第二章 1 两条直线的位置关系-【支点·同步系列】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

17.解：(1)由题意，得 75=7×8-5×3=56-15 12.解：(1)因为直线AB,CD相交于点O, 38 所以∠AOC=∠BOD=42° =41. 因为OG⊥CD.所以∠COG=90, (2)由题意，得 x十1 x-3 =(x+1)(2x-1) 所1以∠AOG=90°-∠A0C=90°-42°=48°. 2x 2r-1 (2)OG是∠AOF的平分线.理由如下： 2r(r-3)=7x-1=1,解得x= 因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE 因为∠AOC+∠AOG=90°，∠COE+∠AOC+ 第二章相交线与平行线 ∠AOG+∠GOF=180°， 所以∠COE+∠GOF=90°， 1两条直线的位置关系 所以∠AOG=∠GOF, 第1课时对顶角、补角与余角 所以G是∠AOF的平分线， 13.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=∠BOM=90. 1.C2.23.C4.B5.35°6.40°7.D8.C 因为OC平分∠AOM, 9.22.5°10.35° 11.解：(1)∠COE-∠DOF,理由是对顶角相等： 所以∠A0C=2∠A0M=号×90°=45， ∠BOD=∠AOF,理由是同角的余角相等， 所以∠AOD=180°-∠A0C=180°-45=135°. (2)∠DOF的补角有∠DOE,∠COF,∠AOB. (2)因为∠BOC=4∠BON, 12.C13.B14.B15.40或8016.56° 所以∠CON=∠BOC-∠BON=3∠BON. 17.解：因为O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB 因为OM平分∠CON, 互余， 所以∠AOC+∠DOB+∠COD=180°，∠AOC+ 所以∠COM=∠MON=∠CON=-是∠BON. ∠DOB-90°，所以∠COD=90°. 由(1)，得∠BOM=90°，所以∠BOM=∠MON+ 因为∠DOE=m,所以∠COE=90°-m. ∠ON-2∠BON+∠BON=2∠BON=90. 因为OE平分∠BOC,所以∠BOC-2∠COE=180 -2m, 所以∠BON=36,所以∠MON=号×3G=5 因为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠AOC=180° ∠BOC=2m. 14号 18.解：(1)∠2与∠3互为余角.理由如下： 2探索直线平行的条件 由点A,O,E在同一条直线上，知∠1+∠2+∠3+ ∠4=180°. 第1课时利用同位角判定两条直线平行 由∠1与∠4互为余角，知∠1+∠4=90°， 1.D2.C3.D 所以∠2+∠3=180°-∠1-∠4=90°， 4.BDEF同位角相等，两直线平行 所以∠2与∠3互为余角. 5.解：AOB60°AOC EFC同位角相等，两直线 (2)∠3=∠4.理由如下： 平行 由(1)，知∠1+∠4=∠2+∠3. 6.解：因为GH⊥CD,所以∠CHG=90. 又因为∠1=∠2，所以∠3=∠4， 因为∠2=30°，所以∠3=∠CHG-∠2=60°， (3)由(2)，知∠3=∠4. 所以∠4=∠3=60. 因为等角的补角相等，∠4与∠AOD互为补角， 又因为∠1=60°，所以∠1=∠4，所以AB∥CD. 所以∠3与∠AOD互为补角. 7.D 19.解：(1)3条直线相交于一点，共有6对对顶角：4条 8.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 直线相交于一点，共有12对对顶角：10条直线相交 9.C10.C11.312.相同 于一点，共有90对对顶角：n条直线相交于一点，共 13.解：(1)如图，直线PT即为所求， 有n(n一1)对对顶角. (2)如图.直线MN即为所求. (2)若(1)中的直线两两相交（没有重复的交点）， (3)∥ (1)中的结论仍然成立， 第2课时垂线 1.B2.①②③3.72.5°4.D 5.解：如图所示， 14.解：CE∥DF.理由如下： 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB. 所以∠DBC-∠ABC,∠BCE-∠ACB. 图① 图 因为∠ABC=∠ACB,所以∠DBC=∠BCE. 6.C7.A8.864.89.B10.25°11.20 又因为∠DBF=∠F,所以∠BCE=∠F, 下册参考答案 165第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 要点提示 1.相交线与平行线：(1)相交线.若两条直线只有一个公共克，我们称这两条直线为相爱线：(2)平行线.在同一 平面内，不相要的两条直线叫作平行残。 2.对顶角及其性质：(1)对顶角.如果两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，那么这两个角叫作对 顶角：(2)性质，对顶角相等. 3.互为补角与互为余角及其性质：(1)互为补角.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角：(2)互为余角，如 果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角：(3)性质，同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 O1固基础 g。。0 知识点3补角、余角及其性质 7.(2024甘肃)若∠A=55°，则∠A的补角为 知识点1两条直线的位置关系 1.有下列生活实例：①交通道路上的斑马线： A.35°B.45° C.115°D.125 ②天上的彩虹：③百米跑道线：④一段平直 8.如图，如果∠AOB=∠COD=90°，那么 的火车铁轨线.其中属于平行线的有() ∠AOC=∠BOD.依据是 A.1个B.2个C.3个D.4个 A.直角都相等 2.在同一平面内有三条直线，如果使其中有且 B.对顶角相等 只有两条直线平行，那么这三条直线有且只 C.同角的余角相等 有 个交点， 第8题图 D.同角的补角相等 知识点2对顶角及其性质 9.一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数 3.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是( 为 10.如果一个角的补角是125°，那么这个角的 余角的度数是 易错点只考虑位置关系，找不全余角或 4.(教材变式)如图，直线AB与CD相交于点 补角 O,则∠BOD= ( 1L.如下图，直线CD与直线EF相交于点 A.40° B.50° C.55 D.60° O,OB,OA为射线，∠BOE=∠AOD= B 90°，∠EOD>∠EOC (1)找出图中相等的锐角，并说明它们相 等的理由； 第4题国 第6题图 (2)试找出∠DOF的补角. 5.(2024广西)已知∠1与∠2是对顶角，∠1= 35°，则∠2的度数为 6.如图，直线AB,CD相交于点O.若∠BOD =70°，∠EOC=30°，则∠EOA的度数为 21 下册第二章 02提能力 18.如下图，点A,O,E在同一条直线上，OB, OC,OD都是射线，∠1=∠2，∠1与∠4互 12.跨物理学科如图，直线 为余角 AB与CD相交于点F,一 (1)∠2与∠3有何关系？请说明理由： 束光线沿CD斜射入水 D//E B (2)∠3与∠4有何关系？请说明理由： 面，在点F处发生折射，沿 第12题圈 (3)试说明：∠3与∠AOD互为补角. FE射入水中.如果∠1=42°，∠2=29°，那 么光的传播方向改变了 ( A.10°B.12 C.13 D.15 13.(2024吉安月考)若∠a=70°，则∠a的余角 的补角度数为 ( A.130°B.160°C.30° D.20 14.已知∠a和∠3互补，且∠a≥ ∠3.给出下列式子：①90°一∠3 ②∠a-90,③号（∠a+∠p) ①2（∠a-∠）：⑤2（∠a-90).其中表 示∠3的余角的有 A.4个B.3个 C.2个 D.1个 15.两条直线相交所成的四个角中，有两个角 分别是(2x一10)°和(110一x)°，则x的值 O3拓思维 是 19.推理能力(1)平面内有3条直线相交于一 16.(2024抚州期中)一个角的补角比这个角的 点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10 两倍还多12°，则这个角的度数为 条呢？n条呢？（不包括平角） (2)若(1)中的直线两两相交（没有重复的 17.如下图，O是直线AB上的一点，∠AOC和 交点)，(1)中的结论仍然成立吗？ ∠DOB互余，OE平分∠BOC.若∠DOE= m,求∠AOC的度数（用含m的代数式 表示). 数学七年级BS版 第2课时 垂线 要点提示 1,垂直的定义及表示方法：两条直线相安成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的 一条直线叫作另一条直线的是传，它们的交，点叫作垂是，通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直 2.垂线的性质及点到直线的距离： (1)垂线的性质1：同一平面内，过一支有且只有一条直线与已知直线垂直： 垂线的性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线饺中，垂线段最短，简称垂线段最短。 (2)点到直线的距离：如右图，过点A作直线（的垂线，垂足为B,线段AB的长度叫作点A到 直线！的离。 O1固基础 5.(教材变式)如图，过点P分别画出OA,OB 的垂线（保留画图痕迹，不写画法）. 知识点1垂直的定义及表示 1.应用意识如图，已知两棵同 根树所成的夹角为15，右侧 图① 图② 图3 树干与地面垂直，则左侧树干 知识点3垂线的性质 与水平地面所成的夹角B ∠AOB的度数为() 第1题图 6.有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA A.85° B.75°C.70° D.65 改成直道BA,可以缩短航程；②如图②，把 2.如图，直线AB,CD相交于点O,给出下列条 渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找 件：①∠AOC=90°：②∠AOC=∠BOC: 到一点D,使CD⊥AB,沿CD挖水沟，水沟 ③∠AOC+∠BOD=180°：④∠AOC= 最短：③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A,B ∠BOD.其中能判定AB⊥CD的是 两地沿道路AC,BC同时出发开往C城，其 (填序号). 中AC⊥AB.若两车速度相同，则甲车先到 C城.其中运用“垂线段最短”这个数学知识 的是 第2题图 第3题图 3.如图，直线AB,CD相交于点O,射线OM平 图① 图② 盟3 分∠AOC,ON⊥OM,∠BOD=35°，则 第6题图 A.①② B.①③ ∠CON的度数为 C.②③ D.①②③ 知识点2垂线的画法 7.如图，在一次立定跳远测试中，小强 4.(2024赣州于都月考)过直线m外一点Q作 从点B起跳，落到了点A处.若AB m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正 确的是 =2.46m,则小强的跳远成绩可能为第7题国 A.2.37m B.2.46m C.2.51m D.2.56m 下册第二章 8.如图，BC⊥AC,BC=8cm,ACA 13.已知直线AB与CD相交于点O,OM =6cm,AB=10cm,那么点B ⊥AB, 到AC的距离是 cm, 第8题图 (1)如图①，若射线OC平分∠AOM,求 点A到BC的距离是 cm,点C到 ∠AOD的度数： AB的距离是 cm. (2)如图②，若∠BOC=4∠BON,且射线 02提能力念 OM平分∠CON,求∠MON的度数. 9.(2024北京)如图，直线AB和CD相交于点 O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的度 数为 ) A.29 B.32 C.45 D.58 B 0 第9题图 第10题图 10.如图，已知直线AD,BE,CF相交于点O, OG⊥AD.若∠BOC=35°，∠FOG=30°，则 ∠DOE的度数为 11.如图，E是直线CA上一点， ∠FEA=40°，射线EB平分 40 ∠CEF,GE⊥EF,则∠GEBC 第11题因 的度数是 12.如下图，直线AB,CD,EF相交于点O,OG ⊥CD. (1)若∠BOD=42°，求∠AOG的度数： (2)如果OC是∠AOE的平分线，那么OG 是∠AOF的平分线吗？请说明理由. …之O3拓思维 14.空间观念如图，在三角形ABC 中，AC=5,BC=6,BC边上的 高AD=4.若点P在AC边上B (不含端点)移动，则BP最短第14避图 时的值为 数学七年级BS版