精品解析：辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题　

金普新区2024-2025学年度第二学期期中核心素养监测 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 5，6，10 D. 12，13，14 2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形是（ ） A. B. C. D. 4. 一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 6. 下列命题成立的是（ ） A. 一个角是90°的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 7. 一个蓄水池有水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组想利用数学知识解释这一物理现象，通过测试，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I随P的增大而增大 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越少 10. 如图，已知直线与y轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为________． 13. 如图，一次函数的图象经过，则关于x的不等式的解集为________． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 15. 如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 已知，直线经过点与点 （1）确定函数的解析式； （2）已知点和点在直线上，试比较与的大小． 17. 如图，已知点分别在平行四边形的边上，且，求证：． 18. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 19. 现有如下定义：关于x的一次函数与叫作一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． （1）一次函数与函数________是一对交换函数； （2）如图，一次函数的图象为直线与x轴交于点A，它的交换函数的图象为直线与x轴交于点B，与交于点C，求的面积． 20. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点E，若，求的长． 21. 2025年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京举行．某兴趣小组对甲、乙两机器人进行观测，甲机器人先起步，2分钟后乙机器人起步，甲、乙两机器人均沿直线做匀速运动，乙机器人行进3分钟后遇到故障，进行紧急抢修，抢修后按原速继续行进．甲、乙两机器人行进路程y（米）与乙机器人的行进时间x（分钟）（）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲机器人速度是_______米/分钟，乙机器人的速度是_______米/分钟； （2）求线段对应的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）甲、乙机器人第二次相遇后，乙机器人的行进时间为多少分钟时，与甲机器人距离为90米？ 22. 在第19章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于y轴（直线）对称；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；当时，函数y有最小值0． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，此函数的对称轴为________； ③根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是________； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数图象可由函数的图象平移得到；若，函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为3，求m的值． 23. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金普新区2024-2025学年度第二学期期中核心素养监测 八年级数学 （本试卷共23道题满分120分考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 5，6，10 D. 12，13，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，故可以构成直角三角形，符合题意； C、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； D、，故不可以构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 3. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 6. 下列命题成立的是（ ） A. 一个角是90°的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 根据矩形及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：A、有一个角是的平行四边形是矩形，故原说法错误； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误； C、一组邻边相等的矩形是正方形，故原说法正确； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原说法错误； 故选：C． 7. 一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量与注水时间t（分）间的函数表达式，本题得以解决． 【详解】解：∵一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水， ∴蓄水池中的水量与注水时间间的函数表达式是：， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于其对角线积的一半即可解题． 【详解】解：四边形是菱形，对角线，， ， 故选：B． 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组想利用数学知识解释这一物理现象，通过测试，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I随P增大而增大 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越少 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解：根据图1知：当时，，故选项A正确，不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，不符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，已知直线与y轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征． 设直线：与x轴交于点B，过点B作，交于F，过F作轴于H，则是等腰直角三角形，进一步证得，从而求得，利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】解：如图，设直线：与x轴交于点B，过点B作，交于F，过F作轴于H， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 将点A，F的坐标代入得，， ∴直线l2的函数解析式为， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 12. 如图，在中，是直角，是斜边上的中线，若，则的度数为________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象经过，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 根据图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图象可得：当时，一次函数的图象在x轴上方 ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点F作于点H，由正方形的性质得，，则，证明和全等，设，进而利用三角形内角和定理及外角性质证明，则是等腰三角形，继而得，则，再证明是等腰直角三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点F作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为7，点F是的对角线的点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴设， 在中，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 已知，直线经过点与点 （1）确定函数的解析式； （2）已知点和点在直线上，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点与点代入求解即可； （2）根据一次函数增减性判断即可． 【小问1详解】 ∵直线经过点与点， ∴， 解方程组得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 ∵，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 17. 如图，已知点分别在平行四边形的边上，且，求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知， ，然后根据图形中相关线段间的和差关系求得，易证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 18. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， 是直角三角形，； 【小问2详解】 设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米，米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 19. 现有如下定义：关于x的一次函数与叫作一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． （1）一次函数与函数________是一对交换函数； （2）如图，一次函数图象为直线与x轴交于点A，它的交换函数的图象为直线与x轴交于点B，与交于点C，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用. （1）根据“交换函数”的定义作答即可； （2）先求出，再求出，，得到的值，最后根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：一次函数与函数是一对交换函数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵与交于点C， ∴， 解得， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴把代入得， 解得， ∴， 同理可得，， ∴， 过点C作，垂足为D， ∴， ∴ 答：的面积为． 20. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点E，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）先证明四边形为平行四边形，再根据矩形性质，得到，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，得到，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 21. 2025年4月19日，全球首个人形机器人半程马拉松在北京举行．某兴趣小组对甲、乙两机器人进行观测，甲机器人先起步，2分钟后乙机器人起步，甲、乙两机器人均沿直线做匀速运动，乙机器人行进3分钟后遇到故障，进行紧急抢修，抢修后按原速继续行进．甲、乙两机器人行进路程y（米）与乙机器人的行进时间x（分钟）（）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲机器人的速度是_______米/分钟，乙机器人的速度是_______米/分钟； （2）求线段对应的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）甲、乙机器人第二次相遇后，乙机器人的行进时间为多少分钟时，与甲机器人距离为90米？ 【答案】（1）60，120 （2） （3）或分钟 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用， （1）根据速度等于路程除以时间求解即可； （2）首先求出，然后利用待定系数法求解即可； （3）首先求出甲机器人行进路程与行进时间x（分钟）的函数关系式为，然后分两种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：甲机器人的速度是米/分钟， 乙机器人的速度是米/分钟； 【小问2详解】 解：由点A至点B，乙机器人所需时间为：， 乙机器人开始继续行进的时间为， ∴， 设， ∵经过点与点， ∴， 解得， ∴求线段对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：设甲机器人行进路程与行进时间x（分钟）的函数关系式为， ∵经过点与点， ∴， 解得， ∴， ①； 解得， ②； 解得． 答：乙机器人行进时间为或分钟时，与甲机器人距离为90米． 22. 在第19章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于y轴（直线）对称；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；当时，函数y有最小值0． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，此函数的对称轴为________； ③根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是________； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为3，求m的值． 【答案】（1）①见解析；②直线；③；（2）右，；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，绝对值函数． （1）①根据题意列表画图即可； ②根据图象判断即可； ③根据图象判断即可； （2）根据一次函数的平移规律判断即可； （3）分当时，当时，当时，分别判断即可． 【详解】（1）列表得 x … -1 0 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 描点连线得 如图即为的图象． ②由图可知：此函数对称轴为直线； 故答案为：直线； ③由图可知：当时，的取值范围是， 故答案为： ； （2）若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：右，m； （3）当时， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， ∴， ∴， 当时， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， ∴， ∴， 当时， 在对称轴最小值为0，与题意不符，舍去． 综上所述，m的值为或6． 23. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长， ②如图4，若F为中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①2；② 【解析】 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，易证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可； ②构造平行四边形，可得，易证，可得，过K作于点K，且，证，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】（1）如图， 由题可知垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）； 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴，，， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接，． ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点D， ∴D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴根据勾股定理，， 在中，， ∴根据勾股定理，， 又∵， ∴， 解得， 答：的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， 由（2）中方法可证， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$