精品解析：2025年四川省绵阳市富乐学校九年级中考模拟考试数学试题

初2022级5月6日中考模拟 数学科 （满分150分，120分钟完卷） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可． 【详解】解：∵=2，2的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故选B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误． 2. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000千米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：384000千米米米 故选：D． 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式因式分解，由，则，所以，然后把代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正边形（且为整数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、正边形（且为整数）是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 5. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 20242024202420242024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有π与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是无理数； B．是无理数； C．是无理数； D．20242024202420242024是整数，不是无理数． 故选：D 6. 如图，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，如图， ． 故选：B 7. 小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故A错误； B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故B正确； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故C错误； D．方差为： ，故D错误． 故选：B． 8. 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，⋯，第个数记为，则（ ） A. 20108 B. 20119 C. 20110 D. 20111 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，得到数字的规律是解题的关键．根据给出的数字，概括出，然后求得和即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，，，，⋯， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据折叠的性质，易证为等边三角形，从而得到，然后根据三角函数可求得，从而由三角形面积公式得到，最后根据扇形面积公式得到扇形面积，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 半径为， ， 将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 11. 若抛物线与轴的交点为，，顶点为，那么的面积的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、两点间的距离公式以及三角形面积公式． 通过求解抛物线与x轴的交点A和B的坐标，以及顶点C的坐标，然后利用这些坐标计算的面积，并通过分析表达式找到面积的最小值． 【详解】解：当时，则， 解得，， ， ，顶点为， 点C的纵坐标是， ∴ ， ， 当时，有最小值，是4， 的最小值是． 故选∶C． 12. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键．先去括号，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，已知，，，则的度数为______°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件， 把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解， 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， 解得：， 又 即， 即， 故答案为：且 16. 某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 17. 若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为______． 【答案】或3或0 【解析】 【分析】当a−3≠0时，二次函数图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，则△＝0，或抛物线过原点，即可求解；当a＝3时，函数为一次函数，与坐标轴只有两个交点即可求解． 【详解】解：①当a−3≠0时， 图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点， 则△＝（4a−1）−4（a−3）×4a＝0， 解得：a＝； 当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点， 即 解得：a＝0； ②当a＝3时，y＝−11x＋12，与坐标轴只有两个交点． 故答案为：或3或0． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征． 18. 如图，矩形纸片，，点在线段上，将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形求出是解题的关键．根据题意易证四边形是正方形，进而求出，得出；过点作于，与的交点记作点，连接，进而求出，再用勾股定理求出，进而得出，再用勾股定理求出，最后用面积建立方程求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，，， ， ， 将沿向下翻折，点的对应点落在线段上， ，， 四边形是正方形， 是正方形的对角线， ，， 是的中点， ， 过点作于，与的交点记作点，连接，如图所示， 在中，， ， 在中，， ， 设，则， 将四边形沿向上翻折， ，， 在中，根据勾股定理得，， , 解得， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）化简求值： ，其中是满足不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】（1）先计算负指数幂，零指数幂，然后化简二次根式，利用完全平方公式求解算术平方根，最后再从左到右进行计算即可． （2）先对括号内的分式进行通分，再将除法转化成乘法，对分式进行化简，然后解不等式组，求出其整数解，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 解 解①得，， 解②得，， 故不等式组的解集为：， 是满足不等式组的整数解 或或或， ，， 或， 那么当时，原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，零指数幂，二次根式的化简，算术平方根，分式的化简求值，解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 20. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 【答案】（1）200， （2） 条形统计图补充为： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图． （1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； （2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； 【小问2详解】 解：∵C组人数为（人）， ∴A组人数为（人）； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=． 21. 某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1），两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】（1）原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 （2）与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． 【小问2详解】 解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上点下方一点，直线与轴交于点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数图像点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意可先求得点坐标，然后由待定系数法即可求得反比例函数解析式； （2）作轴于点，于点，则，得到，结合，可求得，进而得到点的纵坐标，最后根据点在反比例函数图像上即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：直线过， ， ， ， 直线与反比例函数的图象交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据题意，作轴于点，于点，如图所示， 则， ， ， ，， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点为反比例函数图象上点下方一点， 点的横坐标为， ． 23. 如图，以的边为直径的经过边的中点，点为上的点，连接，，，若点恰好是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弦的长； （3）连接，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， 是直径，点恰好是弧的中点， ， ， 是直径， 是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明是的中位线，可得，，再证明，从而得证； （2）过点作于，先证明是等腰直角三角形，由勾股定理，可求得，不妨设，，利用求得，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，最后在中利用勾股定理求得，从而得出答案； （3）过点作于，利用求得，再由勾股定理求得的长，然后求得求得，最后求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，如图所示： 是直径， ， 点恰好是弧的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 不妨设，， ， ， （舍去负值）， ，， ，， ， ，，， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于，如图所示：     ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了考查了切线的判定、三角形的中位线、勾股定理、圆周角定理及其推论，解直角三角形，解题的关键是通过作恰当辅助线解决问题． 24. 在中，点C在直线的上方． （1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； （2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）过点C作的平行线交于点G， ∵ ，， ∴A、C、E、B四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，对运用勾股定理求解即可； （2）过点C作的平行线交于点G，则A、C、E、B四点共圆，先证明四边形是平行四边形，再由“”证明，即可得证； （3）记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，先证明，得，再通过证明出，则，由即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 则（负值舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，则， ∵， ∴ ∴， ∵点K为中点，且 ∴， ∵， ∴， ∴， 而，点K为中点， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，当O、P、K三点共线时，等号成立， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，圆周角定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，P的坐标为 （3）G的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可； （2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线解析式为，进而求出直线解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， 过A作于G， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴直线解析式可设为， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，P的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 当G在x轴上方时， 设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接， ∴，， 过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 综上，G的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2022级5月6日中考模拟 数学科 （满分150分，120分钟完卷） 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的算术平方根为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000千米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正边形（且为整数） 5. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 20242024202420242024 6. 如图，该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 7. 小亮每天坚持体育锻炼，他记录了自己一周内每天锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 8. 如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，⋯，第个数记为，则（ ） A. 20108 B. 20119 C. 20110 D. 20111 9. 如图，扇形的圆心角是，半径为，点是上一点，将沿边翻折，圆心恰好落在弧上的点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 11. 若抛物线与轴的交点为，，顶点为，那么的面积的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 12. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 因式分解：________． 14. 如图，已知，，，则的度数为______°． 15. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 16. 某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价______元． 17. 若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为______． 18. 如图，矩形纸片，，点在线段上，将沿向下翻折，点的对应点落在线段上，点，分别是线段与线段上的点，将四边形沿向上翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为________． 三、解答题（共90分） 19. （1）计算：． （2）化简求值： ，其中是满足不等式组的整数解． 20. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 21. 某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 （1），两种原料每吨的进价各是多少元？ （2）已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上点下方一点，直线与轴交于点，且满足，求点的坐标． 23. 如图，以的边为直径的经过边的中点，点为上的点，连接，，，若点恰好是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求弦的长； （3）连接，在（2）的条件下，求的值． 24. 在中，点C在直线的上方． （1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长； （2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $