精品解析：北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试卷

延庆区2024-2025学年第二学期期中试卷 七年级数学 2025.04 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共20分，每小题2分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 同旁内角互补 5. 如果是关于方程的解，那么等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 7. 已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用8个大小相同的小长方形拼成一个宽为的大长方形，则大长方形的面积为（ ） A. 5400 B. 864 C. 675 D. 45 二、填空题（共16分，每小题2分） 11. 如图，直线交于点，若，则的度数为___________． 12. 把“与的平方差是负数”用不等式表示为___________． 13. 不等式﹣2x≥4的解集是______． 14. 如图，在四边形中，点在边的延长线上，连接，如果添加一个条件，使得，那么可添加的条件为___________（写出一个即可）． 15. 已知关于方程组的解是，则的值为___________． 16. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 17. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________． 18. 我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 三、解答题（共64分：19题8分；20题15分；21题4分；22-24题，每小题5分；25题3分；26题6分；27题7分；28题6分） 19. 按要求解下列不等式（组） （1）解不等式：，并把它解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 20. 解下列方程组： （1） （2） （3） 21. 已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 22 如图，直线相交于点，平分． （1）对顶角是___________； （2）若，求的度数． 23. 已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 24. 如图，，于点，于点．求证：． 25. 某同学在做练习“平移，使得点移动到点，作出平移后的”时，不小心将画图的步骤弄乱了： ①分别过做直线的平行线； ②连接； ③连接； ④在直线上截取，在直线上截取上． 请完成下面的问题： （1）请按照正确的画图步骤排序：___________； （2）画出平移后的图形． 26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车出租公司计划购进一批新能源汽车，据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元． （1）问、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用1000万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且计划投入的资金正好用完，问共有几种购买方案？ 27. 已知：点在直线上，线段，过点作，与的延长线交点． （1）如图1，点在点，点之间； ①按题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，点在点右侧； ①按题意补全图形； ②若，则的度数为___________．（用含的式子表示） 28. 给出如下定义：对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式为“包含”．例如：对于不等式和，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“包含”． （1）判断不等式和是否是“包含”，并说明理由； （2）若不等式和是“包含”，求的取值范围； （3）若不等式和是“包含”，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延庆区2024-2025学年第二学期期中试卷 七年级数学 2025.04 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共20分，每小题2分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，将选项中的各组数值代入验证等式是否成立即可得到答案．理解二元一次方程的解是解决问题的关键． 【详解】解：A、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； B、将代入二元一次方程， 则，故该选项符合题意； C、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； D、将代入二元一次方程， 则，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式解集，根据不等式，从数轴上表示数的点出发，按照向左，没有画空心圈画出图形即可得到答案．熟练掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示不等式的解集，正确的是 故选：D． 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案． 【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意； B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等； B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角； C、正确，必须强调在同一平面内； D、错误，两直线平行同旁内角才互补． 故选：C． 【点睛】主要考查命题的真假判断与平行线的性质、对顶角的特点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 如果是关于的方程的解，那么等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程解的定义，将代入关于的方程，解一元一次方程即可得到答案．熟记二元一次方程解的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的方程的解， ，解得， 故选：A． 6. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】∵∠DPF=∠BAF， ∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 7. 已知：是方程的三个解，是方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解，由题意求解即可得到答案，理解二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得二元一次方程组， 结合二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解一定是构成方程组中每一个方程的解， 是方程的三个解；是方程的三个解， 元一次方程组的解是， 故选：C． 8. 如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，涉及两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等等知识．熟记平行线的性质逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：， ，故①一定正确； 与是否平行不确定， 不一定与相等，故②不一定成立； ， ，故③一定正确； ， ，故④一定正确； 综上所述，结论一定正确的是①③④， 故选：D． 9. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，是解题的关键．设共有人，有辆车，根据每3人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，列出方程组即可． 【详解】解：设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为： ， 故选：B． 10. 如图，用8个大小相同的小长方形拼成一个宽为的大长方形，则大长方形的面积为（ ） A. 5400 B. 864 C. 675 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则：由图可知： ，解得：， ∴大长方形的面积为； 故选A． 二、填空题（共16分，每小题2分） 11. 如图，直线交于点，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵直线交于点，若， ∴． 故答案为：． 12. 把“与的平方差是负数”用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据题意得，即可求解；理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 13. 不等式﹣2x≥4的解集是______． 【答案】x≤﹣2 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：﹣2x≥4， x≤﹣2， 故答案为：x≤﹣2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 14. 如图，在四边形中，点在边的延长线上，连接，如果添加一个条件，使得，那么可添加的条件为___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行；据此即可求解． 【详解】解：添加的条件为：， 理由：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知关于的方程组的解是，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程组的解是， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：由方程是关于x，y的二元一次方程， 得|n|＝1且n﹣1≠0； 解得n＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 17. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由不等式组解集求参数范围，涉及不等式组的解法，先解不等式组中的不等式，再由不等式组解集即可得到答案．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组的解集为， ， 故答案为：． 18. 我们规定一个新数“”，使其满足，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 那么___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数运算，数字变化规律， ①根据题中给出的运算法则将变形为，再代入计算即可； ②先找到规律，发现每四个数为一个周期，相加和为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：①；②． 三、解答题（共64分：19题8分；20题15分；21题4分；22-24题，每小题5分；25题3分；26题6分；27题7分；28题6分） 19. 按要求解下列不等式（组） （1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1） （2）．所有整数解是． 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式（组），掌握不等式的性质是关键． （1）根据不等式的性质求解，并把解集表示在数轴上即可； （2）根据不等式的性质求解，再根据不等组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，最后根据整数解计算即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 系数化为1，得， 这个不等式解集在数轴上表示为： 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的所有整数解是． 20. 解下列方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组等知识点，掌握加减消元法成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）①可得③，然后运用加减消元法求解即可； （3）①②可得④，③④得，解得：．进而求得x、y的值即可解答． 【小问1详解】 解： ①②，得，解得． 把带入①，得，解得：． ∴原方程组的解为：． 【小问2详解】 解： ①得，③． ②-③可得：，解得：， 把代入，解得：． ∴原方程组的解为： 【小问3详解】 解： ①②，得，即④ ③④，得，解得：． 把代入③可得：，解得：． 把代入①，得，解得：． ∴原方程组的解为： 21. 已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用两直线平行，同旁内角互补求得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（同角的补角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 22. 如图，直线相交于点，平分． （1）对顶角是___________； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2）150° 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的定义和几何图形中角度的计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此求解即可； （2）根据角平分线的定义和对顶角线段得到，设，则，根据平角的定义可得，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，的对顶角为； 【小问2详解】 解：∵平分． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴设，则． ∴． ∵， ∴ ∴．即：． ∴． 23. 已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由二元一次方程组解的情况求参数，先解二元一次方程组，再将解代入不等式得到关于不等式，即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组， ∴由①，得③， ∴由②③，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∵原方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 24. 如图，，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握行线的判定与性质定理是解题的关键． 先证明得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 25. 某同学在做练习“平移，使得点移动到点，作出平移后的”时，不小心将画图的步骤弄乱了： ①分别过做直线的平行线； ②连接； ③连接； ④在直线上截取，在直线上截取上． 请完成下面的问题： （1）请按照正确的画图步骤排序：___________； （2）画出平移后的图形． 【答案】（1）③①④② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据题意可得答案． （2）根据作图步骤直接画图即可． 【小问1详解】 解：由题意得，正确的画图步骤排序为：③①④②． 故答案为：③①④②． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车出租公司计划购进一批新能源汽车，据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元． （1）问、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用1000万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），且计划投入的资金正好用完，问共有几种购买方案？ 【答案】（1）种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元 （2）①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆，种型号的汽车8辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设种型号汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．根据2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计107万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计98万元建立方程组求解即可； （2）设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据购买费用为1000万建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． 由题意，得 解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：种型号的汽车每辆进价为16万元，种型号的汽车每辆进价为25万元． 【小问2详解】 解：设购买种型号的汽车辆，种型号的汽车辆． ∴． ∴． 根据实际意义，则均非负整数． ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∵两种型号的汽车均购买， ∴舍去． 答：所有的租车方案为：①种型号的汽车25辆，种型号的汽车24辆；②种型号的汽车50辆，种型号的汽车8辆． 27. 已知：点在直线上，线段，过点作，与的延长线交点． （1）如图1，点在点，点之间； ①按题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）如图2，点在点右侧； ①按题意补全图形； ②若，则的度数为___________．（用含的式子表示） 【答案】（1）①见解析；②．见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、垂线的性质以及三角形外角定理．关键是通过作辅助线，利用这些性质来找出角之间的关系． （1）①按题意补全图形； ②过点E作， 延长交于M，则，可得，由，则； （2）①按题意补全图形； ②过点E作，则，由，所以，可得． 【小问1详解】 解：①按题意补全图形； ②过点E作， 延长交于M， ． ． ， ． 【小问2详解】 ①按题意补全图形； ②过点E作，如上图． ，． ， ． ． ． 28. 给出如下定义：对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式为“包含”．例如：对于不等式和，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有3个整数，则称这两个不等式为“包含”． （1）判断不等式和是否是“包含”，并说明理由； （2）若不等式和是“包含”，求的取值范围； （3）若不等式和是“包含”，直接写出的值． 【答案】（1）不是，见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解，理解题中定义是解答的关键． （1）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断，即可求解； （2）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断出，即可求解； （3）分别解出两个不等式，由新定义进行判断出当时，，可判断，由新定义可得m为正整数，且，分类讨论①当时，②当时，③当时，即可求解． 【小问1详解】 解：不是“包含”，理由为： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴， ∴同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和不是“包含”； 【小问2详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“包含”， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， 当时，，此时是“包含”，不符合题意； ∵不等式和是“包含”， ∴m正整数，且，即， 当时，，此时是“包含”，不符合题意； 当时，，此时是“包含”，不符合题意； 当时，，此时是“包含”，符合题意， 综上，的值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$