第一章 3 乘法公式-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

_ 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 要点提示 平方差公式:两数和与这两数差的积,等于它们的平方羞,即(a十b)(a一b)一a}一。 / 固基础 2 ......... ......... 过提能力 ..... ......... 知识点平方差公式 5.若(x+y+1)(x十y-1)-8,则x十y的值 为 1.(2024吉安月考)下列各式能用平方差公式 ) A.3 B.士3 C.-3 计算的是 - D.士5 B.(-a十2)(2-a) A.(a-1)(1-a) 6.一个长方体的长为a十h,宽为a^{}十,高是a C(-a十b)(a-b) D.(a十b)(-a十b) 一6.长方体的体积为 2.计算:(ab-2)(a+2)= 7.按照如图所示的程序计算,若开始输入的 3.(2024萍乡期中)若a-^-15,a-b--5. 值为3,则最后输出的结果是 则十b一 输入m→计算(m+1)(m-1) 4.计算: /验出结果 (1)(5+6a)(5-6a); 第7题图 8.新定义题定义新运算“”,对于任意实数 a,b都有a*b-(a十b)(a-b)-1.例如:5* 4-(5+4)(5-4)-1-9-1-8.若x×2 (2)(-2r*+5)(-2-5); 4x.则x-4x- 9.如下图,学校劳动实践基地有两块边长分别 为a,5的正方形秧田A,B,其中不能使用的 面积为M. (1)A中能使用的面积为 (用 #1){1)## (3)( 含a,M的式子表示); (2)若a+b-10,a-b-5,求A比B多出的 使用面积. (4)(十y)(x一y)(台x*十y) 下册第一章 第2课时 平方差公式的运用 要点提示 平方差公式的运用技巧:运用平方差公式计算两数乘积时,关键是找到这两数的平均数,并求出这两数与平均 数的差,将乘积变为(平均数十差)(平均数一差)的形式,然后运用公式计算,当出现多个因式相乘时,要仔细观 察式子的特点,看是否能“凑”出符合平方差公式的模型. 固基础 / 4.先阅读例题的解答过程,再解答下面的 .... 问题. 知识点1平方差公式的几何背景 例题:用简便方法求195×205的值 1.如图,涂色部分是从边长为a的大正方形中 解:195X205 剪去一个边长为)的小正方形后所得到的 一(200-5)×(200+5)(第①步) 图形,将涂色部分通过割拼,形成新的图形, -200-5(第②步) 嘉嘉(图①)和琪琪(图②)分别给出了各自 -39975(第③步). 的割拼方法,其中可以验证平方差公式的是 (1)在例题求解过程中,第②步变形的依据 ) 是。 (2)用简便方法求9×11×101的值 图① 图② 第1题围 A.嘉嘉 B.琪琪 C.都能 D.都不能 2.从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一 5.小红家有一块“L”形菜地 个边长为的小正方形,将其裁成四个相同 要把“L”形菜地按如右图所 的梯形(如图①),然后拼成一个平行四边形 示的方式分成面积相等的两 (如图②). 个直角梯形,已知这两个直 角梯形的上底都是am,下 位:m 底都是m,高都是(一a)m 图① 图② 第2题图 (1)小红家的菜地面积为多少平方米? (1)图①中阴影部分的面积为 (2)当a-10,6-30时,小红家的菜地面积 (2)图②的面积可以表示为 为多少平方米? (3)这验证了平方差公式: 知识点2平方差公式的运用 3.(2024九江期末)若102*-m-98②-1,则n 的值为 . ) A.100 B.799 C.800 D. 801 数学 七年级BS丽 提能力 2 ......... ......... ($$)若9-16y-30,3x+4y=6,求3$- 4y的值; 6.已知n是整数,下列数中,能整除代数式( ) (3)计算:(11-))(1-))(1-).(1- +3)(n-3)-(n+2)(n-2)的是 C A.4 B.3 )(1-00). C.5 D.2 7.一个大正方形和四个相等的小正方形按如 图①、图②所示的两种方式摆放,则图②的 大正方形中未被小正方形覆盖部分(阴影部 分)的面积是 (用含a,b的代数 式表示). -_→ 图① 图② 第7题图 8.先化简,再求值:(5a+3b)(3b一5a)一(3a- 3 b)(-b-3a)+(2b-3a)(-2b-3a),其中a 拓思维 10.推理能力 分别计算下列各式的值 2) (1)填空: (r-1)(x十1)= (x-1)(r*+x十1)= (r-1)(r十x十x十1)= ... 由此可得(x-1)(x”十+x十“+*十 ++x*十r十1)- (2)求1+2+2+2+..+2+2+2 的值; (3)根据以上结论,计算1+3+3{}+3+.. 9.从边长为&的正方形中减掉一个边长为 +37+3+3{. 的小正方形(如图①),然后将剩余部分拼成 一个长方形(如图②) 图① 图② (1)上述过程所揭示的乘法公式是 下册第一章 第3课时 完全平方公式的认识 要点提示 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和加上(减去)它们的积的2倍,即(a十b)^}一a十2ab十; (a-b)-a-2ab+b. 1 固基础 易错点 混淆和(差)平方与积平方,漏写 _.. 知识点1 积的2倍的项 完全平方公式 5.计算:(2-)}. 1.计算(a一1)*的结果是 A.2-1 B.2-2十1 C.a2+2a十1 D.a-a十1 2.(2024鹰潭期中)计算:(x十y)(一一y)一 3.计算: 2 ... 提能力 (1)(一r十5): 6.(2024萍乡期末)如果x十mx十4是一个完 全平方式,那么n的值是 ) A.4 C士2 B.士4 D.-2 7.一个正方形的边长为2acm,若边长增加 6cm,则新正方形的面积增加 ) (2)(2x-3y)?-(y-3x)(3x-y) A.36cm* B. 24a cmt C.(36十24a)cm* D.以上都不正确 8.天平的左边放的物体的质量为[(2n十 3)(2m-3)+12n]g:右边放的物体的质量 为(2m十3)*g,则天平 斜(填 “会”或“不会”). 知识点2 完全平方公式的几何背景 9.(2024吉安月考)已知多项式A-(n一3) 4.利用图形中面积的等量关系可以得到某些 -(2-m)(2+n)+6n. 数学公式,例如,根据图①,我们可以得到两 (1)化简多项式A; 数和的完全平方公式:(a十b)}一a*十2ab十 (2)若n-4-5,求多项式A的值 {,根据图②你能得到的数学公式是( ) _ _ 图① 图② 第4题图 A.(a-2b)(a+2b)-a?-462 B.(a十b)?-a②+2ab十b*} C.(a-b)-a-2ab十b* D.a?--(a-b)(a十b) 数学 七年级BS版 第4课时 完全平方公式的运用 要点提示 公式的变形:a+b=(a+b) -2ab=(a-b) +2ab;(a+b)-(a-b) =4a b / 固基础 (2)2(x-y)?-(2x+6y)(x-3y). ......... ......... 知识点1利用完全平方公式简化数的计算 1.利用完全平方公式计算999{,下列变形最恰 当的是 ( ) A.(1000-1)) B.(1001-2)? 知识点③ C.(998+1)② D.(500十499)* 完全平方公式的变形应用 7.(2024抚州期中)已知(a十)}=9,(a-b)} 2.(2024赣州月考)用乘法公式计算; -1,则代数式a*十的值为 ( ) (1)2024-4048×2014+2014; C.5 A.10 B.12 D.8 (2)972. 8.若x十y-3,xy= 9.若x+y-34,x-y-2,则(x十y)的值为 知识点2利用完全平方公式进行整式的 10.若a--7,b-2,则(a十b)*= 运算 11.已知x十y-3,x+-23,求; ( 3.计算(a十2b一3)*的结果正确的是 (1)xy的值 (2)(x一y)②的值. A.a{+46*+4ab+6a+12b+9 B.a*+46+4a6+6a+12b-9 C.a2+45*-4ab+6a+12b+9 D.a+46*+4ab-6a-12b+9 4.计算(x十3y)一(3x十y)*的结果是( A.8x2-8y2 B.82-8.x* 易错点 把积化为和的形式,忽略添加括 C.8(r十y)× D.8(y-x)* 号导致符号错误 5.计算:(x+2)(2x-5)-2(x+1)*= 12.已知x②-2x=1,求(x-1)(3x十1)-(x 十D的值. 6.计算: (1)(2m+3n)?-(2m十n)(2m-n); 下册第一章 提能力 2 ......... ......... (2)试说明:不论x,y取什么值,多项式x +y-2x+2y+3的值总是正数 $3.若(a+2b)-16,ab-2,则(a-2b)^*}的值 为 . ) A.8 B.2 C.0 D.-8 14.已知长为a、宽为久的长方形的周长为14; C 面积为10,则a{}十^的值为 C.35 A.140 B.70 D.29 b的值为 _~_ A.1 16.已知2m+5n=12,m+3n=2,则代数式n②} 士4mn+4n*的值为 3 拓思维 17.计算: 19.对于一个图形,通过两种不同的方法计算 (1)(x+2y-3)(x-2y+3) 它的面积,可以得到一个数学等式,例如 图①可以表示(a十b){}-a{+2ab+,请回 答下列问题 (2)(2x-y十)②. 图② (1)写出图②所表示的数学等式: (2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验 证(1)中等式: 18.若m{+2mn+2n{}-6n+9-0,求的值 (3)若a+b+c-10,ab+ac+bc=35,求a 士B十c*的值. 解:因为m^{②}+2mn+2n{-6n+9-0.$ 所以(n+n)+(n-3)-0 所以n+n-0,n-3-0,所以n=3,m -3. 32 3. 根据你的观察,解决下面的问题 (1)若r*+4x+4+y-8y+16-0,求 的值; 数学 七年级BS版21.解：(1) (2)因为xm=3,y"=5, 2因为（）广-××.（告） 所以(x)+(-y")2-x1y·x+1y=(x)十 (y2)2-x"y2=3+53-3×5=27+125-15=137. 15.解：因为大长方形的面积=8a·4a=32a, 5 空白部分的面积=2×2.5a·2a=10a2, 所以阴影部分的面积=大长方形的面积一空白部分 所以()'-（告）· 的面积=32a2-10a°=22a'. (3) 16.解：由题意，得原式=(3mm·3)×(一4mm)-[3×3 4原式=()广×()'÷2-（受×是）'÷2 ×(-4)]·(m·m)·(n·n)=-36mn2. 第2课时多项式的乘法 =2÷2=2. 1.D2.D3.A4.2m+2mn 第5课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 5.-x2+50.x6.6.x2-10x 1.B2.D3.3×1074.2.8×105.0.000021 7.解：(1)原式=-2xy-12xy2. 6.4.3×10-m 7.解：(1)原式=一8.01×10. (2原式=-db计号a6-a6. (2)原式=3.425×10. 8.C9.A10.m2-n211.3 8.B9.D10.1×10t11.2.09×10- 12.解：(1)原式=x2-x-3.x-3=-x2-4.x-3. 12.解：(1)0.021用科学记数法表示为2.1×10， (2)原式=7x-21.x2y+8xy2-24y=7.x 0.000005用科学记数法表示为5×10‘ 13.x2y2-24y. (2)设x只卵蜂的质量和与一个鸡蛋的质量相等. 13.解：原式=(2x2+2x+5.x+5)-(x+x-3x-3) 根据题意，得0.000005x=50, =2x2+2x十5.x+5-x2-x+3x十3 解得x=10000000=1×10. =x2十9x十8. 故1×102只卵蜂的质量和与一个鸡蛋的质量相等. 当x=一7时，原式=(-7)+9×(-7)十8=一6. 2整式的乘法 14.C15.A16.1017.2024 18.解：(1)(x2十mx十n)(x2-x十2)=x-x+2x2十 第1课时单项式的乘法 mx2-m.x2+2m.x十n2-nx十2n 1.D2.B3.D4.A5.-8a66.ab =x-x十(2十m)x2十(n-m)x2十(2m-n)x+2. 7.8ry9r(答案不唯-）8.号 根据展开式中不含2和2项可得2十m=0: 【月一m=0, 9.解：1)原式=3×(-号）·xy·d 解得m=一2， n=-2 (2)原式=m3一mn+mn十n一n十 (2)原式=(-）×(-号)×(-15)·ad.br·a四 =m十. 因为m=一2.n=一2， 所以原式=（一2）1十（一2）=一8一8=-16. 19.解：(1)A=(xy+1)(:xy-2)-2xy+2 10.解：(1)①弄错乘方运算和乘法运算的顺序 =xy-2zy+xy-2-2ry+2 (2)正确的运算过程如下： =-r'y-ry. (-2ab)°·(3a26)3=4a6·27a°6=108ab. (2)由题意，得A-B=一x2y. 11.B12.-4 由(1)，知A=-xy-xy, 3 13.解：1)原式=一2y 所以-xy-xy-B=-xy, (2)原式=-4.x·2x2+9x=-8x+9.x=x 所以B=一xy 20.解：(1)积中的一次项系数是两因式中的常数项的 (3)原式=5.xy·(-8x2y)=-40.xy. 和，常数项是两因式中的常数项的积 (4)原式=(3×10)×(3×10)×（号×10）】 (2)(a+b)(a+c)=a+(b+c)a+bc. (3)①原式=a-a-9900. =(号×10×3×10）×7×10 ②原式=-161y+6480. =10×7×10=7×10 3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 14.解：0)原式=-26·G公+a公·6 1.D2.a6-43.-3 =-2a'6+a'b=-aB. 4.解：(1)原式=25-36a2 当a=2,b=1时，原式=-2×1=-16. (2)原式=4x-25. 162 数学七年级Bs版 (3)原式=(-11y+号(-11y-号)=121y 第3课时完全平方公式的认识 1.B2.-x2-2.xy-y 3.解：(1)原式=(-x)+2(-xy)·5+5 =xy-10.x2y+25. 4)原式=（行-y)(+y）--y (2)原式=4.x2-12.xy+9y2+(y-3.x) 5.B6.a-b7.638.5 =4x2-12xy+9y2+y2-6.xy+9 9.解：(1)a2-M =13x2-18xy+10y, (2)A比B多出的使用面积为(a-MD一(-MD= 4.C a2-b=(a+b)(a-b)=10×5=50. 5解：原式=忙-号y十号 第2课时平方差公式的运用 6.B7.C8.会 1.C 9.解：(1)A=(m-3)一(2-m)(2+m)十6m 2.(1)a2- =m-6m十9-(4-m)十6m (2)(a+b)(a-b) =m2一6m+9-4十m2十6m (3)(a+b)(a-b)=a2- =2m+5. 3.D (2)因为m2-4=5, 4.解：(1)平方差公式 所以m2=9, (2)原式=99×(100+1)=(100-1)×(100+1)= 所以A=2m2+5=2×9十5=23. 1002-1=9999. 第4课时完全平方公式的运用 5.解：(1)小红家的菜地面积为2× 2a+b)6-a) 1.A 2.解：(1)原式=2024-2×2024×2014+2014 (-a)m. =(2024-2014) (2)当a=10,b=30时， =10￥ 原式=30-10=900-100=800(m°). =100. 故小红家的菜地面积为800m, (2)原式=(100-3)2=1002-600+9=9409. 6.C 7.ab 3.D4.B5.-5.x-12 8.解：原式=(3b+5a)(3b-5a)十(3a-b)(3a十b)+ 6.解：(1)原式=4m°+12mn十9n2-(4m2-r2) (-3a+2b)(-3a-2b) =42+12mm十9n2-4m+n=12mn十10n2, =(3b)2-(5a)2+(3a)2-6+(-3a)2-(2b) (2)原式=2(x2-2.xy+y)-2(x+3y)(x-3y) =9b6-25a+9a2-b2+9a2-4b =2.x2-4xy+2y-2x+18y =-7a2+46. =-4xy+20y. 当a=7b=-号时， 7.c8号9.6410.57 原式=-7×（号）广+4×(-号)广=-+1=号 11.解：(1)因为(x十y)2-(x2+y2)=2.xy=32-23= 0 -14, 9.解：(1)a-b=(a+b)(a-b) 所以xy=一7. (2)因为9x-16y=30,(3x十4y)(3.x-4y)=9x (2)(.x-y)=(x十y)2-4xy=3-4×(-7)=37. -16y2, 12.解：原式=(3.x+x-3x-1)-(x2+2x+1) 所以(3.x+4y)(3.x-4y)=30. =3x+x-3x-1-x2-2x-1=2x2-4x-2. 因为3.x+4y=6,所以3x-4y=5 当.x2-2x=1时，原式=2(x2-2x)-2=2×1-2 =0. (3)原式=(1-号)(1+号)(1-号)(1+）小…(1- 13.C14.D15.C16.100 )(1+)=专×2×号×专×…×照×8删 17.解：(1)原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9. (2)原式=[(2x-y)+x] 10.解：(1).x2-1x2-1x-1x°-1 =(2x-y)2+2(2x-y)十 (2)原式=(2-1)×(2”+2+2+2+2+2+2+ =4x-4xy+y+4xz-2y+. 22+2+1)=2-1=1023. 18.解：(1)原等式可化简为(x+2)+(y一4)=0， (3)原式-号×(8-0X1+3+3+3+…+3”十 所以x+2=0,y-4=0, 3+3")=3m-1 所以x=-2y=4.所以2=2=-2 2 (2)x+y2-2x+2y+3 下册参考答案 163 =x2-2x+1+y2+2y+1+1 =(x-1)+(y+1)2+1. 原式=-8×(-)-2=1-2=-1. 因为(x-1)≥0，(y+1)≥0， 所以(x一1)2十(y十1)2+1的最小值为1， 16,解：曲题意，得M=言yg÷5ry片 所以不论x,y取什么值，多项式x十y-2x十2y+3 (w)=ry÷gry=是 的值总是正数 19.解：(1)(a+b+c)2=a2+6+2+2ab+2b+2ac 因为自然数x,x满足2×31=72=2×32， (2)验证：(a+b+c) 所以x=3,x一1=2， =(a+b+c)(a+b+c) 所以：=3，所以M=子×3X3- 5 =a'+ab+ac+ab+b+bc+ac+be+c =a2+B+2+2ab+2bc+2ae. 17.解：(1)x-2.x十31 x-3 (3)因为a十b+c=10,ab十ac+bc=35, (2) +2x+2x2-3++6 所以a2+b+cd2=(a+b+c)°-2ab-2b-2ac x2+2x2+2 =10-2×35 -3x3+(-2)x+b =30, -3x26r-6 所以a2++c2的值为30. 0 4整式的除法 所以a-2=-6,b=一6，所以a=-4,b=一6. 1.B2.A3.-8xy 本章小结 4.解：(1)原式=(-5÷3)(x÷x2)(y÷y2)x= 1.D2.B3.C4.-3 号r 5.解：(1)原式=9十1+3=13. (2)原式=-16+1-4=-19. (2)原式=[5÷(-2)](a2÷a)(÷b)c= 6解：052+=5户÷5=(6)÷5=4÷6=号 (3)原式-[（-)÷(-岩)门d÷a)6÷公)c (2)因为(5)1×5=28×6=8×6=48=5， =3ac. 所以3a+b=c. (4)原式=9.xy·(-15xy)÷(-9xy)=15xy. 7.解：由题意，得4"=2m=5,8"=2"=3,3"=4. 5.A6.B7.a2b-a8.3a-2a+1 (1)原式=22m×2“=5×3=15. 9.解：原式=[4x-12.xy+9y2-(4.2-y)门÷2y (2)原式=(3×4)2"=3m×4m=(3")2×(4")2=4× =(-12xy+10y)÷2y 52=16×25=400. =-6x+5y. 8.A9.B10.90 当x=日y-时原式=-1+1=0， 11.解：原式=a2+2a+1-a+9 =2a+10. 10.解：1)原式=-6a÷(-4a)+24ab÷(-4a)一 8d+(-4r)-2c-6ab+2. 当a=-合时，原式=2×(-号）+10=9. 12.解：(1)剩余部分的面积=2(a-b)(a十b)+(2a十 (2)原式=4ry÷(-)-y÷(-)十 3b)(a+2b)-(a-b)=2a2-26+2a+7ab+6b a+2ab-b=3a+9ab+36. 多w÷(-7)=-8r+2y-8 (2)当a=5,b=2时，剩余部分的面积=3×25十9×5 11.B12.C13.-1414.32ab-16a+8 ×2+3×4=177. 15.解：(1)原式=9x-4y-9x2+12xy-4y+x-4xy 13.B14.C =-8y2十8xy十x, 15.解：(1)原式=一27xy·(6x2y)÷9x3y 当x=一y一1时， =162.xy÷9.x'y =18.xy. 原式=-8×(-1)+8×(-号)×(-10+(-2) (2)原式=4mn·3mn÷4m =12mn1÷4m =-42 、3 n (2)原式=(4a-4ab+8-方+4ab+a)÷(-2a） 16.解：原式=[4a2+4ab+?-(4a-6)]÷2b =(4a2+4ab+6-4a2+)÷2b =(4a+a)÷(-2) =(4ab+2b)÷2b =-8a-2. =2a+b. 当a=一名6=4时， 当a=2,b=-1时， 原式=2×2-1=3. 164 数学七年级BS版