第02讲 数轴与相反数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（浙教版2024）

第02讲 数轴与相反数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 化简多重符号 典型例题三 利用相反数的定义求解 典型例题四 用数轴上的点表示有理数 典型例题五 数轴上两点之间的距离 典型例题六 相反数的应用 典型例题七 数轴上的规律探究 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列7个图中有（    ）个是正确的数轴． A．0 B．1 C．2 D．3 【例3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）下列结论正确的有（      ）个：                                      ① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴  ② 最小的整数是0  ③ 正数，负数和零统称有理数  ④ 数轴上的点都表示有理数 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）回答下列问题： (1)过，两点画一条数轴，使点表示，点表示． (2)在所画的数轴上将，表示在数轴上，并将，，，这四个数用“”连接起来． 【典型例题二 化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①和；②和；③与；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）化简下列各数． (1)； (2)； (3)． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）的相反数（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）把数表示在下面的数轴上． （2）比较这六个数的大小，并用“>”连接． 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【典型例题三 利用相反数的定义求解】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若与1互为相反数，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华期中）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 【例5】（24-25六年级上·浙江衢州·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）零没有相反数；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等；（3）没有最小的有理数；（4）一定是一个负数；（5）在原点左边离原点越远的数越小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【典型例题四 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆上表示数字 的点重合． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）在数轴上表示下列各数，，，，，并用“”把这些数连接起来． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【典型例题五 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级上·浙江衢州·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【例4】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【例5】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和 分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A．6.3 B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如为90米表示观测点A比观测点C高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是（    ）米． 90米 80米 －60米 50米 －70米 40米 A．210 B．130 C．390 D．－210 3．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 ．    4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 5．（24-25七年级上·宁浙江丽水·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 【典型例题六 相反数的应用】 【例1】（2024·浙江金华·模拟预测）若与1互为相反数，那么（    ） A． B．0 C．1 D． 【例2】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示，则 ．（填“＞”或“＜”） 【例4】（2024七年级上·浙江·杭州）化简 (1)化简下列各数： ①﹣[﹣（+1）]； ②﹣[+（﹣8）]； ③﹣（﹣a）； ④﹣[﹣（﹣a）]． (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？ 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2017⇒2018）⇐ （2016⇒2015）＝ 4．（2024七年级上·全国·专题练习）点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来． 5．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； （2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？ 【典型例题七 数轴上的规律探究】 【例1】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3……按照这种移动规律，第n次移动到点An则点A2020表示的数是 ． 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，在数轴上，两点表示的数分别为，关于对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称...依次规律，请求点表示的数． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（　　） A．﹣26 B．﹣20 C．﹣30 D．30 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上两定点A、B对应的数分别为－18和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1．5个单位和1．7个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（    ） A．55秒 B．190秒 C．200秒 D．210秒 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上，A1、P两点表示的数分别为1、3，A1、A2关于O对称，A2、A3关于点P对称，A3、A4关于点O对称，A4、A5关于点P对称…依次规律，则点A15表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）电子跳蚤落在数轴上的某点处，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……按此规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点处，所表示的数恰是2004，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的实数分别是a，b，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 8．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 12．（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 15．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴与相反数（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数轴的三要素及其画法 典型例题二 化简多重符号 典型例题三 利用相反数的定义求解 典型例题四 用数轴上的点表示有理数 典型例题五 数轴上两点之间的距离 典型例题六 相反数的应用 典型例题七 数轴上的规律探究 知识点01 相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点02 多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点03 数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【典型例题一 数轴的三要素及其画法】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列7个图中有（    ）个是正确的数轴． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：规定了原点、正方向，单位长度的直线；然后判断每个选项是否符合数轴的定义即可解决． 【详解】解：①没有原点，不正确； ②没有正方向，不正确， ③、⑥有原点，正方向，单位长度，正确； ④没有单位长度，不正确， ⑤单位长度不一致，不正确 ， ⑦正方向标记错误，不正确 故选：C． 【点睛】此题考查数轴的定义，解题关键在于掌握数轴的三要素． 【例3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【答案】 负 正 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 【分析】由长度是厘米求出数轴的单位长度是厘米，再由的长度是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴数轴的单位长度是厘米， ∵， ∴在数轴上的距离是3个单位长度， ∴点B所对应的数b为． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米． 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 1．（24-25七年级上·浙江宁波·课后作业）下列结论正确的有（      ）个：                                      ① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴  ② 最小的整数是0  ③ 正数，负数和零统称有理数  ④ 数轴上的点都表示有理数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】试题解析：①规定了唯一的原点，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴，故此命题不正确； ②整数包括负整数，故此命题错误； ③应为正有理数、负有理数和零统称有理数，故此命题不正确； ④数轴上的点不但表示有理数，也能表示无理数，故此命题错误． 综上所述，全都不正确． 故选A． 【点睛】数轴：规定了唯一的原点，唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴．有理数是整数和分数的统称．正数、负数和零统称有理数．数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数． 2．（24-25七年级上·浙江衢州·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 【详解】解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学中，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，在直线上任取一点表示0，这个点叫做 ；通常规定直线上向右的方向为 ；选取适当的长度作为 ，数轴的三要素为 、 、 . 【答案】 数轴 原点 正方向 单位长度 原点 正方向 单位长度 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．在画数轴时，一般先画成一条水平的直线，再在直线上选取一点为原点，然后用箭头表示向右为正，最后根据需要选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…． 故答案为数轴，原点，正方向，单位长度，原点，正方向，单位长度. 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期中）回答下列问题： (1)过，两点画一条数轴，使点表示，点表示． (2)在所画的数轴上将，表示在数轴上，并将，，，这四个数用“”连接起来． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析，． 【分析】此题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的大小比较-数轴比较法等知识，准确在数轴上表示有理数是解题的关键． （）根据网格图和条件画图即可； （）先在数轴上表示，，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， 在数轴上表示各数如下， ∴四个数用“”连接起来为：． 【典型例题二 化简多重符号】 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①和；②和；③与；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义、化简多重符号，根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项分析即可得解． 【详解】解：①和互为相反数，故符合题意； ②，，和互为相反数，故符合题意； ③，，与不互为相反数，故不符合题意； ④与互为相反数，故符合题意； 综上所述，互为相反数的有①②④，共3组， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·课后作业）化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华·期中）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【例5】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）化简下列各数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含m的式子表示出点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解∶∵O为原点，，，点C所表示的数为m， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）把数表示在下面的数轴上． （2）比较这六个数的大小，并用“>”连接． 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】(1)根据数轴特点把各数表示在数轴上， (2)根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大用“”连接即可． 【详解】解：(1)如图，，，， 各数在数轴上表示为， (2)由数轴知，从大到小排列为： ． 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值，正负数，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握用数轴上的点表示有理数是解决此题的关键． 5．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【典型例题三 利用相反数的定义求解】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：A：与不互为相反数，故此选项不符合题意； B：与不互为相反数，故此选项不符合题意； C：与互为相反数，故此选项符合题意； D：与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若与1互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握互为相反数的两个数之和为0． 根据互为相反数的两数和为0，得到关于的方程，然后求解方程得出的值． 【详解】由题意可得：， 解得， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江金华期中）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； 【详解】解：由题意可知：， ∴以B为原点时，点A表示的数是，点表示的数是3， 若A，表示的两个数互为相反数，则的中点（如图，设为D）为原点， ∴，且D在B的右边， ∴点B表示的数是； 故答案为：；3；． 【例5】（24-25六年级上·浙江衢州·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据题意将点击在数轴上表示出来即可和； （3）根据数轴上点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：（1）由数轴可知， 点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，； （2）的相反数是， 如图，点即为所求； （3）点与点之间的距离是， ，， 点表示的数是或， 故答案为：或． 1．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义，的相反数是，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：D 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） （1）零没有相反数；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等；（3）没有最小的有理数；（4）一定是一个负数；（5）在原点左边离原点越远的数越小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据相反数、有理数、负数、数轴的定义逐个判断即可得． 【详解】（1）零的相反数是零，此说法错误； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，此说法正确； （3）没有最小的有理数，此说法正确； （4）当时，就是正数，当时，，此说法错误； （5）在原点左边离原点越远的数越小，此说法正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数、有理数、负数、数轴，熟练掌握各概念是解题关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用“”与“”表示一种法则：，，如，则 ． 【答案】2018 【分析】根据新定义可得，，再计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】点，，表示的数为，3，或，3，． 【分析】本题考查了数轴，关键是掌握相反数的定义．因为点，表示的数互为相反数，点在点的左边，且点，相距6个单位长度，可得点、点表示的数，因为点，相距2个单位长度，可得点表示的数． 【详解】解：设点表示的数分别为， 点，表示的数互为相反数，点在点的左边， ，且， 点，相距6个单位长度， ，， 点表示的数是，点表示的数是3， 点，相距2个单位长度， ， 解得：或， 点表示的数是或， 答：点，，表示的数为，3，或，3，． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【答案】(1)5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是 (2)见解析 (3) (4)比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，涉及相反数、有理数大小比较等知识，解题的关键是把这些数表示在数轴上． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）将这些数及它们的相反数表示在同一条数轴即可； （3）根据数轴上表示的数，从右到左写出这些数，用连接即可； （4）根据数轴上表示的数，写出比小的最大整数，比5大的最小整数即可． 【详解】（1）解：5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是； （2）解：将它们表示在数轴上，如图： （3）解：用“”连接为：； （4）解：比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6． 【典型例题四 用数轴上的点表示有理数】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近． 【详解】解：， 在和之间，且离比较近， 有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置． 故选：A． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，原点左边为负数，右边为正数，且每一小格表示，根据数轴写出答案即可． 【详解】根据题意得 点表示的数是， 点表示的数写成小数是， 点表示的数写成分数是， 故答案为：，，． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，， ∴点B表示的数是， 故答案为： 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【详解】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆上表示数字 的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，发现循环规律是解题的关键． 寻找规律发现：每4个数为一组，分别与0、3、2、1重合，计算，看余数是几，则可判断是第几组的第几个数． 【详解】解：由题图可知，每4个数为一个循环组依次循环．分别与0、3、2、1重合， 因为， 所以数轴上表示的点与圆上表示数字0的点重合． 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）在数轴上表示下列各数，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数比较大小以及用数轴表示有理数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将题目中的有理数表示在数轴上，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，即可解答． 【详解】解：如图所示： 故． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【答案】(1) 见解析， ； (2)、两点之间的距离为，、两点之间的距离为． 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数、利用数轴比较数的大小．解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数来比较数轴上各点表示的数的大小． 根据数轴上各点表示的数把点、、、、、分别表示在数轴上； 根据左边的点表示的数小于右边的点表示的数把各数用连接起来即可． 【详解】（1）解：把各点表示在数轴上如下图所示， 根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，可知：； （2）解：， ． 【典型例题五 数轴上两点之间的距离 】 【例1】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，关键是找到刻度尺上“”对应数轴上的数与3之间的距离． 设刻度尺上对应数轴上的数为x，利用x与3相距6.3个单位长度，列方程求解即可． 【详解】解：刻度尺上对应数轴上的数为x， ∵“”与“”相距， ∴x与3相距6.3个单位长度， ∴， 解得， 故选：B． 【例3】（24-25六年级上·浙江衢州·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 【例4】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和 分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A．6.3 B． C． D． 【答案】B 【分析】刻度尺上从到的长度为，因此在数轴上从3到刻度尺上对应数轴上的数这两点之间的距离也为，由此可计算出刻度尺上对应数轴上的数． 【详解】解：由题意，， 则刻度尺上对应数轴上的数为， 故选：B 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离右边的点对应的数左边的点对应的数．熟练掌握这一点知识是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如为90米表示观测点A比观测点C高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是（    ）米． 90米 80米 －60米 50米 －70米 40米 A．210 B．130 C．390 D．－210 【答案】A 【分析】数轴法：设点C为原点，则A表示数90，D表示数-80，以此类推，将以上各观测点在数轴上表示，即可解题． 【详解】解：设点C为原点，则A表示数90，D表示数-80，以此类推将以上各观测点在数轴上表示如下： 即E表示数-140，F表示数-90，G表示数-160，B表示数-120 故选：A． 【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，是基础考点，利用数轴解题是关键． 3．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是 ．    【答案】3035 【分析】本题考查了数轴表示数的意义，规律探究问题．根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数，得出翻转几个周期循环，推算出移动的距离得出结果． 【详解】解：如图，翻转4次，为一个周期，右边的点移动6个单位，    ∵， ∴右边的点移动， ∴， 故答案为：3035． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）根据小明和小慧的对话，小慧家的位置唯一确定吗？请利用数轴（以学校为原点）求出小慧家位置所表示的数． 【答案】不是唯一确定，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 【分析】本题主要考查了用数轴表示数，两点间的距离等知识点，根据两人的对话分类讨论即可得解，熟练掌握用数轴表示数，两点间的距离公式并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：不是唯一确定．理由如下：    情形①当小明家在学校西5千米（即在数轴原点的左侧）时， 小明家表示的数为， 若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 情形②当小明家在学校东5千米（即在数轴原点的右侧）时， 小明家表示的数为，   若小慧家在小明家的西2千米，则其表示的数是， 若小慧家在小明家的东2千米，则其表示的数是， 综上所述，小慧家在数轴上表示的数可以是，，，． 5．（24-25七年级上·宁浙江丽水·期中）在数轴上有三个点A，B，C，如图所示． (1)A点表示的数是 ，B点表示的数距离原点有 个单位长度． (2)在数轴上表示有理数和． (3)将点C向左平移2个单位得到数m，则表示数m的点与点A 的距离是多少？ 【答案】(1)，2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点是解题的关键． （1）根据在数轴上表示数进行作答即可； （2）在数轴上表示出有理数即可； （3）由数轴可知，点C表示的数为3，然后求解平移后点所对的数即可． 【详解】（1）解：由题意得：A点表示的数是， 由题意得：B点表示的数距离原点有2个单位长度， 故答案为：，2； （2）， 在数轴上表示有理数和，如下图： （3）由题意得：点C表示的数为3， ， ∴点C向左平移2个单位得到数m为1， ， 表示数m的点与点A 的距离是3 【典型例题六 相反数的应用】 【例1】（2024·浙江金华·模拟预测）若与1互为相反数，那么（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两数和为0，可得a+1=0即可． 【详解】解：∵互为相反数的两数和为0， ∴a+1=0， 故选B． 【点睛】本题考查相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·浙江丽水·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，，错误，故③不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数的应用．熟练掌握0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示，则 ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】由数轴上的数据位置可得可得 从而可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：＜ 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，相反数的含义，理解负数的相反数是个正数是解本题的关键． 【例4】（2024七年级上·浙江·杭州）化简 (1)化简下列各数： ①﹣[﹣（+1）]； ②﹣[+（﹣8）]； ③﹣（﹣a）； ④﹣[﹣（﹣a）]． (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？ 【答案】(1)①1，②8，③a，④﹣a； (2)当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数． 【分析】（1）根据相反数定义进行计算即可得出答案． （2）根据规律发现结果与“﹣”的个数有着密切联系，即可得出答案． 【详解】（1）解：①原式＝﹣（﹣1）＝1． ②原式＝﹣（﹣8）＝8． ③原式＝a． ④原式＝﹣a． （2）化简结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数时，化简结果为负数；当“﹣”的个数是偶数时，化简结果为正数． 【点睛】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的性质进行求解是解决本题的关键． 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格， 各点表示的数见下表： 点 对应数 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到大排列正确的一组是（　　）    A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 【答案】D 【分析】根据相反数的几何意义将-a、-b表示在数轴上，继而可从小到大排列． 【详解】如图所示：    把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2017⇒2018）⇐ （2016⇒2015）＝ 【答案】2018． 【分析】根据题意，（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a，可知（2017⇒2018）=-2018，（2016⇒2015）=-2015，再计算（-2018⇐-2015）即可． 【详解】解：∵（a⇒b）=-b，（a⇐b）=-a， ∴（2017⇒2018）⇐（2016⇒2015）=（-2018⇐-2015）=2018． 故答案为：2018． 【点睛】本题这是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来． 【答案】A点表示1，在数轴上表示出来如图所示，见解析． 【分析】A向左移动4个单位长度到C，再向右移动2个单位长度到B点，求出AB的长度，依据点A、B表示的数互为相反数，可求得点A表示的数 【详解】解:如图所示，A向左移动4个单位长度到C，再向右移动2个单位长度到B点， ∴AC=4，BC=2， ∴AB＝2． ∵A、B表示一对相反数． ∴原点O是AB的中点，AO＝OB=1， ∴A点表示的数是1． 【点睛】考查了相反数在数轴上的表示，关键是能根据题意求出线段的长度． 5．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； （2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？ 【答案】（1）数轴见解析，；（2）-8；（3）4 【分析】（1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可； （2）先得到b表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法即可确定b表示的数； （3）先得到-b表示的点到原点的距离为8，再利用数a表示的点与数的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的点到原点的距离为4，然后根据数轴表示数的方法确定a表示的数． 【详解】解：（1）a，b的相反数的位置表示如图： ∴； （2）∵数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8 ∴b表示的数是-8； （3）∵-b表示的点到原点的距离为8，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度 ∴a表示的点到原点的距离为8-4=4 ∴a表示的数是4． 【点睛】本题考查了相反数和数轴的应用，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键． 【典型例题七 数轴上的规律探究】 【例1】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（    ）个单位长度． A．0 B．100 C．50 D．－50 【答案】C 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位． 故答案为：C． 【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可. 【详解】∵A表示的数为1， ∴=1+（-3）×1=-2， ∴=-2+（-3）×（-2）=4， ∴=4+（-3）×3=-5= -2+（-3）， ∴=-5+（-3）×（-4）=7， ∴=7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2， ∴= ， 故选B. 【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键. 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第次移动个单位．每左移右移各一次后，点右移个单位，故第次右移后，点向右移动个单位，第次左移个单位，即可求解． 【详解】解：第次移动个单位，第次左移个单位， 每左移右移各一次后，点右移个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动后的实际距离和方向是解答此题的关键． 【例4】（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3……按照这种移动规律，第n次移动到点An则点A2020表示的数是 ． 【答案】3031 【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答． 【详解】第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1－3＝－2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为－2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4－9＝－5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为－5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7－15＝－8； …； 发现序号是偶数的点在正半轴上， A2：4， A4：7＝4+3×1 A6：10＝4+3×2， … A2n：4+3（n－1）， 则点A2020表示：4+3×（1010－1）＝3031， 故答案为：3031． 【点睛】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前五次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答． 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，在数轴上，两点表示的数分别为，关于对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称...依次规律，请求点表示的数． 【答案】A4：-5；A5：9；A8：-13；A11：21． 【分析】根据对称的性质逐一分析即可得出结论． 【详解】解：∵两点表示的数分别为，关于对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称，关于对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称，关于点对称 ∴表示的是-1； 表示的是-1＋2×=5； 表示的是-5； 表示的是-5＋2×=9； 表示的是-9； 表示的是-9＋2×=13； 表示的是-13； 表示的是-13＋2×=17； 表示的是-17； 表示的是-17＋2×=21． ∴A4：-5；A5：9；A8：-13；A11：21． 【点睛】此题考查的是数轴上的对称点问题，掌握对称的性质是解决此题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（　　） A．﹣26 B．﹣20 C．﹣30 D．30 【答案】B 【分析】设电子跳蚤落在数轴上的某点K0=a，规定向左为负，向右为正，根据题意列出方程，再进一步根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解：设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正． 根据题意，得a﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝30， a+（2﹣1）+…+（100﹣99）＝30， a+50＝30， a＝﹣20． 故选B． 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于掌握数轴的特征. 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上两定点A、B对应的数分别为－18和14，现在有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、B同时出发，沿着数轴爬行，速度分别为每秒1．5个单位和1．7个单位，它们第一次相向爬行1秒，第二次反向爬行2秒，第三次相向爬行3秒，第四次反向爬行4秒，第五次相向爬行5秒，……，按如此规律，则它们第一次相遇所需的时间为（    ） A．55秒 B．190秒 C．200秒 D．210秒 【答案】B 【分析】根据两点间的距离，可得BA的长，根据爬行的规律，可得以后每两次可以前进3.2，可得爬行的总次数，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】AB之间的距离为14-（-18）=32， 第一次相向爬行1秒后，两只蚂蚁相距32-1×（1.5+1.7）=28.8， 以后每两次可以前进3.2， ∴28.8÷3.2=9， 则最后一次是第19次，即甲乙两只电子蚂蚁相向爬行19秒， 故第一次相遇的时间为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=（1+19）19÷2=190（秒）， 答：它们第一次相遇时所需的时间为190秒． 故选B. 【点睛】本题考查了数轴，根据爬行的规律得出前进的速度，爬行的总次数是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在数轴上，A1、P两点表示的数分别为1、3，A1、A2关于O对称，A2、A3关于点P对称，A3、A4关于点O对称，A4、A5关于点P对称…依次规律，则点A15表示的数是 ． 【答案】43 【分析】根据对称性质，由题意确定依次确定出点A1、A2．．．A14的数值，后即可确定A15表示的数即可． 【详解】根据对称的性质得： A2表示的数为−1,A3表示的数为7, A4表示的数为−7, A5表示的数为13, A6表示的数为−13, A7表示的数为19， A8表示的数为-19, A9表示的数为25, A10表示的数为−25, A11表示的数为31, A12表示的数为−31, A13表示的数为37,则A14表示的数为−37，则A15表示的数是43. 故答案为43. 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于掌握用数轴表示字母的方法. 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）电子跳蚤落在数轴上的某点处，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……按此规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点处，所表示的数恰是2004，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【答案】1954 【分析】由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，按此规律跳了100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是2004，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，而， 所以电子跳蚤跳100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧， 又因为表示2004， 所以表示． 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解题的关键． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期末）【阅读材料】 我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）． 例如：若点表示的数是－6，点表示的数是－9，则线段． 【理解应用】 （1）已知在数轴上，点表示的数是－2020，点表示的数是2020，求线段的长； 【拓展应用】 如图，数轴上有三个点，点表示的数是－2，点表示的数是3，点表示的数是．    （2）当，，三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，求的值； （3）在点左侧是否存在一点，使点到点，点的距离和为19？若存在，求出点表示的数：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4040；（2）0.5，−7或8；（3）-9． 【分析】（1）根据题意，用点表示的数减去点表示的数加以计算即可； （2）根据题意分①点是线段的中点、②点是线段的中点、③点是线段的中点三种情况进一步分析讨论即可； （3）设点表示的数是，然后分别表示出AQ与BQ，根据“点到点，点的距离和为19”进一步求解即可. 【详解】（1）; （2）①当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ②当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； ③当点是线段的中点时，则． 所以．解得：； 综上所述，的值为0.5、或8； （3）设点表示的数是，则：QA=，QB=， ∵， ∴． 解得：． ∴在点左侧存在一点，使点到点，的距离和为19．且点表示的数是－9. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题与数轴上两点之间的距离，熟练掌握相关概念是解题关键. 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）的相反数是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是3． 故选：A． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 3．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的实数分别是a，b，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：，，，然后根据有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ，，， A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 5．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知x是整数，并且，数轴上表示x能取的所有数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，结合x是整数，进行求解即可． 【详解】解：∵x是整数，并且， ∴数轴上表示x能取的所有数为； 故答案为： 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 8．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 【答案】见解析 【分析】直接在数轴上表示出相关有理数即可即可． 【详解】解：以0为原点，作一条以右方向为正方向的数轴， 各点的位置如图： 【点睛】本题主要考查了数轴、点在数轴上位置的确定等知识点，正确画出数轴以及在数轴上表示数是解答本题的关键． 12．（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，掌握相反数表示相反意义的量是解答本题的关键． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来． ． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先在数轴上表示出来，再按数轴上表示的数，左边的数总比右边的数小比较即可． 【详解】解：，如图所示： ． 14．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 15．（24-25七年级上·浙江温州·期末）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8 【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可； （2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可； ②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a 由得， 解得 设线段AB的外相关点表示的数为b 由得， 解得 故答案为：和； （2）①运动时间为t秒 点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧 则 当时，，解得； ②同（1）可得：内相关点M表示的数为 外相关点N表示的数为 由相反数的定义得， 解得 故t的值为1.8. 【点睛】本题考查了数轴的定义、相反数的定义，理解新定义是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$