第二章 3 平行线的性质-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 要点提示 平行线的三个性质:(1)两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等(简述为两直平行,周像角 &等).如右图,如果a/b,那么 1一 4;(2)两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(简述 为两直我平行,南着角等).如右图,如果a/b,那么 2- 4;(3)两条平行直线被第三条直线所 截,同旁内角互补(简述为画直伐平行,闹旁南角至朴).如右图,如果a/b,那么 /3十 4一180”. 固基础 ........ 5.如图,AB/CD,AB AE,CAE-42*,则 乙C的度数为 __. 知识点平行线的性质 6.如下图,DB/FG/EC,A是FG上一点 1.如图,平行线AB,CD被直线AE所截,1 D-58*./C=34*,AP平分 CAD.求 一80{,则2的度数是 ) PAG的度数. B.900 C.100{ A.80* D.110{* _ _)# 第1题图 第2题图 2.如图,AB/CD,点E,F分别在CD,AB上. FG平分 EFB.若 1=62*,则 FED的 度数为 , ) A.56* B.58* C.62* D.64 3.(教材变式)如图所示的是 7# 7.如下图所示的是一种躺椅的简化结构示意 一段自来水管道的示意 图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背 图,经过多次拐弯后,管道 DM与前支架OE平行,前支架OE与后支 仍保持平行(AB/CD/ 第3题图 架OF分别与CD交于点G,D.AB与DM EF.BC/DE).若 B=70{*,则 E的度数 交于点N.当 EOF=90{, ODC=30{时, 为 ) 人躺着最舒服,求此时扶手AB与前支架 A.700 B.1100 C.120* D.130* OE的夹角AOE和扶手AB与靠背DM 4.如图,直线/,直线交1于点A,交1 的夹角ANM的度数 _ 于点B,过点B的直线1交/于点C.若3 -50{,1十2+3-240*,则 4的度数 为 C ) A.80{* C.60* B.70* D.50* ### 第4题图 第5题图 下册第二章 提能力 2 ......... 13.如下图,MON=50{*,OE平分 MON,A.B,C分别是射线 8.如图,将一张长方形纸片折叠,若 2-50^{*, 。 OM,OE,ON上的动点(点A,B 则1的度数是 C C不与点O重合),且AB/ON,连接AC A.80。 B.70{ 交射线OE于点D. C.60* D.50* (1)求/ABO的度数; (2)当三角形ADB中有两个 相等的角时,求OAC的 第8题图 第9题图 度数. 9.(2024高安模拟)如图所示的是一探照灯灯 碗的纵剖面,从位于点O的灯泡发出的两束 光线OB,OC经灯碗反射以后平行射出,若 ABO一g,DCO=3.则 BOC的度数为 ( ) A.180*--8 B.B C.(o) D.90十(-a) 10.如图,将直尺与直角三角板ABC贴在一 起,使三角板ABC的直角顶点C在直尺的 一边上,若1-63{*},则2的度数为 #.# 第10题图 11.(2024景德镇期末)如图所示的是一款手推 车的侧面结构示意图,其中AB/CD,则 1,2,3的数量关系是 12.有一条直的等宽纸带,按如图所示的方法 折叠,纸带重叠部分中a的度数为 3 拓思维 14.推理能力如图,AB/CD. 则乙1十2十3十.十 2n的度数为 1 第14题图 第12题图 (n为正整数) 数学 七年级BS版 第2课时 平行线性质与判定的综合 要点提示 平行线性质与判定的综合运用的形式:(1)角与角的数量关系一线与线的位置关系→角与角的数量关系;(2)线 与线的位置关系→角与角的数量关系一线与线的位置关系, / 固基础 6.如右图,在四边形ABCD中, AD/BC. B-80*。 知识点平行线性质与判定的综合 (1)求/BAD的度数; 1.如图,AC ICD.ED CD,AB//EF.CAE (2)AE平分BAD交BC于点E,C一 -25^{, BAE-10{*,则 DEF的度数为 50*.试说明:AE/DC _ A.30。 B.35* C.40* D.45* 第1题图 第2题图 2.如图,已知3一4,三角形ABC的顶点 B,C分别在直线n,m上,且AC|BC.若/1 一40{,则2的度数为 ( ) A.140* B.130。 C.120* D.110{ 易错点 混淆平行线的性质与判定 3.(2024湛江期末)如图,1-50,2-130*; 7.如右图,B,C,E三点在一 4-85*,那么3的度数为 ##_ 条直线上,1一2,3 -E,4+2-180。 试说明:/E一/F 请将下面的推理过程补充完整,并在括号 第3题图 第4题图 内注明理由. 4.如图,若 1-2,3-75{,则4的度数 解:因为/3一/E( ). 为 所以AB/ 5.如右图,AD//BC,/EAD -C. 因为4+2-180( (1)试说明:AE/CD; 所以AB/ (2)若 EFC-50,/C-65*,求 BEF的 度数, ). 所以 (平行于 同一条直线的两条直线互相平行). 所以1一 ,乙2一 又因为1一2(已知). 所以E=F( 下册第二章 02 提能力 03 .......... ......... 拓思维) 8.如图,1= 2,AD平分 BAC交直线a 11.跨物理学科实验证明:平面镜反射光线的 于点D.若 ABD=100{*,则 BDA的度数 规律是射到平面镜上的光线和被反射出的 为 ( ) 光线与平面镜所夹的锐角相等,如图①,入 A.55* B.50* C.45* D.40* 射光线刀、反射光线.与平面镜 所夹的 #_## 锐角相等,即 1一2. ## (1)图②是潜望镜工作原理示意图,AB; 第8题图 第9题图 CD是平行放置的两面平面镜,请解释进入 9.如图所示的是一款长臂折叠LED护眼灯示 潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光 意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管 线n是平行的; AB恰好与桌面MN平行时,BCD (2)如图③,若入射光线n与反射光线n平 110{*},CDE三95*,则 DEF的度数为 行但方向相反,则两面平面镜的夹角 E 的度数为多少? 10.如下图,在四边形ABCD中.AD/BC.AE 平分/BAD,交BC于点E,F是AD延长 线上一点,连接EF,交CD于点G,已知/3 ## 一4. 图① 图② 圈③ (1)试说明:1-3; (2)AE与DC平行吗?请说明理由; (3)若 3十 F-90{*},试说明CD与EF的 位置关系. ## 数学 七年级BS版所以CE//DF. 2 平行线的性质 15.解:(1)因为AF平分 BAC,DE平分 BDF, 所以_2-BAC, 1-BDF. 第1课时 平行线的性质 1.C 2.A 3. B 4.B 5.132 因为 1=2,所以 BDF= BAC,所以DF 6.解:因为DB/FG/EC. /AC. 所以 DAG- D-58$,CAG- C-34 $$$$$ (2)DE/AF.理由如下: 所以CAD=DAG+CAG-92*. 因为AF平分 /BAC,所以/2=/BAF 因为AP平分CAD. 因为 1- 2,所以 1-BAF, 所以/PAC-/CAD-46”。 所以DE/AF. 16.解:因为MN,PQ分别是 AME和 DPF的平 所以 $PAG=/PAC-$CAG-46$-34^$}-1 $ 分线. 7.解:由题意可知,AB//CD,DM//OE. 所以 AME-2 EMN,DPF-2FPQ 因为 ODC=30”,所以 BOD=ODC-30$ 又因为 EMN- FPQ,所以 AME- DPF 因为 EOF-90{},所以 AOE=180{*- EOF- 因为 BMP- AME, BOD-180'-90*-30-60 . 所以 BMP- DPF,所以AB//CD. 因为DM/OE,所以乙AND=乙AOE=60*,所以 第2课时 利用内错角、同旁内角 乙ANM-180*-AND-120”。 8.A9.B 10.27*11.2+3-1+180*$ 判定两条直线平行 12.75。 1.D 13.解:(1)AB0-25*。 2. FAD FAC EAB CAB DAB 乙ACB (2)0AC的度数为105*或52.5. 14.180(2n-1)* 3.B 4.C 5.同旁内角互补,两直线平行 6.D 7.解:(1)如图,OPQ即为所求. 第2课时 平行线性质与判定的综合 1.B 2. B 3.95* 4. 105* 5.解:(1)因为AD/BC,所以 D+C-180^{}。 因为 EAD- C,所以 D+ EAD=180* 所以AE/CD. (2)因为AE/CD. (2)PQ/OA.理由如下: 所以 AEB- C-65*$ AEF= EFC-$ 0$$ 因为/OPQ-乙AOB. 所以 BEF- AEB+ AEF=65{$+50{-115 $$$$ 所以OA/PQ 6.解:(1)因为AD/BC,所以 B十 BAD-180^{} 8.B 9.C 10.C 11.4 因为 B-80{,所以 BAD-100{。 12. ABD= D(答案不唯一)13.②③ (2)因为AE平分 BAD, BAD-100{* $4.解:因为 1-105^*,所以 MAB-180^{- 1-7$^$$ 所以 DAE-BAD-50”. 所以MAB-乙2. 所以AM/NF. 因为AD/BC,所以 AEB= DAE-50 因为 AEF-2-75*,3-105^* 又因为 C-50{},所以 AEB- C. 所以 AEF+ 3-180*。 所以AE/DC. 所以AB/CD. 7.解:已知 EF 内错角相等,两直线平行 已知CD 15.解:(1)70 同旁内角互补,两直线平行 CD EF 乙F 乙E (2)当 ACE-30或150*时,CE/AB.理由如下: 等量代换 ①如图①,当乙ACE-30{时。 8.D9.115。 因为 ACE- A-30*},所以AB/CE; 10.解:(1)因为AD/BC,所以2=3. ## 因为AE平分乙BAD. ##### 所以 1-乙2,所以 1-3. (2)AE//DC.理由如下; 由(1)可知,2-乙3. 因为 3-4,所以 2- 4,所以AE/DC 图② 图① (3)由(1)可知,2-3. ②如图②,当乙ACE-150{时. 因为 3+ F-90{,所以 2+ F-90{。 因为 ACE-150*,ACB-90{$ 所以 AEF-180*-2-F-90$ 所以 BCE- ACE- $ACB-150{*-90{}-6 0$$ 由(2)可知,AE/DC, 所以 BCE-B. 所以 CGE- AEG-90{,所以CD1EF 所以AB/CE. 11.解:(1)因为AB/CD,所以乙2-3 数学 七年级BS版 根据题意可知,1-2,3-4, (3)如图①,当点C在线段BH上(点C不与点B,H 所以 1-2-3-4. 重合)时,点F在DA的延长线上. 所以180*-1-2-180-3-4 所以 5- 6,所以m/n. (2)如图,因为n/n.所以MAC ## +ACN-180* 幽① 因为 1+2+MAC-180*。 因为 ECF=25*,DCE- FCG-90*$ 3+乙4+ ACN-180*. 所以 FCD-65{*,所以 DCG-25。 所以乙1+2+乙3+4-180* 因为DC/AB,所以 B- DCG-25 +180*- ACN- MAC-180”。 因为AD/BC,所以 BAF- B-25$; 由题意,得1-2,3-4, 如图②,当点C在BH的延长线上时,点F在线段 AD上. 所以 B-180*-2- 3-90。 本章小结 1.A 2.120* ② 3.解:设这个角的度数为t^*,则这个角的余角的度数为 同理可得,乙B-25{。 (90一x)”,补角的度数为(180一x)。 因为AD/BC,所以 B+ BAF-180{, 依题意,得(180-c)*}-2(90-x)*-27*,解得x 所以 BAF-180{*- $B-155^{。 综上所述,BAF的度数为25{或155{ -78. 13.解;(1)因为AB/CD. AEF-120*。 故这个角的度数为78^{} 所以 AEF+ MFN-180*。 4.D 5.40{或140* 所以MFN-60。 6.解;(1)因为EO1AB,所以 BOE-90{* 又因为 FMN-50*, 因为 COE35*,所以 BOC= BOE+COE 所以 FNM-180$- FMN- MFN-70$ -125*. (2) AEF=FNM+ FMN或 AEF+FNM 所以 AOD- BOC-125* +FMN-180{。理由如下: (2)因为 AOC+BOC-180,BOC-2 AOC 由题意,可分两种情况讨论: 所以 AOC+2AOC-180*,所以AOC-60$ ①当点N在点F左侧时,如 所以 BOD- AOC-60*. 图①. 所以 $DOE- $OE+ BOD-90$+60$-15 0$$ 由(1)可知,乙AEF+ MFN=C 7.C 8.B 9.5328' 180*, FNM-180*-FMN 图① 10.解:(1)如图,射线BP,BP:即为所求(作法不 一乙MFN. 唯一). 所以 FNM=AEF + MFN- FMN- 乙MFN. 即 AEF- FNM+ FMN; ②当点N在点F右侧时,如图②. 因为AB/CD. (2) ABP的度数为137*或43{。 所以 MFN- AEF. 又因为 MFN+FNM+ 11.解;(1)因为 /1= 2.所以CE//GF 图② (2) AED+D-180{,理由如下: 乙FMN-180*. 因为CE/GF,所以 C- FGD. 所以 AEF+FNM+FMN-180*. 因为乙C-3,所以 FGD-3. 第三章 概率初步 所以AB/CD,所以 AED+/D-180{。 (3)因为AB/CD. 1 感受可能性 所以 BED- D-28*。 1.A 2.A 3. B 4.随机 5.A 6.绿 因为CE/GF,所以 1- EHF-88$ 7.(1 (2)④ (3)② (4)① 所以 AEM- BEC- BED+1-1$16 $$ 8.C 9.D 10.B 11.② 12.6 12.解:(1)5 13.解:(1)B (2)因为 ECF-25*,DCE-90. (2)因为抽到水壶的可能性>抽到球拍的可能性 所以 FCD= DCE一 ECF-65。 抽到手机的可能性, 又因为CF1BG,即 FCG- BCF-90*. 所以设计的6张牌中应有3张对应水壶,2张对应球 所以 BCD- FCD+ BCF-65*$+90*}-155^。 拍,1张对应手机,设计如图所示(位置不唯一). 下册参考答案