精品解析：江苏省苏州市立达中学2025年中考数学二模试卷

2024-2025学年第二学期初三立达二模 一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 月亮离地球的平均距离约384000千米，这个数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ） 时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上 人数 5 12 28 25 17 13 A. 3-3.5小时 B. 3.5-4小时 C. 4-4.5小时 D. 4.5-5小时 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 10. 因式分解：__________． 11. 已知代数式，则代数式的值是_____． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 13. 如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 14. 若点，，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为_____． 15. 如图，等腰的腰长为，顶角，是边上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接，的最大值是_____． 16. 已知中，，，将绕边中点旋转，得到，当经过点时，长为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 22. “江苏之美，一步一景，一城一故事”，年的“五一”假期，江苏省各景区迎来了客流高峰，某校七年级数学兴趣小组就“最想去的江苏旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供五个具体选项（要求每位同学选一个且不能选一个最想去的景点）：．南京，．苏州，．无锡，．扬州，．镇江．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了_____名学生，扇形统计图中_____度； （2）请将本题中的条形统计图补充完整； （3）若该校共有名学生，请根据上述调查结果估计该校选择最想去“．苏州”的学生共有多少名? 23. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 25. 如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，的面积为2，求的面积． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 27. 实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知纸片为菱形，其边长为4，一个内角； （1）如图，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学则利用轴对称图形对应边相等这一性质；请聪明的你利用提示来求出线段的长度； （2）如图，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，那么此时线段的长度是多少呢？ （3）如图，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于S，T两点，若，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期初三立达二模 一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：2的相反数是， 故选：C． 2. 月亮离地球的平均距离约384000千米，这个数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， 故答案为：C． 3. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】A．，不符合题意 B．，不符合题意 C．，不符合题意 D．，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变． 4. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠5=40°，再由平行线的性质得到∠4=∠5=40°，则∠3=∠2+∠4=70°． 【详解】解：如图所示，∵∠1=140°， ∴∠5=180°-∠1=40°， ∵m∥n， ∴∠4=∠5=40°， ∴∠3=∠2+∠4=70°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形外角的性质与平行线的性质是解题的关键． 6. 近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ） 时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上 人数 5 12 28 25 17 13 A. 3-3.5小时 B. 3.5-4小时 C. 4-4.5小时 D. 4.5-5小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的判断， 根据定义解答即可，将一组数据从大到小（从小到大）排列，最中间的一个或两个的平均数是这组数据的中位数. 【详解】解：前三组总人数为，所以第50,51个数都在4-4.5小时内，所以中位数落在4-4.5小时. 故选：C. 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 8. 如图，四边形是矩形，过点的直线分别与，的延长线交于点，，且，点，分别在，上，且，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据矩形的性质、相似三角形的判定和性质即可判断①②，过点作，交的延长线于点，连接，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断③④，解答本题的关键是理解题意，综合运用这些知识点依次判断即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ，， ． ，， ． ， ， ， ． ， △△， ， 选项①、②都是正确的； 如图，过点作，交的延长线于点，连接， ， 在和中， ， ， ，，． ， ． 在中，根据勾股定理，得， ． ，， 垂直平分， ， ， 选项③正确， 由所给条件无法证明， 选项④不正确； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 11. 已知代数式，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为4，点O是的中点，以点O为圆心作弧，与相切，交，于点E，F．将扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，解直角三角形，先根据相切得到圆的半径，然后根据余弦得到圆心角，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形与边切于点G，则， ∵是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 而点为边的中点， ， 在中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴圆锥的底面圆周长为， ∴该圆锥的底面半径长为． 故答案为：． 14. 若点，，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的自变量的大小，可证明，则反比例函数的图像经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x增大而增大，再由即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等腰的腰长为，顶角，是边上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接，的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，解直角三角形，过点B作于H，连接，解直角三角形得到，由等面积法可得，过点F作交延长线于G，可证明，设，则，解直角三角形得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点F作交延长线于G， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 故答案为：． 16. 已知中，，，将绕边中点旋转，得到，当经过点时，长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点O，连接，过点A作于G，利用勾股定理得到，则，解直角三角形得到，证明，则可求出，，，；连接，过点P作于T，由旋转的性质可得 ，，，，证明，，则可得到，；证明，得到，再由，可设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，取中点O，连接，过点A作于G， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，连接，过点P作于T， ∵H为中点， ∴， 由旋转的性质可得 ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】按照乘方，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂的性质化简，进行计算即可解答 【详解】解：原式 【点睛】此题考查算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 20. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. “双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，红星中学开展了丰宫多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大版块课程（依次记为A，B，C，D．若该校小慧和小丽随机选择一个版块课程． （1）小慧选科普活动课程的概率是___________； （2）用画树状图取列表的方法，求小慧和小丽选同一个版块课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 小慧选科普活动课程的概率是 ， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小慧和小丽选同一个板块课程的概率为 22. “江苏之美，一步一景，一城一故事”，年的“五一”假期，江苏省各景区迎来了客流高峰，某校七年级数学兴趣小组就“最想去的江苏旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供五个具体选项（要求每位同学选一个且不能选一个最想去的景点）：．南京，．苏州，．无锡，．扬州，．镇江．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了_____名学生，扇形统计图中_____度； （2）请将本题中的条形统计图补充完整； （3）若该校共有名学生，请根据上述调查结果估计该校选择最想去“．苏州”的学生共有多少名? 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如图， （3）估计该校选择最想去“．苏州”的学生共有名． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、求扇形统计图圆心角的度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）由想去“．苏州”的学生学生数除以所占比例即可得出总人数，然后减去想去“．南京，．苏州，．扬州，．镇江”人数得出想去“．无锡”人数，再由乘以所占的比例即可得出； （）根据（）中想去“．无锡”人数，补全统计图即可； （）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：此次调查一共随机抽取了学生（名）， 想去“．无锡”人数为：（名）， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计该校选择最想去“．苏州”的学生共有（名）， 答：估计该校选择最想去“．苏州”的学生共有名． 23. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 25. 如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，的面积为2，求的面积． 【答案】（1）证明：∵为的直径，点在上， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）证明：连接，过点作交于，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； （3）72 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可推得，根据等角的余角相等可推得，即可证明； （2）连接，过点作交于，根据角平分线的性质可得，根据等角对等边可推得是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得三点共线，即可证明； （3）根据正切的定义可得，设，则，根据勾股定理推得，结合（2）中结论可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，推得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为，且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图像上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数的图像交二次函数于M，N两点，当抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大时，在这条直线上是否存在一点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 解：不存在，理由如下： ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点，设该点为， ∵， ∴，对称轴为直线， ∴当直线时，抛物线的顶点到一次函数的图像的距离最大； 设直线与对称轴的交点为，过点作对称轴， ∴， ∴，， ∵直线 ∴为等腰直角三角形， ∴为的中点， ∴， 把代入，得：，解得：； ∴， 假设存在点使，则：， ∵， ∴， 整理，得：， ∴， ∴此方程无解，假设不成立，即不存在． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）易得直线恒过点，设点，进而得到得到直线的时候，距离最大，设直线与对称轴交于点，过点作垂直于对称轴，易得为等腰直角三角形，进而求出点坐标，求出直线解析式，假设存在点使，根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ ∴综上所述，点的横坐标为或． 【小问3详解】 略 27. 实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知纸片为菱形，其边长为4，一个内角； （1）如图，他们将沿直线翻折得到，使得点正好落在边上，且，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学则利用轴对称图形对应边相等这一性质；请聪明的你利用提示来求出线段的长度； （2）如图，两位同学又将沿直线翻折得到，使得点正好是边的中点，那么此时线段的长度是多少呢？ （3）如图，点为边上一点，将沿直线翻折得到，，的延长线分别交于S，T两点，若，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）第一个同学的思路：作于，设，则，根据，，建立方程即可求出，进而得解； 第二个同学的思路：作于，于，推出四边形是矩形，求出，根据，求出，进而可得，，，即可求解； （2）作，交的延长线于点，解直角三角形求得，，设，则，由勾股定理勾股定理得，解之得解； （3）作，交的延长线于点，作于，设与交于点，由，求得，，进而得，由勾股定理得，证明，根据，求得，进而得，同法可求，进而可得，，证明，得，即可求解． 【小问1详解】 解∶第一个同学的思路： 作于， ， ， 由折叠可得， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ； 第二个同学的思路： 作于，于， ，， ， 四边形是矩形， ， 在菱形中，，， 在中， ， ， 由翻折得，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：作，交的延长线于点， ， ， ， 点正好是边的中点，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理勾股定理得，， 即， 解得， 即； 【小问3详解】 解：作，交的延长线于点，作于，设与交于点， ， ， ， ， ，， ， ， 将沿直线翻折得到， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形性质的综合运用，涉及翻折的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识，综合性质强，有一定难度，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $