精品解析：重庆市巴南区2024-2025学年下学期九年级半期测试数学试题卷

重庆市巴南区2024-2025学年下期初三半期测试 数学试题卷 （全卷共三个大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B．铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：A． 3. 估计的值在（ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键．估算的大小，再估计的值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4. 2025年春节联欢晚会重庆分会场约有名参演人员，他们载歌载舞，阳光向上的风采让全国人民感受到了重庆人民的热情．将用科学计算法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 5. 满足下列条件的四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形 D. 四边相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．利用矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； D. 四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据三角形的外角的性质得，进而根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵两直线平行， ∴ ∴， 故选：B． 7. 如图；一组有规律的图形，由白色小正方形和小黑点组成，以此规律，若第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第个图形中有个正方形，个小黑点，进而根据第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，建立方程，即可求解． 【详解】解：根据图形的变化可得：第个图形中有个正方形，个小黑点， 依题意， 解得：或（舍去） 故选：B． 8. 如图，在半径为的半圆上，有，，三点，，于点，过 作于点，若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，扇形面积的计算，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，先证明四边形为矩形，再证明，可得，则阴影部分面积等于,即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积； 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点为正方形内一点，，点为边上一点，，连接交对角线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，过点作交于点，交于点，延长交于点，过点作于点，则四边形，是矩形，先证明则得出是等腰直角三角形，设正方形的边长为，进而求得，证明，，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，延长交于点，过点作于点，则四边形，是矩形， ∵正方形中，点为正方形内一点，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设正方形的边长为，则 ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 10. 我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，解绝对值方程，根据新定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵． 当 时，有两种可能的新多项式： 改变  的系数：新多项式为 ． 改变  的系数：新多项式为 ． 计算与新多项式的积： 若改变 ，积为 ． 若改变 ，积为 ． 设 ， ，则 ，且 ， 和  同奇偶（确保  为整数）． 积的绝对值为 ，需等于 12． 符合条件的解：， （例如  或 ）． 当  时，改变  得新多项式 ，，积为 ．因此，说法①正确． ． 当  时，选择任意两个单项式（设其和为 ），新多项式为 ． 条件：，且 ． 解绝对值方程：情况一： ∴，则选中的两个单项式之和为 0． 情况二：  ∴，则未选中的两个单项式之和为  因此，无论如何，都存在两个单项式之和为 0．说法②正确． ． 定义迭代过程：：所有可能一次操作（）后新多项式的和． 新多项式：，，． ∴． ：将（即）进行所有可能一次操作后新多项式的和． 操作  得：，，． 同样得 ． 对任意多项式 ，其所有可能一次操作后新多项式的和仍等于 ． 因此， 对所有  成立． ，差为 （定值）． 说法③正确． 三个说法均正确，正确个数为 3． 故选：A． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为；． 12. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 13. 2025年，人工智能（）领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设，豆包，分别为、、 列表如下： ∴共有9种可能结果，其中他们恰好都选到豆包的结果有1种， ∴他们恰好都选到豆包的概率为． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数、由分式方程解的情况求参数，先解不等式组，再由不等式组解集情况得到；再解分式方程，由分式方程解的情况得到，，且为偶数；从而得到所有满足条件的整数的值，求和即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组无解， ，解得； 关于的分式方程， 去分母得， 解得， 关于的分式方程的解为非负整数， ，，且是整数， 解得，，且为偶数； 综上所述，，，且为偶数， 可取，则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，在中直径，为圆上一点，，为的中点，连接，分别交，于，两点，则的度数为_____；点到直线的距离为_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据为的中点，求得，得出，过点作于点，则，设，则，根据，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 又∵ ∴ 过点作于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴点到直线的距离为： 故答案为：；． 16. 若一个三位正整数P可以分解成的形式(其中均为正整数且，则称P 为“平方差分解数”．在的所有分解中，当取得最小值时，称为的最优分解，此时规定：．计算_____；若三位数为“平方差分解数”，其中，，均为整数，，，，且的个位数字与十位数字相同，将的各个数位上的数字之和记为，记，若为的整数倍，为满足条件的所有三位整数中的最小值，则_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，不定方程，数的整除，根据定义得出120 的因子对，检验得出最小  为 2，进而求得最优分解为 ，，即得出；根据，且个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 ，进而根据 为 5 的整数倍，得出 恒成立，再得出，进而验证为 5 的倍数得出可能  值：388 和 899，结合最优分解，得出 中最小值为 388，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵120 是平方差分解数，即  对于正整数 ． 根据平方差公式，． 设 ，，则 ，且 ， 和  同奇偶（因为 ， 需为整数） 120 的因子对及同奇偶检查： 经检验，有效数对为 、、、． 最小  为 2（对应 )． 此时，，． 验证：． 最优分解为 ，． 则： ∵ 是三位数，其中 ，，（ 隐含为整数且 ，因  为三位数）． ∵个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 ，则 ．由 ，得： 即  被 11 整除． 设 （ 为整数，)，则：，为整数， 又∵，余数为 5 所以 ．为整数， 的可能 值为：17， 28， 39， 50， 61， 72， 83， 94． 经检验，∶ ，，． ∶ ，，． ∶ ，，． 数字和 ． ∵， 为 5 的整数倍．  恒成立．  为整数，故  整除 10，且 （因 )． 10 的因子 ∶ 5， 10． 所以  或 ，即  或 ． 若 ，∶ 需为 5 的倍数： （)∶ （不满足）． （)∶ （满足）． （)∶ （不满足）． 所以 ，，． 若 ，∶ 需为 5 的倍数： （)∶ （不满足）． （)∶ （不满足）． （)∶ （满足）． 所以 ，，． 可能  值：388 和 899．  需为平方差分解数： ∶ 分解为 ． 经检验有效数对为：． ，． 验证：，最小 ．是平方差分解数． ∶ 分解为 ． 因子对：（同奇），（同奇）． 最小 （对应 )： ，． 验证：．是平方差分解数． 满足条件的  中最小值为 388（因 )． 最优分解为 ，． 则： ∴ 故答案为：，． 三、解答题：（本卡题共8个小题，17题16分，其余每小题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，分式的加法，二次根式的混合运算，以及三角函数值的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先去括号，然后合并同类项，即可求解． （2）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （4）根据特殊三角函数值进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 为了调查九年级学生的体质健康，某校举行了女子米和男子米长跑比赛．现将九年级女生米长跑成绩，男生米长跑成绩折算成百分制，并从女生男生中各抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示：组；组；组；组）．下面给出部分信息： 男生长跑成绩在组中的数据为：，，． 女生长跑成绩为；，，，，，，，，，． 九年级抽取的学生长跑成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 满分率 男生 女生 （1）填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为九年级学生中，男生、女生谁的体质健康较好？请说明理由（写出一条即可） （3）某校九年级共有名学生参加了此次长跑比赛，估计该校参加长跑比赛成绩达到分及以上的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2）女生的体质健康较，女生的中位数大于男生的中位数（答案不唯一） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位线，众数，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． （1）先排序，取中间的两个数，的平均数，即为中位数，根据出现次数最多的数是众数，进行作答即可． （2）分析九年级抽取的学生长跑成绩统计表，得出女生的中位数大于男生的中位数，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：将男生的长跑成绩整理排序后，位于第和位的长跑成绩为 则， ∵女生的长跑成绩为出现次数为， ∴， 根据九年级抽取的男生长跑成绩频数分布直方图可得： 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：女生的体质健康较好，理由如下： 依题意，男生的平均数和女生的平均数是相等的，男生的中位数为，女生的中位数为，， 即女生的中位数大于男生的中位数， ∴女生的体质健康较好； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， 答：估计该校参加长跑比赛成绩达到分及以上的学生人数是人． 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，分写同学方现一梯形一条对角线的垂直平分线与梯形两底所在直线的两个交点，与该对角线的两端点围成的四边形是特殊的平行四边形． （1）尺规作图：如图，四边形中，，作对角线的垂直平分线，垂足为点，分别交，所在直线于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 请结合（1）中的作图，补全以下证明过程： 证明：， ① 又垂直平分， ② 在与中， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 进一步研究发现，对于梯形，作另一条对角线的垂直平分线，上述结论仍然成立．请你完成所得结论：梯形的一条对角线的垂直平分线与梯形两底所在直线的两个交点，与该对角线的两端点围成的四边形是 ④ 【答案】（1）见解析 （2）；，，菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，作垂直平分线，熟练掌握基本作图以及菱形的判定定理是解题的关键； （1）根据题意作的垂直平分线，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，由垂直平分线的性质得出，进而证明，进而证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， 证明：， 又垂直平分， 在与中， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 如图， 进一步研究发现，对于梯形，作另一条对角线的垂直平分线，上述结论仍然成立． 同理可得， ∴ 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 梯形的一条对角线的垂直平分线与梯形两底所在直线的两个交点，与该对角线的两端点围成的四边形是菱形 故答案为：；，，菱形． 20. 某工厂生产；两种产品，每天生产的产品比产品多件，生产件产品所用时间与生产件产品所用时间相同，产品的售价为每件元，产品的售价为每件元． （1）求每天生产，产品各多少件？ （2）某经销商计划采购，两种产品共件，且购买总费用不超过元，则最多可采购产品多少件？ 【答案】（1）每天生产产品件，则生产产品件 （2）最多可采购 产品 件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程，根据不等关系式列出不等式． （1）设每天生产产品件，则生产产品件，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． （2）设采购产品件，则采购产品件，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每天生产产品件，则生产产品件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （件） 答：每天生产产品件，则生产产品件． 【小问2详解】 设采购产品件，则采购产品件，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最大值为 答：最多可采购 产品 件． 21. 如图1，在中，，， ，点、点分别为、的中点．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当动点 到达点时停止运动，过点作交于点．设动点运动的时间为秒，的长度为，的面积与点的运动路程之比为 （1）请直接写出与分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数与的图象有两个交点时的取值范围． 【答案】（1）， （2） 如图， 函数的一条性质：当时取得最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，画一次函数与反比例函数，列出函数关系式是解题的关键； （1）根据勾股定理求得，根据中位线的性质求得，进而求得，设，则，，分两种情况讨论，分别求得函数解析式，即可求解； （2）根据反比例函数与一次函数的性质画出图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得经过点或时，的值，观察函数图象找到与的图象有两个交点时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中， ， ， ∴ ∵点、点分别为、的中点 ∴，， ∴， 设，则， ∵的面积与点的运动路程之比为 ∴ 当时，在上，在上，, ∵ ∴ ∴ 当时，点在上，点在上， ， 综上所述， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 经过点或 将或分别代入 解得：或 根据函数图象可得，当与的图象有两个交点时， 22. 小南家预计“五·一”小长假外出游玩，小南爸爸从地图上了解四处国家级风景区，，，，如图，从点测得，两点分别在正南方向和南偏东方向；从点测得， 两点分别在南偏东方向和南偏西方向，点在点的正西方向千米处．（参考数据：， ，） （1）求，两风景区的距离（结果取根号）； （2）小南家预计从景点到游玩，小南爸爸设计两条路线：①，② 请计算说明选择哪条路线较近（结果精确到整数）？ 【答案】（1），两风景区的距离为千米 （2）路线：①较近 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作交于点，根据题意得出则，进而求得，解得出，进而解，求得，即可求解； （2）根据题意计算，再比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中，，， ∵ ∴， ∴ 答：，两风景区的距离为千米 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴ 在中，， ∴ ∴路线：①较近 23. 在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，，点在二次函数图象上． （1）求二次函数的解析式： （2）如图1，点是直线上方二次函数图象上一动点，点在轴负半轴，且，连接与交于点，点是轴上动点，连接，，，，令的面积为，的面积为，当有最大值时，求点坐标及此时周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将该二次函数图象沿轴正方向平移，使得平移后的新二次函数图象经过点，若直线与新二次函数图象的另一交点为点，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）此时周长的最小值 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数平移问题，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据抛物线的对称性求得点，待定系数法求得直线的解析式为，过点作交于点，进而求得的最大值，根据得出当有最大值时，即取得最大值，进而求得，根据轴对称的性质可得关于轴的对称点为，当在上时，的周长最小，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）根据，在抛物线上，得出向右平移个单位得到抛物线解析式，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数与轴交于点， 当时，，即， ∴ ∵， ∴，即 又∵抛物线经过点，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为， 【小问2详解】 解：∵，在抛物线上， ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴， 设直线的解析式为，代入得 解得： ∴直线的解析式为 ∵点在轴负半轴，且， ∴， ∴， 如图，过点作交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ 当有最大值时，即取得最大值， ∴当时，有最大值， ∴ ∴关于轴的对称点为 周长为 ∵点是轴上动点， ∴当在上时，的周长最小， 最小值为 【小问3详解】 解：依题意，新二次函数图象经过点， ∵，在抛物线上， ∴向右平移个单位得到抛物线 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：， ∴ 24. 如图，为等腰三角形，． （1）如图1，，平分，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，交于点，若，求的值； （2）如图2，点，分别是，上一点，，延长至点，使得，连接，交于点，．若点是的中点，试用等式表示线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，平面内有一动点，满足，平面内有一动点，满足．当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，到圆上一点距离的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，证明四边形是正方形，进而得出，勾股定理，即可求解； （2）根据已知得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据题意得出点在为边的等边三角形的外接圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当边上的高最大时，的面积最大，当在上时，取得最大值，进而分别解直角三角形，分别求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，平分，， ∴，，， ∵将绕着点逆时针旋转，得到， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，即 【小问3详解】 ∵． ∴ ∵， ∴当边上的高最大时，的面积最大， ∵， ∴点在为边的等边三角形的外接圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动 当在上时，取得最大值， 当重合时，是等边三角形， 如图，过点作于点， ∴ ∴ ∴ 如图，是等边三角形，过点作于点， ∴ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴南区2024-2025学年下期初三半期测试 数学试题卷 （全卷共三个大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B．铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间 4. 2025年春节联欢晚会重庆分会场约有名参演人员，他们载歌载舞，阳光向上的风采让全国人民感受到了重庆人民的热情．将用科学计算法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 满足下列条件的四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形 D. 四边相等的四边形 6. 如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图；一组有规律的图形，由白色小正方形和小黑点组成，以此规律，若第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，则n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在半径为的半圆上，有，，三点，，于点，过 作于点，若，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为正方形内一点，，点为边上一点，，连接交对角线于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上． 11. 因式分解：__________． 12. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 13. 2025年，人工智能（）领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为______________ 14. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 15. 如图，在中直径，为圆上一点，，为的中点，连接，分别交，于，两点，则的度数为_____；点到直线的距离为_______ 16. 若一个三位正整数P可以分解成的形式(其中均为正整数且，则称P 为“平方差分解数”．在的所有分解中，当取得最小值时，称为的最优分解，此时规定：．计算_____；若三位数为“平方差分解数”，其中，，均为整数，，，，且的个位数字与十位数字相同，将的各个数位上的数字之和记为，记，若为的整数倍，为满足条件的所有三位整数中的最小值，则_______ 三、解答题：（本卡题共8个小题，17题16分，其余每小题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 为了调查九年级学生的体质健康，某校举行了女子米和男子米长跑比赛．现将九年级女生米长跑成绩，男生米长跑成绩折算成百分制，并从女生男生中各抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示：组；组；组；组）．下面给出部分信息： 男生长跑成绩在组中的数据为：，，． 女生长跑成绩为；，，，，，，，，，． 九年级抽取的学生长跑成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 满分率 男生 女生 （1）填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为九年级学生中，男生、女生谁的体质健康较好？请说明理由（写出一条即可） （3）某校九年级共有名学生参加了此次长跑比赛，估计该校参加长跑比赛成绩达到分及以上的学生人数是多少？ 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识后，分写同学方现一梯形一条对角线的垂直平分线与梯形两底所在直线的两个交点，与该对角线的两端点围成的四边形是特殊的平行四边形． （1）尺规作图：如图，四边形中，，作对角线的垂直平分线，垂足为点，分别交，所在直线于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，，求证：四边形是菱形． 请结合（1）中的作图，补全以下证明过程： 证明：， ① 又垂直平分， ② 在与中， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 进一步研究发现，对于梯形，作另一条对角线的垂直平分线，上述结论仍然成立．请你完成所得结论：梯形的一条对角线的垂直平分线与梯形两底所在直线的两个交点，与该对角线的两端点围成的四边形是 ④ 20. 某工厂生产；两种产品，每天生产的产品比产品多件，生产件产品所用时间与生产件产品所用时间相同，产品的售价为每件元，产品的售价为每件元． （1）求每天生产，产品各多少件？ （2）某经销商计划采购，两种产品共件，且购买总费用不超过元，则最多可采购产品多少件？ 21. 如图1，在中，，， ，点、点分别为、的中点．动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当动点 到达点时停止运动，过点作交于点．设动点运动的时间为秒，的长度为，的面积与点的运动路程之比为 （1）请直接写出与分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数与的图象有两个交点时的取值范围． 22. 小南家预计“五·一”小长假外出游玩，小南爸爸从地图上了解四处国家级风景区，，，，如图，从点测得，两点分别在正南方向和南偏东方向；从点测得， 两点分别在南偏东方向和南偏西方向，点在点的正西方向千米处．（参考数据：， ，） （1）求，两风景区的距离（结果取根号）； （2）小南家预计从景点到游玩，小南爸爸设计两条路线：①，② 请计算说明选择哪条路线较近（结果精确到整数）？ 23. 在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，，点在二次函数图象上． （1）求二次函数的解析式： （2）如图1，点是直线上方二次函数图象上一动点，点在轴负半轴，且，连接与交于点，点是轴上动点，连接，，，，令的面积为，的面积为，当有最大值时，求点坐标及此时周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将该二次函数图象沿轴正方向平移，使得平移后的新二次函数图象经过点，若直线与新二次函数图象的另一交点为点，请直接写出点的坐标． 24. 如图，为等腰三角形，． （1）如图1，，平分，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，交于点，若，求的值； （2）如图2，点，分别是，上一点，，延长至点，使得，连接，交于点，．若点是的中点，试用等式表示线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，平面内有一动点，满足，平面内有一动点，满足．当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $