2025～2026学年高中数学一轮复习课时练习：抛物线

抛物线 基础达标练 1．[2024·河北模拟]已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 2．已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4．[2025·河南焦作开学考]已知点在抛物线上，则的焦点与点之间的距离为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 5．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 6．已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程：_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . 【答案】（答案不唯一） 7．[2025·江苏南京调研]已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为. 【答案】25 【解析】如图所示，过点作轴于点，设与轴交于点,由题知的焦点为，设,，则,,,，由抛物线的定义可得，因为，且,所以,则,所以，解得或所以，，所以. 8．[2025·湖南部分学校联考]设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则_  _  _  _  _  _  . 【答案】 【解析】因为为的焦点，所以的坐标为， 由抛物线的定义可知，又，所以，解得， 故，所以, 设为原点,则. 9．已知,,三点在抛物线上，且的重心恰好为抛物线的焦点，则的三条中线的长度之和为_  _  _  _  . 【答案】9 【解析】由题意得，设,,，由的重心为知，， 由抛物线的定义可得，，由重心的性质可知，的三条中线的长度之和为. 能力强化练 10．2024年3月20日，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，连接. 设抛物线的方程为，则，则， 所以抛物线的方程为，故其焦点的坐标为，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.故选. 11．多选 已知坐标原点为,抛物线的焦点为，直线与交于，两点，其中点位于第一象限，点是线段的中点，垂直于准线，垂足为，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 点到准线的距离为 C. 若直线经过焦点，且，则 D. 若以为直径作圆，则圆与准线相切 【答案】AC 【解析】对于，因为，所以,,三点共线，即直线经过抛物线的焦点,当直线的斜率为0时，直线与只有1个交点，不符合题意，故设直线，与联立，得，故,，因为，所以，所以因为点位于第一象限，所以，故，即，所以，所以，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得，故正确； 对于，当直线不经过焦点时，由三角形的三边关系可知，，结合抛物线的定义可知， ， 即，故不正确； 对于，由题意得，准线方程为，由知,，则，所以，所以（舍负），故正确； 对于，因为直线不一定经过焦点,所以圆不一定与准线相切，故不正确. 12．多选 已知抛物线的焦点为，准线为，点,在上（在第一象限内），点在上，以为直径的圆过点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的面积的最小值为 D. 的面积大于 【答案】ABD 【解析】设在上的射影为,与轴交于点，因为点在上，所以， 又，所以，得，正确； 设在上的射影为，则,易知，所以， 又，所以，所以，连接,则为等边三角形， 则，，正确； 若在第四象限内，设 ，则，,，， 令，则，则， 则，当且仅当时取等号，易知,错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由知，此时，故，正确.故选. 13．[2024·福建泉州质量监测]已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为.若恰过，，三点中的两点，则的方程为_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  ；若过焦点的直线与交于，两点，且到的距离为4，则_  _  _  _  _  _  . 【答案】； 【解析】因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能同时过和两点， 因为在第一象限内，在第三象限内， 所以不可能同时过和两点，所以经过与两点， 故可设的方程为，则解得，即的方程为. 设,, 因为过抛物线焦点的直线与交于,两点，且到的距离为4， 所以，解得， 则，可得，结合抛物线的对称性，不妨设， 因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为， 联立消去，整理得，可得， 则. 14．如图，弯曲的河流可以近似地看成抛物线，公路恰好是抛物线的准线，抛物线上的点到的距离最近，且为，城镇位于点的北偏东 处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路，以便建立水陆交通网. （1） 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程； （2） 为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求出公路总长的最小值（结果精确到）. 参考数据：. 【解析】 （1） 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为,由题意得，，即，则抛物线. （2） 如图，设抛物线的焦点为，则， 城镇位于点的北偏东 处，且，，设码头位于抛物线上的点处，连接,,,过作，垂足为,根据抛物线的定义知，公路总长为.故当公路总长取得最小值时，码头位于线段与抛物线的交点处，此时公路总长约为. 素养综合练 15．[2025·福建漳州高三质检]多选 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转 ， ， 后得到的三条曲线与围成的图案（如图中阴影区域所示），,为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣所得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】对于选项,由题意知，开口向右的抛物线的方程为，顶点为原点，焦点为, 将其逆时针旋转 后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故选项正确； 对于选项，设，由解得或，即，代入可得， 即, 由图象的对称性，可得, 故，故选项正确； 对于选项，如图，设直线与第一象限花瓣交于点,,,, 由解得 由解得 即得,, 则弦长， 由图知，当直线经过点时取得最大值4，经过点时取得最小值0， 即若直线与第一象限花瓣相交，则要满足， 设，则，且， 代入得，，， 当时，取得最大值，故选项错误； 对于选项，每个象限花瓣的形状大小相同，根据对称性知，可以先求的阴影部分的面积的近似值，如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点的坐标为,易得,则点到直线的距离， 于是,由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分的面积必大于，故选项正确.故选. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线 基础达标练 1．[2024·河北模拟]已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 4．[2025·河南焦作开学考]已知点在抛物线上，则的焦点与点之间的距离为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6．已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程：_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  . 7．[2025·江苏南京调研]已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为. 8．[2025·湖南部分学校联考]设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则_  _  _  _  _  _  . 9．已知,,三点在抛物线上，且的重心恰好为抛物线的焦点，则的三条中线的长度之和为_  _  _  _  . 能力强化练 10．2024年3月20日，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 11．多选 已知坐标原点为,抛物线的焦点为，直线与交于，两点，其中点位于第一象限，点是线段的中点，垂直于准线，垂足为，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 点到准线的距离为 C. 若直线经过焦点，且，则 D. 若以为直径作圆，则圆与准线相切 12．多选 已知抛物线的焦点为，准线为，点,在上（在第一象限内），点在上，以为直径的圆过点，且，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的面积的最小值为 D. 的面积大于 13．[2024·福建泉州质量监测]已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为.若恰过，，三点中的两点，则的方程为_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  ；若过焦点的直线与交于，两点，且到的距离为4，则_  _  _  _  _  _  . 14．如图，弯曲的河流可以近似地看成抛物线，公路恰好是抛物线的准线，抛物线上的点到的距离最近，且为，城镇位于点的北偏东 处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路，以便建立水陆交通网. （1） 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程； （2） 为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求出公路总长的最小值（结果精确到）. 参考数据：. 素养综合练 15．[2025·福建漳州高三质检]多选 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转 ， ， 后得到的三条曲线与围成的图案（如图中阴影区域所示），,为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣所得弦长的最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$