精品解析：江苏省连云港市东海县朱自清中学中考二模数学试题

2024—2025学年度第二学期第二次学情检测 九年级数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 下列各式计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 4. 用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线，相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知一次函数的图像经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 因式分解：____________． 11. 蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，将500万用科学记数法分别表示为_______． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 13. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为_____． 15. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 16. 如图，直角三角形顶点F在矩形的对角线上运动，连接，，，，则的最小值为 ____________________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 19. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 20. 某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下： 1．您对本公司快递服务的整体评价为（ ）（单选） A．满意 B．一般 C．不满意 如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题 2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为（ ）（单选） A．配送速度 B．服务态度 C．快递价格 D．包装情况 （1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为_______，“快递价格”所对应的圆心角度数为______； （2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数； （3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由． 21. 色光三原色()是指红、蓝、绿三色，把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色，配色规律如图所示(例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色)． （1）从色光三原色中随机选择一种色光，选中红色的概率为_______； （2）甲、乙两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光进行混合，求可以呈现紫色的概率(用画树状图或列表法)． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点． （1）若点的横坐标为2，求的值； （2）点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明． 23. 如图，已知． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 24. 如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 25. 某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q= （1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式； （2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元） ①求w关于t的函数解析式； ②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值． 26. 已知二次函数 (a是常数，a≠0)． （1）若，求该函数图像顶点坐标． （2）若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． （3）若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值． 27. 小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型：如图（1），在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分别是AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ，连接CE，则CE的长为　 　（直接填空） 问题变式：（1）如图（2），小明让矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至点E恰好落在AD上，连接CE、DQ，请帮助小明求出CE和DQ的长，并求DQ：CE的值． （2）如图（3），当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断DQ：CE的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展：若将“问题原型”中的矩形ABCD改变为平行四边形ABCD，且AB＝3，AD＝7，∠B＝45°，P、Q分别是AB、AD边上的点，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ为邻边作平行四边形APEQ．当平行四边形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（4）位置时，连接CE、DQ．请帮助小明求出DQ：CE的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第二次学情检测 九年级数学试题 一、选择题（每题3分） 1. 下列各式计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的除法及单项式乘单项式，利用整式的除法及单项式乘单项式法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， 与无法合并，则D不符合题意， 故选：A． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ） A. 0.1313 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A． 0.1313是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意； 故选：D． 4. 用一个平面截一个几何体，得到的截面形状是长方形，则这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．掌握圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征是解题的关键． 【详解】解：用一个平面截一个几何体， A．当该平面与长方体的一个面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； B．当该平面与圆柱的底面垂直时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意； C．选项的截面不可能是长方形，故该选项符合题意； D．当该平面与三棱柱的一个侧面平行时，选项的截面是长方形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线相聚于一点．如图，光线，折射光线，相交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 如图，已知一次函数的图像经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的图象经过点可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点，然后根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 一次函数的图象经过点， 由图象可知，关于的不等式的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握用数形结合的方法解题． 8. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 二、填空题（每题3分） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 10. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 11. 蛇年新春，五湖四海的游客竞相奔赴南京过大年．春节期间，秦淮区接待游客量超过500万人次，约占全市三分之一，将500万用科学记数法分别表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10 时，是非负数，当原数绝对值小于 1 时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 500万， 故答案为：． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________． 【答案】cm 【解析】 【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．设此圆锥的底面半径为r， 【详解】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=， r=cm． 13. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 【答案】105 【解析】 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图， 则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故答案为：6． 15. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 16. 如图，直角三角形顶点F在矩形的对角线上运动，连接，，，，则的最小值为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ， 、、、四点共圆， ， ，， ， ， 定值， 点在射线上运动， 当时，的值最小， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及垂线段最短，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解：原式， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，正确化简分式是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件，代值计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴当时，原式． 19. 如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求菱形面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理解三角形，直角三角形的中线性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，再由直角三角形斜边中线的性质得出，结合菱形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质得出，再由平行四边形的性质确定，结合勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形面积为：． 20. 某快递公司为了解用户的使用体验，提升服务质量，随机抽取了1000名用户进行问卷调查，调查问卷（问题部分）及相关统计结果如下： 1．您对本公司快递服务的整体评价为（ ）（单选） A．满意 B．一般 C．不满意 如果您对本公司快递服务的整体评价为一般或者不满意，请继续回答第2个问题 2．您认为本公司快递服务最需要改进的方面为（ ）（单选） A．配送速度 B．服务态度 C．快递价格 D．包装情况 （1）用户认为最需要改进的方面的统计图中，“包装情况”所占的百分比为_______，“快递价格”所对应的圆心角度数为______； （2）如果将整体评价中的“满意”、“一般”、“不满意”分别赋分为5分、3分、1分，求该公司此次调查中关于整体评价的中位数和平均数； （3）小明想，如果该快递公司有20000名用户，那么认为“配送速度”方面的服务需要改进的用户有名．你觉得小明的想法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2）中位数5分；平均数：分 （3） 不正确． 理由： 是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的． 故小明的想法不正确． 【解析】 【分析】（1）用1减去“配送速度”、“快递价格”、“服务态度”所占的百分比，即可得出“包装情况”所占的百分比为；用乘以“快递价格”所占百分比，即可得出“快递价格”所对应的圆心角度数； （2）根据中位数和平均数的定义，即可求出中位数和平均数；一共调查了1000位用户，中位数应为第500位和第501为用户打分的平均数． （3）是指调查结果“一般”或“不满意”用户对快递配送速度不满意的百分比，而非样本容量的．故小明的想法不正确． 【小问1详解】 解：“包装情况”所占的百分比：， “快递价格”所对应的圆心角度数： ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得：中位数：（分）， 平均数：（分） 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是根据统计图得出需要的数据，掌握中位数和平均数的定义． 21. 色光三原色()是指红、蓝、绿三色，把这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色，配色规律如图所示(例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色)． （1）从色光三原色中随机选择一种色光，选中红色的概率为_______； （2）甲、乙两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光进行混合，求可以呈现紫色的概率(用画树状图或列表法)． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列出表格，在得出总情况数和呈现紫色的个数，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵色光三原色()有三色，红色是其中一种， ∴选中红色的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 依据题意列出表格如下： 红 蓝 绿 红 蓝 绿 共有9种等可能情况，其中呈现紫色的有两种， ∴可以呈现紫色的概率是． 【点睛】本题考查用树状图法或列表法计算概率，正确列表或画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点． （1）若点的横坐标为2，求的值； （2）点为轴正半轴上一点，且，过点垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点、，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），理由如下： ∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点． ∴设， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算； （1）先求解点坐标为，代入可得的值； （2）设，可得，，可得反比例函数为：，结合，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得，； 【小问2详解】 略 23. 如图，已知． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）条件下，若，，则的半径为__________． 【答案】（1） 如图所示，点D、点O为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）运用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点，交于点，作的角平分线与线段交于点，以点为圆心，以为半径画圆即可； （2）根据题意得到，如图所示，过点作，设圆的半径为，即，在中，，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据角平分线的性质定理得到角平分线上的点到角两边的距离相等，结合内切圆的特点得到即为所求点位置； 【小问2详解】 解：∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，即， 在中，，即， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用无刻度的直尺和圆规作垂直，角平分线，圆心的确定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键． 24. 如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发． （1）当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ； （2）当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一成方程、解直角三角形、一元一成方程的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形、运用解直角三角形解决实际问题成为解题的关键． （1）先分别表示出渔船、快艇的路程，然后根据各自出发地的距离相等列出方程即可； （2）先根据题意作出辅助线、构造直角三角形可得，，．在中解直角三角形可得，在中，解直角三角形可得，然后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为， 所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程． 【小问2详解】 解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线． 由题意得，，． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ． ，， ，解得． 25. 某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q= （1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式； （2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元） ①求w关于t的函数解析式； ②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值． 【答案】（1）P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=240；当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88；②此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨． 【解析】 【分析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2； （2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式； ②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案． 【详解】解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b， 将A（8，10）、B（24，26）代入，得： ， 解得：， ∴P=t+2； （2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240； 当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16； 当12＜t≤24时，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88； ②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2， ∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大， 当2（t+3）2-2=336时，解题t=10或t=-16（舍）， 当t=12时，w取得最大值，最大值为448， 此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14； 当12＜t≤24时，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529， 当t=12时，w取得最小值448， 由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25， ∴当12＜t≤17时，448＜w≤513， 此时P=t+2的最小值为14，最大值为19； 综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题的关键． 26. 已知二次函数 (a是常数，a≠0)． （1）若，求该函数图像顶点坐标． （2）若该二次函数经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． （3）若，当时，的最大值记为m，最小值记为n，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于的式子表示出、． （1）当时，二次函数，化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式； （3）二次函数，由得出，抛物线开口向下，即可得出时，，时，，进而得出，根据求得最小值为． 【小问1详解】 解：当时，二次函数， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解： ， 当时，，因此不过点， 当时，，因此不过点， 故抛物线过点，代入得，， ， 抛物线的关系式为； 【小问3详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， ， ，抛物线开口向下， 时，的最大值记为，最小值记为， 时，，时，， ，， ， ， ， 当时，有最小值，为． 27. 小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型：如图（1），在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分别是AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ，连接CE，则CE的长为　 　（直接填空） 问题变式：（1）如图（2），小明让矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至点E恰好落在AD上，连接CE、DQ，请帮助小明求出CE和DQ的长，并求DQ：CE的值． （2）如图（3），当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断DQ：CE的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展：若将“问题原型”中的矩形ABCD改变为平行四边形ABCD，且AB＝3，AD＝7，∠B＝45°，P、Q分别是AB、AD边上的点，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ为邻边作平行四边形APEQ．当平行四边形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（4）位置时，连接CE、DQ．请帮助小明求出DQ：CE的值． 【答案】问题原型：（1）CE＝5； 问题变式：（1）CE＝3，DQ＝，DQ：CE＝4：5； （2）不变，理由如下：连接AE、AC， 由旋转可知：∠QAD＝∠EAC， 由勾股定理可知：AC＝10，AE＝5， ∴，， ∴， ∴△ACE∽△ADQ， ∴； 问题拓展：＝ 【解析】 【分析】问题原型：如图1中，延长PE交CD于H，则四边形QEHD是矩形．在Rt△CEH中，利用勾股定理即可解决问题； 问题变式：（1）如图2中，作FQ⊥AD于F．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CE、DQ即可解决问题； （2）不变．理由如下：连接AE、AC．只要证明△ACE∽△ADQ，列比例式即可解决问题； 问题拓展：在图4中，计算AC的长，同理得△ACE∽△ADQ，通过计算即可解决问题． 【详解】问题原型： 如图1中，延长PE交CD于H，则四边形QEHD是矩形， 在Rt△CEH中，EH＝DQ＝4，CH＝PB＝AP＝3， ∴CE＝＝5， 故答案为5； 问题变式： （1）如图2中，过Q作QF⊥AD于F， 在矩形APEQ中，∵AP＝3，EP＝4， ∴AE＝5，ED＝8﹣5＝3， 在Rt△CED中，CE＝＝3， ∵∠QAF＝∠QAE，∠AFQ＝∠AQE＝90°， ∴△AQF∽△AEQ， ∴， ∴， ∴FQ＝， ∴AF＝， ∴DF＝8﹣=， 由勾股定理得：DQ＝， ∴DQ：CE＝：3＝4：5； （2）略 问题拓展：如图4中，过A作AH⊥BC于H，连接AC， ∵∠B＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∵AB＝3， ∴AH＝BH＝3 ∴CH＝7﹣3＝4， 由勾股定理得：AC＝＝5， ∴， 如图5，连接AE、AC， 同理▱APEQ中，AP＝，PE＝，得AE＝， ∴， 由旋转得：∠QAD＝∠EAC， ∴△ACE∽△ADQ，可得：． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $