2025年中考数学二轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题

2025年中考数学二轮复习 等腰等边三角形“三线合一”训练小专题 1．如图1，工人师傅需站在人字梯上安装天花板中央的吸顶灯．已知人字梯的长度米，梯子打开后形成的（如图2）． (1)求人字梯打开后顶端距离地面的垂直高度； (2)如果吸顶灯距离地面米的高度．若工人师傅站在梯子的中点处，工人师傅伸直手臂安装吸顶灯时，手部到脚部的垂直距离为米，此时工人能否顺利安装吸顶灯（的延长线与交于的中点）？（结果保留小数点后两位，参考数据：，，） 2．某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①）的设计原理和优化设计．图②是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面EF上，图中，和分别代表3个轮子，3个轮子的半径均为，点O为支点，，且，拉杆． (1)求的长； (2)在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知，求把手D到地面的距离的长． 条件①：与的夹角； 条件②：点O到的距离为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．（参考数据：，，．） 3．在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 4．【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】 （）如图①，折痕的端点与点重合． ①当时，________； ②若点恰好在线段上，求的长； 【深入思考】 （）点恰好落在边上． 如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形； 【拓展提升】 （）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 5．如图，已知四边形中，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边向点运动，连接，设点运动的时间为． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，且为其中一条腰，求的值． 6．唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 7．如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出中边上的高； (2)在图2中，作出一个菱形． 8．如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． (1)求边的长； (2)当线段的长取最小值时，求的值； (3)当将面积分成两部分时，求值； (4)当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 9．如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． (1)如图1，若，求点坐标； (2)如图2，若，，求点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 10．已知中，． (1)问题背景 如图1，点为边上一点，过点作交于点． 直接写出和的数量关系______； 将绕点逆时针旋转一个角度如图2，探究和的数量关系并给出你的证明． (2)问题探究 如图3，，点为边上一动点，点为线段的中点，过点作，连接，，求证：点在线段的垂直平分线上． (3)问题拓展 如图4，点为内一点，，连接交于点，，请写出线段与的数量关系，并加以证明． 11．在中，．    (1)是上的高，． ①如图1，如果，则_____°； ②如图2，如果，则_____． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． 12．如图①，在等腰中，，为边上的中线，，线段交于点． (1)若，，，求的长； (2)如图②，取外一点，连接，，，，其中与交于点，若，，，． ①求证：； ②求的值． 13．如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 14．如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 15．已知为等边的角平分线，的边长为6，动点E在直线上（不与点A重合），连接．以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图1，若点E在线段上， ①求证：； ②当，时，则点F到的距离是 ； (2)如图2，若点E在的反向延长线上，且直线，交于点M． ①求的度数； ②若P，Q为直线上的两个动点，且，连接，，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题》参考答案 1．(1)米 (2)能顺利安装吸顶灯 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，根据，即可求解； （2）根据题意可得是的中位线，求得，进而得出的高度，和米比较，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ ∴（米） （2）解：∵，的延长线与交于的中点 ∴ ∴ 此时工人能顺利安装吸顶灯 2．(1) (2)选择条件①．条件②： 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，连接交于，根据题意可得平行地面，则，，再由，，可得，，，根据直角三角形和勾股定理可以求出，则； （2）过作于，则四边形是矩形，得到，再分别选择两个条件，求出的长，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：过作于，连接交于， ∵和轮子的半径均为， ∴点和点到地面距离都是， ∴平行地面， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过作于，则四边形是矩形， ∴， 选择条件①：与的夹角， ∴， ∵拉杆， ∴， ∴把手D到地面的距离． 选择条件②：点O到的距离为，即 ∵， ∴， ∴把手D到地面的距离． 3．(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，点是的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 4．（）①；②；（）补图见解析，证明见解析；（）或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 5．(1)10 (2)t的值为4或5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，及用分类讨论的思想进行解答． （1）根据勾股定理计算即可； （2）分两种情况，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】（1）解：，， ． ， 是直角三角形． ，， ； （2）①当时， ， ． ． ． ②当时，如图，过点作，交于点． ，，， ． 在中，． ， 是的中线． ． ． ． 综上所述，t的值为4或5． 6．任务一：；任务二： 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； （2）解：如图四边形即为所求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 8．(1)； (2)； (3)或； (4)或或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用勾股定理即可求解； （）由垂线段最短和等面积法即可求出线段的最小值； （）分的面积的面积时和的面积的面积时两种情况分析即可； （）分当，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当的面积的面积时， 则有， ∴， 当的面积的面积时， 则有 ∴ 综上所述，当将面积分成两部分时，的值为或； （4）解：如图，当，则； 如图，当时，过点作于点， 同（）理可得，， ∴， 则； 如图，当时，过点作于点， ∴， 由（）得边上的高为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 综上：当是等腰三角形时，满足条件的值为或或． 9．(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了点坐标与图形、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． （1）先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得； （2）过点作轴于点，先求出，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出，由此即可得； （3）在上取一点，使得，连接，先根据等边三角形判定与性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点， ∵，，，， ∴，， ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． （3）解：，证明如下： 如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．(1)；，证明见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由得，，由得，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可证明；由旋转知，，证明，可得； （2）延长至点G，使得，连接，，，先证是等边三角形，再证四边形是平行四边形，最后证明，推出，即可证明点在线段的垂直平分线上； （3）作于点G，由得点A，B，E，G四点共圆，证明是的中位线，依次得出，，，可证，结合可得． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即和的数量关系为：， 故答案为：； ，证明如下： 由旋转知，， ， ， 在 和中， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点G，使得，连接，，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， 点为线段的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 又，， ； ，， ， 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． （3）解：，理由如下： 作于点G， ， 又， 点A，B，E，G四点共圆， ，， ，， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，四点共圆，弧、弦、圆周角的关系等，难度较大，能够综合应用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 11．(1)①10；②； (2)； (3)仍成立，理由见解析． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等角的性质是解题的关键． （1）①等腰三角形三线合一，所以，又因为，所以，所以． ②同理，证明，所以． （2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得，再根据，得，再根据，从而可得出结论． （3）由于，所以，根据已知，证明，而，所以． 【详解】（1）解：①在中，，是上的高， ， ， ， ， ， 是上的高， ． 故答案为：10； ②在中，，是上的高， ， ， ， ， ， ． 故答案为：20； （2）解：在中，，是上的高， ， ∵ ∴， ∵是上的高， ∴ ∴ ∴． （3）解：仍成立，理由如下： ， ， ， 又， ， ，即． 12．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（）由得，又由等腰三角形的性质可得，，即可得，得到，最后利用勾股定理即可求解； （）①由垂直可得，，即得，，进而得，又根据等腰直角三角形得，据此即可求证；②由等腰直角三角形的性质可得，进而可得，即可得，得到，即得到，又由得，，可得，得到，由此可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，       ∴，      ∴， ∵在等腰三角形中，，为边上的中线，， ∴，，        ∴，      ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得； （2）①证明：∵，， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵是等腰直角三角形，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由①得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．(1)证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 15．(1)①见解析；② (2)①；②的面积是定值，定值为12．理由见解析 【分析】（1）①直接利用证明三角形全等即可； ②通过三角形的中线和线段之间的比例关系，得到，再通过三角形面积公式计算即可； （2）①同第一问的①先证出，再利用角度之间的关系进行计算即可； ②已知底边求面积，推出高的值即可，联系①中的角度，直接推理出的直角三角形，代值计算即可． 【详解】（1）解：①证明：和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ②∵， ∴， ∴， ∵为等边的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点F到的距离是为， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：①和均为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ②过作于点， ∵为等边的角平分线， ∴，， 由①可知，， ， ， 在中，， ， ， 的面积为定值， 【点睛】本题考查三角形全等的证明及性质和等边三角形的性质，解题关键是通过全等证明角度相等，推出特殊角度的三角形，将面积用公式用底和高表示出来，直接求高然后代值判断即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$