专题1.2 集合的基本关系（7类必考点）-2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

专题1.2 集合的基本关系 【知识梳理】 1 【考点1：集合的子集】 2 【考点2：集合的真子集】 3 【考点3：集合包含关系的判断】 4 【考点4：集合子集的个数】 5 【考点5：集合真子集的个数】 5 【考点6：空集】 6 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 7 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：集合的子集】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【考点2：集合的真子集】 1．（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（多选）（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【考点4：集合子集的个数】 1．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 4．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 5．（23-24高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 6．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【考点5：集合真子集的个数】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 3．（24-25高一上·湖南·期中）设集合均为质数的真子集的个数为 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【考点6：空集】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 7．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 5．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 8．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合的基本关系 【知识梳理】 1 【考点1：集合的子集】 2 【考点2：集合的真子集】 5 【考点3：集合包含关系的判断】 7 【考点4：集合子集的个数】 9 【考点5：集合真子集的个数】 11 【考点6：空集】 13 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 16 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：集合的子集】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 3．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一·全国·课后作业）满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 5．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出含有每个元素的集合个数，再求和计算可得结果. 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 【考点2：集合的真子集】 1．（24-25高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 3．（多选）（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合的所有非空真子集的元素之和为21，则 . 【答案】2 【分析】先写出集合的所有非空真子集，再将所有元素之和即可求解. 【详解】的非空真子集为 ， 则所有非空真子集的元素之和为，故. 故答案为：2. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 6．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集． 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【详解】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且， 故选：B． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合A与B之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，再进行选项判断. 【详解】集合A中所有的元素都是集合B的子集， 即集合A是由集合B的子集组成的集合， 所以， 故B是集合A中的一个元素，D正确． 故选：D 4．（多选）（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的子集关系以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】由可得，故，, , , AC正确，BD错误， 故选：AC 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 【考点4：集合子集的个数】 1．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【详解】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B 4．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 5．（23-24高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 6．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 . 【答案】19 【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案. 【详解】当时， 若为二元集：如，共有15种， 若为三元集：如共有4种， 所以总共有：种； 故答案为：19. 【考点5：集合真子集的个数】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可. 【详解】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 3．（24-25高一上·湖南·期中）设集合均为质数的真子集的个数为 ． 【答案】31 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其真子集个数. 【详解】依题意，， 所以集合的真子集的个数为. 故答案为：31 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 5．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【分析】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【详解】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B 【考点6：空集】 1．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 4．（多选）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误. 【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错 对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对； 对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错； 对于D，对于方程，， 故方程无解，即，故D对. 故选：BD 5．（多选）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D. 【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误； 空集是任何集合的子集，则，故B正确； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确； 空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：，所以． 故答案为：. 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 2．（2025·四川成都·三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 3．（23-24高二下·吉林通化·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 5．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 8．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$