专题1.1 集合的概念（9类必考点）2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念 【知识梳理】 1 【考点1：集合的概念】 2 【考点2：集合的表示方法】 3 【考点3：集合相等】 6 【考点4：判断元素与集合的关系】 7 【考点5：根据元素与集合的关系求参数】 9 【考点6：集合中元素的特性】 12 【考点7：根据元素的特性求参数】 14 【考点8：常用数集或数集关系应用】 18 【考点9：集合的分类】 20 【知识梳理】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5. 集合的表示方法 ①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． ②描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ③图示法：又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【考点1：集合的概念】 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 【答案】B 【分析】根据集合元素的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】ACD选项中的对象不满足确定性，ACD选项中的对象不能构成集合； B选项中的对象满足确定性、互异性和无序性，B选项中的对象可以构成集合. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 【考点2：集合的表示方法】 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的表示方法进行回答. 【详解】①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出． 4．（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 5．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【考点3：集合相等】 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 5．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 6．（24-25高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 【考点4：判断元素与集合的关系】 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 【考点5：根据元素与集合的关系求参数】 1．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 6．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 【考点6：集合中元素的特性】 1．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性即可判断得解. 【详解】由，，，为集合中的4个元素，得，，，两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等， 则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，ABD不是； 又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，C是. 故选：C 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 5．（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】BD 【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误； 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确； 对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误； 对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确； 故选：BD. 【考点7：根据元素的特性求参数】 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    【答案】4 【分析】由直角三角形性质可得或，后由勾股定理结合集合互异性可得答案. 【详解】如图，因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 由集合的互异性，可知3需舍去； 当，可分为： ，解得； ，解得； ，解得； 综上，的值可能为. 故答案为：4    5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【考点8：常用数集或数集关系应用】 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 2．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知，使代数式的值为有理数的的集合是（    ） A． B． C．使的集合 D．使的集合 【答案】B 【分析】根据分母有理化化简后的结果判断可得． 【详解】，则， 故选：B． 4．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）集合可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 当时，显然不成立， 当时，可得，不符合题意， 所以集合可以表示为集合. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北廊坊·期末）下面说法中正确的是（    ） A．集合中最小的数是1 B．若，则 C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是 【答案】AC 【分析】根据正整数集的含义即可判断A，B，C的正误，根据集合中列举法即可判断D选项的正误. 【详解】对于A，因为是正整数集，而最小的正整数是1，故A正确； 对于B，当时，，且，故B错误； 对于C，若，则的最小值是1，若，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取得最小值2，故C正确； 对于D，由得，解得，故其解集为，而不符合集合的表示方法，故D错误. 故选：AC． 6．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【答案】AD 【分析】化简集合判断A；利用集合的意义及集合的表示法判断B，C，D作答. 【详解】对于A，由，得或或，而， 因此集合用列举法表示为{0，1}，A正确； 对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合， 所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由，得且，则所有解组成的集合为，D正确. 故选：AD 【考点9：集合的分类】 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 2．（多选）（24-24高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 3．（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念 【知识梳理】 1 【考点1：集合的概念】 2 【考点2：集合的表示方法】 2 【考点3：集合相等】 4 【考点4：判断元素与集合的关系】 4 【考点5：根据元素与集合的关系求参数】 5 【考点6：集合中元素的特性】 6 【考点7：根据元素的特性求参数】 7 【考点8：常用数集或数集关系应用】 8 【考点9：集合的分类】 8 【知识梳理】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 4．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 5. 集合的表示方法 ①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． ②描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ③图示法：又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【考点1：集合的概念】 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·阶段练习）下列各组对象可以组成集合的是（  ） A．相当大的数 B．某中学今年所有入校的高一新生 C．课本上较难的题 D．某班高个子的学生 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 4．（24-25高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【考点2：集合的表示方法】 1．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 4．（2025高一·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 5．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【考点3：集合相等】 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 3．（24-25高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 4．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 5．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【考点4：判断元素与集合的关系】 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 4．（24-25高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【考点5：根据元素与集合的关系求参数】 1．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则的值为 ． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 6．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【考点6：集合中元素的特性】 1．（24-25高一上·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 4．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 5．（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【考点7：根据元素的特性求参数】 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．    5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【考点8：常用数集或数集关系应用】 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知，使代数式的值为有理数的的集合是（    ） A． B． C．使的集合 D．使的集合 4．（24-25高一上·北京西城·阶段练习）集合可以用列举法表示为 . 5．（23-24高一上·河北廊坊·期末）下面说法中正确的是（    ） A．集合中最小的数是1 B．若，则 C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是 6．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．集合用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【考点9：集合的分类】 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 2．（多选）（24-24高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 3．（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)我国的少数民族组成的集合. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$