°．若ＢＤ，ＣＤ分别平 分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＤＢＣ＋ ２∠ＤＣＢ＝２１０°，与三角形内角和定理相矛盾．所以不能 将△ＤＥＦ摆放到某个位置，使得ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ． ２３．（１）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＢＥ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ＝９０°．所 以∠ＥＡＯ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝９０°．所以 ∠ＥＡＯ＝∠ＥＢＣ．在△ＡＯＥ和△ＢＣＥ中，因为∠ＥＡＯ＝ ∠ＥＢＣ，ＡＥ＝ＢＥ，∠ＡＥＯ ＝∠ＢＥＣ，所以 △ＡＯＥ≌ △ＢＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＡＯ＝ＢＣ＝５． （２）如图４，设点 Ｐ的运动时间为 ｘ秒．由已知得 ＯＰ＝ｘ，ＢＱ＝４ｘ．因为 ＡＯ＝５，所以ＡＰ＝ＡＯ－ＯＰ＝５－ｘ．在 △ＡＰＥ和 △ＢＱＥ中，因为 ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＢＱＥ，∠ＥＡＰ＝∠ＥＢＱ，ＡＥ＝ＢＥ，所以 △ＡＰＥ≌△ＢＱＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＰ＝ＢＱ． 所以５－ｘ＝４ｘ．解得ｘ＝１．所以点Ｐ的 运动时间是１秒． （３）存在ｔ值，使以点 Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与以 点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等． 由（１）知△ＡＯＥ≌△ＢＣＥ．所以∠ＡＯＥ＝∠ＢＣＥ．所 以１８０°－∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＣＥ，即∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ． ①如图 ５－①，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以５－ ４ｔ＝ｔ，解得ｔ＝１； ②如图 ５－②，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以４ｔ－ ５＝ｔ，解得ｔ＝ ５３． 综上所述，存在ｔ值，使以点Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形 与以点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等，符合条件的ｔ值为１ 或 ５ ３． 《图形的轴对称》专项练习 １．Ｂ． ２．如图６                                                                                                                                                                                         ． ! " # $ !" ! " # $ % & ' ( ) * + ! ! ! " # $ ! % )(* , & - . " ' + ! " ! # ! " # $ ! " # $ / % 0 1 ! $ ! % ! % " # $ 1 / 0 & $ 1 & % " # 0 / ! ! " ! & + 2 2 ! " # $ 2 2 "! ! 书 ３．１２２°． ４．图略． ５．ＥＦ＝２ＢＤ．理由如下： 过点Ａ作ＡＧ⊥ＥＦ于点Ｇ，图略．所以∠ＡＧＥ＝９０°． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＢ＝９０°．因为点Ｂ关 于直线ＡＣ的对称点为Ｅ，所以ＡＢ＝ＡＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ．因为 ＡＦ＝ＡＢ，所以 ＡＦ＝ＡＥ．所以 ＥＦ＝２ＥＧ．在 △ＡＢＤ和 △ＡＥＧ中，因为∠ＡＤＢ＝∠ＡＧＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＡＢ＝ＡＥ， 所以△ＡＢＤ≌△ＡＥＧ（ＡＡＳ）．所以ＢＤ＝ＥＧ．所以ＥＦ＝ ２ＢＤ． ６．Ｂ；　７．Ｃ． ８．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ．因为ＡＤ＝ ＡＥ，所以 ∠Ｅ＝∠ＡＤＥ．因为 ∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＋∠ＢＡＣ＝ １８０°，∠Ｅ＋∠ＡＤＥ＋∠ＣＡＤ＝１８０°，所以２∠ＡＣＢ＋２∠Ｅ ＋∠ＢＡＤ＝３６０°．因为∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，所以２（∠ＤＣＥ＋ ∠Ｅ）＋∠ＢＡＤ＝３６０°．因为∠ＢＡＤ＝１２０°，所以∠ＤＣＥ ＋∠Ｅ＝１２０°．所以∠ＥＤＣ＝１８０°－（∠ＤＣＥ＋∠Ｅ）＝ ６０°． （２）∠ＢＡＤ＝２∠ＥＤＣ．理由如下： 由（１）知２（∠ＤＣＥ＋∠Ｅ）＋∠ＢＡＤ＝３６０°．所以 ２（１８０°－∠ＥＤＣ）＋∠ＢＡＤ ＝３６０°．所以 ∠ＢＡＤ ＝ ２∠ＥＤＣ． ９．Ｂ；　１０．Ｂ． １１．连接ＤＢ，图略．因为∠ＡＢＣ＝５０°，所以∠ＢＡＣ＋ ∠ＢＣＡ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１３０°．因为ＤＥ，ＤＦ分别为ＢＣ， ＡＢ边的垂直平分线，所以 ＤＢ＝ＤＣ，ＤＢ＝ＤＡ．所以 ∠ＤＣＢ ＝∠ＤＢＣ，∠ＤＡＢ ＝∠ＤＢＡ，ＤＣ ＝ＤＡ．所以 ∠ＤＡＣ＋∠ＤＣＡ＝∠ＢＣＡ－∠ＤＣＢ＋（∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ） ＝１３０°－∠ＤＣＢ－∠ＤＡＢ＝８０°．因为 ＤＣ＝ＤＡ，所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＤ＝４０°． １２．６；　１３．８． 《图形的轴对称》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、１１．②③；　１２．８；　１３．４；　１４．１５０°； １５．６７°或１１３°． 三、１６．图略． １７．因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝６５°，所以∠ＡＣＢ＝∠Ｂ＝ ６５°．所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＡＣＢ＝５０°．因为ＡＢ ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＣＡＤ＝１２∠ＢＡＣ＝２５°．因为ＣＥ ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝∠ＥＡＣ＝２５°．所以 ∠ＥＣＤ ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ＝４０°． １８．（１）因为点Ｐ关于ＯＡ，ＯＢ对称的点分别为点Ｃ， Ｄ，所以ＰＭ ＝ＣＭ，ＰＮ＝ＤＮ．所以ＣＤ＝ＣＭ＋ＭＮ＋ＮＤ ＝ＰＭ＋ＭＮ＋ＰＮ＝１８ｃｍ．所以△ＰＭＮ的周长为１８ｃｍ． （２）因为∠Ｃ＝１５°，∠Ｄ＝１７°，所以∠ＣＰＤ＝１８０° －∠Ｃ－∠Ｄ＝１４８°．因为 ＰＭ ＝ＣＭ，ＰＮ＝ＤＮ，所以 ∠ＭＰＣ＝∠Ｃ＝１５°，∠ＮＰＴ＝∠Ｄ＝１７°．所以∠ＭＰＮ ＝∠ＣＰＤ－∠ＭＰＣ－∠ＮＰＴ＝１１６°． １９．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，∠ＡＢＣ＝４０°，所以 ∠ＤＢＣ＝ １２∠ＡＢＣ＝２０°．因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∠ＡＣＢ ＝７０°，所以∠ＤＣＢ＝ １２∠ＡＣＢ＝３５°．所以 ∠ＢＤＣ＝ １８０°－∠ＤＢＣ－∠ＤＣＢ＝１２５°． （２）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，ＤＥ＝ ２，所以ＤＦ＝ＤＥ＝２．因为ＢＣ＝９，所以Ｓ△ＢＣＤ ＝ １ ２ＢＣ· ＤＦ＝９． ２０．图略． ２１．（１）因为ＡＥ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＣＥ，所以ＡＤ是ＣＥ的垂 直平分线．所以ＤＥ＝ＣＤ．所以∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ． （２）因为ＡＣ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝ ∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＣ，∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ．所以∠ＡＥＣ＝１８０°－ ∠ＢＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＣＥ＝２∠Ｂ．在 △ＡＥＣ中，∠ＡＣＥ＋ ∠ＡＥＣ＋∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ＋２∠Ｂ＋∠Ｂ＝１８０°．解得∠Ｂ ＝３６°． ２２．（１）４８； （２）①因为ＡＢ＝ＡＤ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＢ ＝ＡＣ，∠Ｃ＝２∠ＡＤＢ，所以∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝２∠ＡＢＤ．所 以 ∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＢＤ ＝２∠ＡＢＤ－∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ．所以ＡＤ∥ＢＣ． ②因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＡＢＣ，∠ＤＡＣ＝ ∠Ｃ．所以∠ＥＡＤ＝∠ＤＡＣ，即ＡＤ是∠ＥＡＣ的平分线．又 因为ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＥ＝６ｃｍ，所以点 Ｄ到 ＡＣ的距离是 ６ｃｍ． ２３．（１）△ＡＢＣ与 △ＡＣＤ，△ＡＢＣ与 △ＢＣＤ（答案不 惟一）． （２）因为ＣＤ＝ＡＤ，∠Ａ＝５０°，所以∠ＡＣＤ＝∠Ａ＝ ５０°．所以 ∠ＢＤＣ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝ １００°．因为ＣＤ平分∠ＡＣＢ，所以∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＤ＝５０°， ∠ＡＣＢ＝２∠ＡＣＤ＝１００°．所以∠ＢＣＤ＝∠Ａ，∠ＢＤＣ＝ ∠ＡＣＢ．又因为ＣＤ＝ＤＡ，∠Ｂ＝∠Ｂ，所以ＣＤ为△ＡＢＣ 的“等角分割线”． （３）当△ＡＣＤ是等腰三角形，如图７，ＤＡ＝ＤＣ时， ∠ＡＣＤ＝∠Ａ＝５４°，∠ＢＣＤ＝∠Ａ＝５４°，所以∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝１０８°，所以∠Ｂ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＣＢ ＝１８°； 当△ＡＣＤ是等腰三角形，如图８，ＡＤ＝ＡＣ时，∠ＡＣＤ ＝∠ＡＤＣ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝６３°，∠ＢＣＤ＝∠Ａ＝ ５４°，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝１１７°，所以∠Ｂ＝ １８０°－∠Ａ－∠ＡＣＢ＝９°； 当△ＡＣＤ是等腰三角形，ＣＤ＝ＣＡ的情况不存在； 当 △ＢＣＤ是等腰三角形，如图 ９，ＤＣ ＝ＤＢ时， ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝ １３（１８０°－∠Ａ）＝４２°； 当△ＢＣＤ是等腰三角形，如图 １０，ＢＤ ＝ＢＣ时， ∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝ １２（１８０°－∠Ｂ）＝９０°－ １ ２∠Ｂ， ∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°－ １ ２∠Ｂ＋∠Ｂ＝９０°＋ １ ２∠Ｂ，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠Ｂ＋ ∠ＡＣＢ＝５４°＋∠Ｂ＋９０°＋１２∠Ｂ＝１８０°，解得∠Ｂ＝ ２４°； 当△ＢＣＤ是等腰三角形，ＣＤ＝ＣＢ的情况不存在． 综上所述，∠Ｂ的度数为９°或１８°或４２°或２４°． 《变量之间的关系》专项练习 １．（１）常量：４，π；变量：Ｓ，Ｒ． （２）常量：１２，ｇ；变量：ｈ，ｔ． （３）常量：１．８，变量：ｘ，ｙ． ２．注水的速度，３．５ｈ． ３．（１）气温，声音在空气中的传播速度； （２）ｖ＝０．６ｔ＋３３１； （３）（０．６×１０＋３３１）×３＝１０１１（ｍ）． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距１０１１ｍ． ４．ｙ＝０．６５ｘ－２２．５． ５．（１）１０．５，６； （２）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝０．５ｘ＋８．当ｘ＝１０ 时，ｙ＝０．５×１０＋８＝１３． （３）常量是０．５，８．它们是定值，保持不变，表示增加 一个纸杯，纸杯的总高度在 ８ｃｍ的基础上增加一个 ０．５ｃｍ． ６．Ｃ；　７．Ｃ． 《变量之间的关系》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１１．空调每小时的用电量；　１２．ｙ＝５ｘ＋１； １３．５．４４；　１４．４；　１５．２或３． 三、１６．（１）ｎ，ｍ为变量；２０，１．２为常量． （２）α与β之间的关系式为α＝１８０°－２β． １７．由题意，得ｙ＝ １２（ｘ＋８）×５＝ ５ ２ｘ＋２０，所以 四边形ＡＢＣＥ的面积ｙ与ＡＥ的长ｘ（０＜ｘ＜８）之间的 关系式为ｙ＝ ５２ｘ＋２０（０＜ｘ＜８）．列表如下： ｘ ３ ４ ５ ６ ７ ｙ ２７．５ ３０ ３２．５ ３５ ３７．５ １８．（１）７０，５４； （２）变大； （３）摩天轮的直径为：７０－５＝６５（ｍ）． １９．（１）６８； （２）３７÷５＝７．４（ｃｍＨｇ），所以ｈ每增加１ｍ，压强增 加７．４ｃｍＨｇ． 所以ｐ与ｈ之间的关系式为ｐ＝６８＋７．４ｈ． 当ｈ＝３２．８时，ｐ＝６８＋７．４×３２．８＝３１０．７２，所以 离水面３２．８ｍ处的压强为３１０．７２ｃｍＨｇ． ２０．（１）时间，下降的速度； （２）１３ｓ； （３）根据图象可知，２０ｓ时，该运动员下降的速度为 ５ｍ／ｓ，且到落地前速度不变，所以２０ｓ时，该运动员距离 地面的高度是：５×（４０－２０）＝１００（ｍ）． ２１．（１）３４８０，２２００；　（２）８； （３）３４８０＋（３０００－２２００）×２＝５０８０（米）， （３４８０－２２００）÷（２８－２４）＝３２０（米 ／分）． 答：小宇一共行驶了５０８０米，小宇买到书后从书店 前往西安交通大学的速度为３２０米 ／分． ２２．（１）ｙ１ ＝３０＋ １ ２ｘ，ｙ２ ＝６ｘ． （２）【问题解决】由题意，得６ｘ＝３０＋１２ｘ．解得ｘ＝ ６０ １１． 答：在１：００～１：１５之间时针与分针的重合时刻为 １点 ６０１１分钟． 【问题拓展】由题意，得６ｘ＝３０＋１２ｘ＋９０，解得ｘ＝ ２４０ １１． 答：在１：１５～１：３０之间时针与分针所在直线互相垂 直的时刻为１点２４０１１分钟． ２３．（１）１，５２，１０；　（２）５，３； （３）兔子比乌龟晚出发２分钟，此时乌龟走了２米． （４）由题意得，兔子休息前的速度为：５÷（５－２）＝ ５ ３（米 ／分）．所以兔子不休息到达终点需要的时间为： １０÷５３ ＝６（分钟）．因为兔子比乌龟晚出发２分钟，所以 兔子需要８分钟完成比赛，１０－８＝２（分钟）． 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与 比赛，将比乌龟早到达终点２分钟． 七年级第二学期期末复习检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ 二、１１．１１７°；　１２．２５；　１３．ｙ＝０．７ｘ－０．４； １４．１００；　１５．２５°或１１５°． 三、１６．（１）－１７． （２）原式 ＝３ａ－２ｂ．当ａ＝－１３，ｂ＝－２时，原式 ＝ ３． １７．作线段ＡＢ的垂直平分线，与Ｓ区内高速公路ｍ， ｎ夹角的平分线交于点Ｐ，则发射塔应修建在点Ｐ处．图 略． １８．（１）６；　（２）６； （３）由题意，得６－ｙ＝ １４×２０．解得ｙ＝１． １９．在△ＡＢＣ中，因为∠ＢＡＣ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝４∶３∶２， 所以∠ＢＡＣ＝１８０°×４９ ＝８０°，∠Ｂ＝１８０°× ３ ９ ＝６０°． 因为ＡＤ是 ＢＣ边上的高线，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°．所以 ∠ＢＡＤ＝９０°－∠Ｂ＝３０°．因为 ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＥ＝ １２∠ＢＡＣ ＝４０°．所以 ∠ＤＡＥ ＝∠ＢＡＥ－ ∠ＢＡＤ＝１０°． ２０．（１）刹车时车速，刹车距离； （２）１５； （３）ｓ＝０．２５ｖ（ｖ≥０）； （４）当ｓ＝３２时，０．２５ｖ＝３２，解得ｖ＝１２８． 所以推测刹车时车速是１２８ｋｍ／ｈ． 因为１２０＜１２８，所以事故发生时，汽车是超速行驶． ２１．（１）因为 ∠ＣＥＤ＋∠ＦＨＤ ＝１８０°，∠ＧＨＤ＋ ∠ＦＨＤ＝１８０°，所以∠ＣＥＤ＝∠ＧＨＤ．所以ＣＥ∥ＧＦ． （２）∠ＡＥＤ＋∠Ｄ＝１８０°．理由如下： 因为 ＣＥ∥ ＧＦ，所以 ∠Ｃ＝∠ＦＧＤ．因为 ∠Ｃ＝ ∠ＥＦＧ，所以 ∠ＦＧＤ ＝∠ＥＦＧ．所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＡＥＤ＋∠Ｄ＝１８０°． （３）因为∠Ｄ＝２８°，所以∠ＡＥＤ＝１８０°－∠Ｄ＝ １５２°．因为ＣＥ∥ＧＦ，∠ＥＨＦ＝８８°，所以∠ＭＥＨ＝１８０° －∠ＥＨＦ＝９２°．所以∠ＡＥＭ＝３６０°－∠ＡＥＤ－∠ＭＥＨ ＝１１６°． ２２．（１）±２； （２）①由题意知，（ｘ＋ｙ，ｙ）☆（２ｘ＋ｙ，ｙ）＝（ｘ＋ｙ）２ －（２ｘ＋ｙ）ｙ＋ｙ２＝ｘ２＋ｙ２＝１０４．因为ｘ＋ｙ＝１２，所以 （ｘ＋ｙ）２ ＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝１４４．所以２ｘｙ＝４０．所以ｘｙ ＝２０． ②由图可知，Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＣＤ＋Ｓ长方形ＣＥＦＧ－Ｓ△ＢＧＦ ＝ １ ２ｘ                                                                                                                                                                                         · !" ! 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