精品解析：2025年重庆市第八中学校中考数学模拟卷七

2025年重庆八中中考数学模拟卷七 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 根据轴对称图形定义：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”；及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【详解】解： A、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在二次根式中，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根式有意义的条件，解题的关键是掌握平方根的非负性，利用非负性列出不等式即可求解． 【详解】解：在二次根式中， ， 解得：， 故选：A． 3. “一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，十天的时间为864000秒．将数据864000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将数据864000用科学记数法表示为． 故选：C． 4. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； B． 检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意； D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先确定的范围，即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 故选：C． 6. 如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】解；∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：A． 7. 如图是一组蜂窝的结构，它是由若干个正六边形组合而成．第1个图案如图①有2个正六边形，第2个图案如图②有5个正六边形，第3个图案如图③有8个正六边形，第4个图案如图④有11个正六边形……，按此规律，第7个图案中正六边形的个数是（ ） A. 17 B. 20 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形可以发现正六边形个数的变化规律，可以求得第个图案中正六边形的个数，即可求第7个图案中正六边形的个数． 【详解】解：第1个图案如图①有2个正六边形， 第2个图案如图②有5个正六边形， 第3个图案如图③有8个正六边形， 第4个图案如图④有11个正六边形 ······， ∴第个图案有个正六边形， ∴第7个图案中正六边形的个数为：， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点则Δ的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转和解三角形，过点F作，垂足为，先证明是直角三角形，可得，在利用和解三角形求出，进而求出三角形面积． 【详解】解：过点F作，垂足为， ∵在中，，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积， 故选B． 9. 如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，过点作，分别与的延长线相交于点，可得四边形是矩形，即得，，利用余角性质可得，得到，即可得，设，则，利用勾股定理分别求出，再代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，分别与的延长线相交于点， 则， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算法则求出，，，，即可判断①；根据题意得到每3个一组循环，然后求出，，然后根据列方程求解即可判断②；根据每3个一组循环，得到，，然后分别当为偶数和为奇数时，求出和，然后分别代入即可判断③． 【详解】①∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ②根据题意得，每3个一组循环， ∴， ∴ ∵若， ∴ 去分母后整理得， 解得，故②错误； ③∵每3个一组循环， ∴， 当为偶数时，， ∴； 当为奇数时，， ∴； ∴对于任意正整数k，都有成立，故③正确． 综上所述，其中说法正确的有2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，解一元二次方程，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 【答案】20°##20度 【解析】 【分析】根据条件先求出，设，则，根据列出方程，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案：20°． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、角平分线的性质等知识点，结合图形转化为角度的关系式是解答本题的关键． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理与外角和定理，根据多边形的内角和定理与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得． 故答案为：6． 13. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“《唐探1900》”表示为A，“《哪吒之魔童闹海》” 表示为B，“《封神》”表示为C，“《重启未来》” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一部电影的概率是， 故答案为：． 14. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元， 依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7． 故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，四边形内接于圆O，点O在上，，过点C作圆O的切线，分别交，的延长线于点E，F．若G为圆O上一点且位于下方，且，则____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，，根据弦、弧、圆心角的关系得出，根据等边对等角及等量关系式得出，根据平行线的判定及性质得出，根据切线的性质得出，利用正切的定义及勾股定理分别求出、、的值，再利用线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 为的切线， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， 为直径， ，， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质、三角形函数、勾股定理、圆周角定义、等边对等角、弦、弧、圆心角之间的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，17～18题每小题8分，其余每小题10分，共86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上） 16. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数为“事事如意数”．例如：四位数7342，，是“事事如意数”；四位数3287，，不是“事事如意数”．若是一个“事事如意数”，记，当为完全平方数时，则_____；此时，记，若为整数，则满足条件的的最大数为_______． 【答案】 ①. 0 ②. 8241 【解析】 【分析】本题考查了“事事如意数”，整式的混合运算，完全平方数，理解“事事如意数”和完全平方数定义是解题的关键．根据题意可知，即，那么，整理为，根据其为完全平方数，可知，那么推出，从而得出，根据为整数，可知或或,算得、，最后根据要最大，从而得出答案． 【详解】解：是一个“事事如意数”， ， ， ， ， 为完全平方数时，，， ，即， ，即， ， ，， ， 为整数， 和都是的因数， 的因数有：，3，7，9，21，63，为整数， 或或， 当时，解得，， 此时，，； 当时，解得，，不符合题意； 当时，解得，， 此时，，； 要最大， ． 故答案为：0，8241． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数绝对值，零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则，分别求一个数的绝对值，零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、有理数的乘方计算后，再算加减运算． 【详解】解： ． 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，思博小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是矩形，可利用平行四边形的性质和判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，菱形的对角线交于点O，射线，用尺规过点C作的垂线，交 于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：菱形的对角线交于点O，射线，交于点E，连接．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ∴，，． 又∵， ∴ ① ． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ② ． 又：， ∴ ③ ． 又∵， ∴四边形是 ④ · ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是 ⑤ ． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直可知，利用作一角等于已知角的方法即可作出； （2）由菱形的性质和平行线的性质先证出四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，进而即可证出四边形是矩形，当四边形是正方形时，同理即可证得点E，C，O，D所构成的四边形是正方形． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是正方形． 故答案为：；；；平行四边形；正方形； 如图， 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴四边形矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，尺规作图等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为了了解学生的环保意识，某校举办了环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：，下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取学生的竞赛成绩统计表 性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取的男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）该校有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛，估计该校参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 【答案】（1）85，83，20 （2）见解析 （3）410人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义，百分比计算方法计算解答． （2）比较中位数，众数，平均数大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 【小问1详解】 解：出现次数最多是数据是85， 故a为85； 根据题意，C组的百分比为， ， 故， A组的人数为（人），B组的人数为（人）， 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即（分）， 故答案为：；83，20． 【小问2详解】 解：女生掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：女生成绩的中位数85大于男生的中位数83，女生成绩的众数85大于男生的众数78， 故女生成绩更好． 【小问3详解】 解：根据题意，有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛， 成绩为优秀的总人数为：（人）， 答：成绩为优秀的总人数为410人． 【点睛】本题考查了样本估计总体，中位数的计算，众数的计算，根据平均数、中位数、平均数提出决策，熟练掌握中位数，样本估计总体是解题的关键． 21. 为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ （2）小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 【答案】（1）中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，根据小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍．然后列分式方程即可求解． （2）分阶段求出总收入=元、总成本元，根据总利润=总收入−总成本元，依题意列不等式即可作答． 【小问1详解】 解：设中果每千克进价元，则大果每千克进价为元，依题意： ∴， 解并检验得：， 大果每千克进价为元， 答：中果每千克进价元，则大果每千克进价为元； 【小问2详解】 解：已知中果购进（千克），大果购进 （千克），总成本  （元）． 第一阶段销售： 中果售价比进价高，售价（ 元/千克）． 售出量 （千克），收入 （元）． 大果在进价基础上加价元，售价元/千克．售出量（千克），收入元． 剩余：中果（ 千克），大果 （千克）． 第二阶段促销（降价销售）： 中果每千克降价 元，新售价 )元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量为（千克），收入 元． 大果每千克降价 元，新售价 元/千克． 剩余千克中，损坏千克不能售出，可售量千克，收入 元． 总收入)元， 总利润=总收入−总成本元， 由要求总利润不少于 5980 元，得：，解得 ， 因此，，最小值为 ． 22. 如图1，在中，为的中点，连接．动点P从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点B时停止运动；同时动点Q从点C出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动．设点P 的运动时间为x秒，记为，记为． （1）请直接写出分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）画图见解析，函数的一条性质：当时，取得最大值； （3）或 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点B作交于点E，勾股定理求出，求出，然后利用等面积法求出，然后分和两种情况讨论，分别求出，然后利用面积公式即可求出； （2）根据列表，描点，然后用平滑的线连接即可画出图象，进而求得函数的一条性质； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作交于点E ∵， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，根据题意得， ∴； 当时，点P在上，如图所示， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； 根据题意得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 列表如下： x 1 2.5 5 3 0 5 2 1 画图如下： 函数的一条性质：当时，取得最大值； 【小问3详解】 由图象可得，当和时，函数图象在函数图象得下面 ∴时x的取值范围为或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，D两港装载物资，运送到位于A港正东方向的C港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港．2小时后，甲货轮装载好货物，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东方向航行一定距离到达D港．乙货轮花了1小时装载货物，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．（参考数据：） （1）求A，C两港之间的距离（结果保留整数）； （2）若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行20海里，乙货轮每小时航行10海里，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2）甲货轮先到达C港 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用——方向角问题．熟练掌握方向角定义，含30度和45度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． （1）过点A作于点E，过点B作于点F，则，可求得，得，得∴，，可得，得，即得； （2）在上取点G，使，连接，设于点H，则，求出，得，得，，设，， 得,得，得，得， ，得，乙货轮到达C港用时（小时），，甲货轮到达C港用时（小时），可知甲货轮先到达C港． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，过点B作于点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 在上取点G，使，连接，设于点H， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴乙货轮到达C港用时， （小时）， ∵， ∴甲货轮到达C港用时， （小时）． ∵， 故甲货轮先到达C港． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； （3）如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，于是，，得到，，待定系数法解答即可． （2）设点的坐标为，则点．由此得到 ，过点N作交的延长线于点R， 根据解答即可求出点P的坐标，将点P沿方向平移平移个单位长度，得到，做点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质，即可解答． （3）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线，分平行互补和一般互补两种情况，利用构造直角三角形的正切解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∴是方程得两个根， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点． ， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设直线的解析式为． 将点代入，得 解得， 直线的解析式为． 过点B作于点Q， 则， ∵，，， ∴，是定值， 过点N作交的延长线于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，面积有最大值，此时，． 将点P沿方向平移平移个单位长度，得到， 则， 做点关于直线的对称点， 则， 连接， ∴， 当点、M、P三点共线时，． 【小问3详解】 解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， 故将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 由， 当时， ∵，， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． ∵， ∴， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 当不平行线时， 过点E作轴，交y轴于点J，过点B作于点V， 则，四边形时矩形， ∴，， 在上截取，连接，则， 设直线与y轴的交点为K，则， 故， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 此时， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 综上所述，符合条件的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，特殊角的三角函数，正切函数的应用，直线平行的基本条件，构造二次函数求面积的最值，平行线的性质，互补的应用，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，构造抛物线求最值，解方程是解题的关键． 25. 已知在中，，． 点D在上，连接，将绕点D顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若D是的中点，求的长； （2）如图2，M是的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接，求证： （3）如图3，M是直线的动点，若，连接，将沿翻折得．当取最小值时，求 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交的延长线于点M，证，后根据解答即可． （2）过点E作交的延长线于点Q， 证明，得到四边形四边形是矩形，再证明，得到，延长，二线交于点G，再根据勾股定理得到，等量代换得证 （3）根据沿翻折得，得到，根据，得到三点共线时， 取得最小值，过点M作，垂足分别为G，F， 根据折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，角的平分线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：过点E作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：过点E作交的延长线于点Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长，二线交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵，， ∴，，， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴ ∵， ∴， 故三点共线时， 取得最小值，且最小值为． 过点M作，垂足分别为G，F， ∵沿翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆八中中考数学模拟卷七 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在二次根式中，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. “一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”我们一定要珍惜每分每秒，努力学习，十天的时间为864000秒．将数据864000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一组蜂窝结构，它是由若干个正六边形组合而成．第1个图案如图①有2个正六边形，第2个图案如图②有5个正六边形，第3个图案如图③有8个正六边形，第4个图案如图④有11个正六边形……，按此规律，第7个图案中正六边形的个数是（ ） A. 17 B. 20 C. 23 D. 26 8. 如图，在中，，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，的对应边交于点则Δ的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 13. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 14. 电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 __． 15. 如图，四边形内接于圆O，点O在上，，过点C作圆O的切线，分别交，的延长线于点E，F．若G为圆O上一点且位于下方，且，则____，______． 三、解答题（本大题共9个小题，17～18题每小题8分，其余每小题10分，共86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上） 16. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数为“事事如意数”．例如：四位数7342，，是“事事如意数”；四位数3287，，不是“事事如意数”．若是一个“事事如意数”，记，当为完全平方数时，则_____；此时，记，若为整数，则满足条件的的最大数为_______． 17. 计算： 18. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，思博小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是矩形，可利用平行四边形的性质和判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，菱形的对角线交于点O，射线，用尺规过点C作的垂线，交 于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：菱形的对角线交于点O，射线，交于点E，连接．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ∴，，． 又∵， ∴ ① ． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ② ． 又：， ∴ ③ ． 又∵， ∴四边形是 ④ · ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 进一步思考，如果四边形是正方形呢？请你模仿题中表述，补全结论：过正方形顶点C作对角线的垂线，与过对角线的交点O作的平行线相交于一点E，则点E，C，O，D所构成的四边形是 ⑤ ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了了解学生的环保意识，某校举办了环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：，下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取学生的竞赛成绩统计表 性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生安全知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）该校有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛，估计该校参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 21. 为了响应国家的“三农政策”，小李在某果园购进了一批应季水果-“五星琵琶”，这种“五星琵琶”中果比大果每千克进价少4元，小李花了3000元购买大果，5000元购买中果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）小李购进“五星琵琶”中果和大果每千克进价各多少元？ （2）小李将购进的“五星琵琶”及时进行销售．其中中果的售价比进价高50％，大果在进价的基础上每千克加价4a元进行销售，一周后，中果还剩20％，大果还剩40％没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，小李准备降价促销：中果每千克降价a元，大果每千克降价5元进行销售．预计除了10千克中果和2千克大果损坏不能售出外，其余全部售出．若总计获利不少于5980元，求a的最小值． 22. 如图1，在中，为的中点，连接．动点P从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点B时停止运动；同时动点Q从点C出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动．设点P 的运动时间为x秒，记为，记为． （1）请直接写出分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2所示平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，D两港装载物资，运送到位于A港正东方向的C港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港．2小时后，甲货轮装载好货物，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东方向航行一定距离到达D港．乙货轮花了1小时装载货物，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港．（参考数据：） （1）求A，C两港之间的距离（结果保留整数）； （2）若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行20海里，乙货轮每小时航行10海里，哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； （3）如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 25. 已知在中，，． 点D在上，连接，将绕点D顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若D是的中点，求的长； （2）如图2，M是的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接，求证： （3）如图3，M是直线的动点，若，连接，将沿翻折得．当取最小值时，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $