精品解析：2025年福建省厦门市集美区九年级数学中考模拟试题

2025年集美区初中毕业年级模拟考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 的相反数是2， 故选D． 2. 不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，这个球是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，得出总球数为 ，结合概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球，3个黑球， ∴从袋子中随机取出一个红球的概率是， 故选：A 3. 2025年“五一”假日，全省文旅系统深度融合文旅资源，精心策划假日文旅“大餐”，推出各类优质文化活动和新潮玩法，群众出游热情高涨．据测算，今年“五一”期间，福建省累计接待游客约人次，将数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中， 为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数字用科学记数法表示为 故选：C 4. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．根据因式分解法法求解即可． 【详解】解： ， 一元二次方程的根为：，， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、和 不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在矩形 中，，将该矩形绕直线 旋转一周可得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解： 四边形 是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线 旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 7. 某学校随机抽取50名九年级学生进行视力检查，检查数据的统计结果如下表，若该校九年级有500名学生，根据表一估计该校九年级学生视力不低于的人数大约为（ ） 视力x 人数 5 10 10 15 10 A. 10 B. 50 C. 100 D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，解题的关键是先求出样本中不低于5.0的人数所占百分比，再估计总体即可． 【详解】解：不低于5.0的人数比例为：， 若该校九年级有500名学生， 根据表一估计该校九年级学生视力不低于的人数大约为：（人）， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为，以点O为位似中心，将线段 放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系位似变换．利用 点和点的坐标特征得到相似比，把 放大2倍得到，然后把 点的横纵坐标都乘以2得到点坐标． 【详解】∵线段 两端点坐标分别为，以原点O为位似中心，将线段 放大后得到对应线段，若的坐标为， ∴对应点在原点的两侧，且位似比为，则的坐标为 ． 故选：A. 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻 （单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线 交的图象于点 ，交的图象于点 ，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形 的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数 的几何意义，设，对于 所在的曲线，；对于 所在的曲线，；数形结合得到矩形 的面积，即矩形 的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数 的几何意义，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，设， 对于 所在的曲线，；对于 所在的曲线，； 矩形 的面积， 即矩形 的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值， 故选：B． 10. 抛物线 经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据点和纵坐标相同，得出抛物线对称轴为：，结合，得出，再分为 和分别求解即可． 【详解】解：∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为：， ∵， ∴， 解得：， 当 时，，即抛物线与y轴交点坐标为， 当 时，抛物线开口向上，函数值随距离对称轴的水平距离增大而增大． ∵点和到对称轴的距离相等，均为2， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵，故，距离大于2 ， ∴点到对称轴的距离最大，其次是点，， ∴， 当时，抛物线开口向下，函数值随距离对称轴的水平距离增大而减小． 同理可得，， 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键；根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解． 【详解】解：如果上升，记作，那么温度下降记作， 故答案为： ． 12. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．根据不等式的性质移项合并、系数化1求解即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． 13. 正六边形的中心角等于______度． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可. 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角= 故答案为：60° 【点睛】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念 14. 如图，在中，相交于点O，过点A作于点E，若，则 的长度为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，掌握这些知识是关键．由勾股定理求得的长，再由平行四边形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵四边形 是平行四边形， ∴O是的中点； ∵， ∴； 故答案为：5． 15. 如图， ，， ，是上的四个点，的半径为，， 平分 ，连接 ， ．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．连接 ，根据弧长公式得，根据 平分 ，得，根据等弧所对的圆心角相等得，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ， 设， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 16. 观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，两个两位数相乘，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等，据此求解即可． 【详解】解：①，，即； ②，即； ③，即； ……， 以此类推，可知，如果它们十位上两个数相乘的积等于个位数两个数相乘的积，那么把每个数的十位上的数字与它的个位上的数字交换位置，得到新的两个两位数的乘积与原来两个两位数的乘积相等， ∴满足题意得式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、零次幂、化简绝对值，先化简算术平方根、零次幂、绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 如图，四边形 是正方形，点 在 上，点 在 的延长线上，且，连接．证明：． 【答案】 证明：∵ 四边形 是正方形， ∴． ∵点F在 的延长线上， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴， ∴即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和定理判定三角形全等，然后根据全等三角形的性质求解． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 20. 某公司有甲、乙两个销售部门负责不同地区的销售业务，公司为了调动各部门销售员的积极性，将根据销售情况对销售员进行奖励．公司对甲、乙两个销售部门各20名销售员当月的销售额进行统计，甲部门的销售员的销售情况如图，乙部门的销售员的销售额的分析结果如表． 平均数 中位数 众数 万元 17万元 17万元 （1）求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数； （2）公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销售员．小明、小红分别是甲、乙两个部门的销售员，他们这个月的销售额都是18万元，你认为小明和小红谁更有机会获得奖励？并说明理由． 【答案】（1）众数为19万元，平均数为18万元 （2） 认为小红更有机会获得奖励，理由如下： 根据图6中数据可知，甲部门销售员当月销售额的中位数为19万元，小明的销售额是18万元，按销售额排名在12位， 根据表二数据可知，乙部门销售员当月销售额的中位数为17万元，小红的销售额也是18万元，按销售额排名在第10位之前， 相较之下小红在自己部门的排名更靠前，所以小红更有机会获得奖励． 【解析】 【分析】本题考查了求众数、平均数、利用中位数决策，解题的关键是求出相应的数据， （1）直接利用众数、平均数的概念，结合条形图进行求解即可； （2）利用中位数进行决策即可． 【小问1详解】 解：根据图6中数据，甲部门销售员当月销售额的众数为19万元； 甲部门销售员当月销售额的平均数为： （万元）． 所以甲部门销售员当月销售额的众数为19万元，平均数为18万元． 【小问2详解】 略 21. 蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过 ，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时至8时的霜冻预警，室外气温y（单位：）随时间x（单位： ）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． （1）当时，求y与x的函数解析式； （2）为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．若该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，估计是否可以避免该大棚蔬菜遭受冻害？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：估计可以避免该蔬菜大棚遭受冻害，理由如下： 令，则， 解得 ， 所以从2时开始大棚蔬菜处在以下的气温条件． 在5时，大棚内的温度若能大于，就不会遭受冻害． 设时，y与x的函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 所以当时，y与x的函数为， 该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，即当时， 代入得，故开启恒温设备时大棚温度估计为， 因为恒温设备开启后大棚内温度将每小时匀速上升， 所以再过大棚内温度将上升， 因为， 所以估计可以避免该蔬菜大棚遭受冻害． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）设时，y与x的函数解析式为，将点，代入，再建立方程组求解即可； （2）先判断从2时开始大棚蔬菜处在以下的气温条件．在5时，大棚内的温度若能大于，就不会遭受冻害．求解当时，y与x的函数为，该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，即当时，代入得，故开启恒温设备时大棚温度估计为，再进一步分析即可. 【小问1详解】 解：设时，y与x的函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 所以当时，y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，在菱形 中，，对角线，相交于点O，点E在上，将点E绕点A逆时针旋转得到点F． （1）在图中求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，连接 交 于点G，当G是 的中点时，求的值． 【答案】（1） 如图点F即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及菱形的性质，得，再作点E关于直线 的对称点，则，得出是等边三角形，则点F满足题意，即可作答． （2）连接，．运用菱形的性质得，， ． 再证明是的中位线，根据点E绕点A逆时针旋转得到点F，得是等边三角形． 设，运用三角形函数的性质列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：作点E关于直线 的对称点． 【小问2详解】 解：连接，． ∵在菱形 中，， ∴，， ． ∵G是 的中点， ∴是的中位线， ∴， ． ∴． ∵点E绕点A逆时针旋转得到点F， ∴ ，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 设， 可得在中，， 则 ∴． ∴中， ∴． ∴． ∴在中，． 【点睛】本题考查了旋转作图，菱形的性质，中位线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求一个角的正切值，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 人行天桥能够有效提升主干道车辆通行效率，方便行人横穿主干道，在城市交通中广泛应用．路桥管理机构为方便行人使用天桥，计划在人行天桥上搭建一个顶棚，设计部门充分考虑了顶棚结构的稳定性、美观性和节省材料等因素，给出了两种顶棚支撑结构的设计方案： 方案1：如图1所示，顶棚支撑结构下方的支撑点，安装在桥面两端，安装在桥面上，上方的支撑点，安装在顶棚上，，，，，构成两个全等的直角三角形； 方案2：如图2所示，顶棚支撑结构下方的支撑点，都安装在地面上，安装在桥面上，上方的支撑点，安装在顶棚上，其中顶棚与地面不平行． 说明：搭建顶棚支撑结构的钢梁粗细，材质都相同． （1）上述方案中，顶棚支撑结构与顶棚、桥面或地面都需要构成三角形的数学道理是 ；（填序号） ①三角形的内角和等于；②三角形两边的和大于第三边；③三角形有稳定性 （2）对于方案1，若，桥面的长度为，求搭建支撑结构所需要的钢梁的长度； （参考数据：，，） （3）对于方案2，为使搭建顶棚支撑结构使用的钢梁最省，请在备用图中画出支撑点，，的位置，并简要说明作图步骤． （要求：不需要尺规作图，但需要保留必要的作图痕迹，如辅助的直线等；本小题综合画图步骤和所画的图形能推断所设计的方案是最省的才可得满分） 【答案】（1）③ （2） （3） 如图，，即为所求． 步骤：①分别作，关于顶棚的对称点，； ②作关于桥面的对称点； ③连接与桥面的交点即为，与顶棚的交点即为，连接与顶棚的交点即为． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解直角三角形的应用，轴对称性质得应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形有稳定性求解即可； （2）首先得出，，，，然后解直角三角形求出，，进而求解即可； （3）分别作，关于顶棚的对称点，；作关于桥面的对称点；连接与桥面的交点即为，与顶棚的交点即为，连接与顶棚的交点即为． 【小问1详解】 上述方案中，顶棚支撑结构与顶棚、桥面或地面都需要构成三角形的数学道理是三角形有稳定性； 故答案为：③． 【小问2详解】 由题可知，， ∴，，，， 可得在中，， ， ∴， 答：搭建支撑结构所需要的钢梁的长度为． 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）． （1）当时， ①求的面积； ②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移； （2）点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①4； ②抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度． （2）存在， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的平移是关键． （1）①求出，，即可求出答案；②求出抛物线的解析式为，即可得到解答； （2）抛物线C可化为，则假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，则抛物线为：，求出，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F，四边形是矩形，则，对角线 和互相平分，所以，所以，即， 解得． 所以P1的坐标为．所以，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：（1）①因为，抛物线C的解析式为，即， 所以． 因为当 时，， 所以． 在中，， 所以的面积为 ②假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度， 则抛物线为：， 因为平移后仍经过点P，即在抛物线上， 所以， 所以 所以的坐标为． 设直线的函数解析式为， 因为点A，P的坐标分别是，， 所以，解得． 所以的函数解析式为， 因为A，P，三点共线， 所以当时，， 所以 解得（舍去）． 所以抛物线的解析式为 所以抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度． 【小问2详解】 抛物线C可化为，则 假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度， 则抛物线为：， 因为平移后仍经过点P，即在抛物线上， 所以， 所以 如图，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F， 所以， 若四边形是矩形，则，对角线 和互相平分， 设线 和相交于点G，则G是的中点． 因为， 所以， 又， 所以， 所以，即， 解得． 所以P1的坐标为． 因为G是的中点， 所以，解得 因为，满足， 所以存在使得四边形是矩形的情形． 25. 在中，，O是射线上的动点，以 为半径作交射线于点D． （1）如图1，当 平分时，判断与 的位置关系，并证明； （2）当时， ①如图2，连接交于点E，求证：； ②如图3，分别延长至点M，N，使得，连接．延长 至点Q使得，连接．当取得最小值时，探究点O在运动过程中，是否存在的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：相切，证明如下： 如图，过点O作于点H， 在中，， ∵ 平分， ∴． ∵ 为半径， ∴ 也是半径，即点H在上， ∴与 相切； （2）①证明：连接 ， ∵在中，， ∴， ∴． ∵ 是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②存在， 【解析】 【分析】（1）过点O作于点H，由角平分线的性质可得，再由 是半径，点H在上，可得出结论； （2）①连接 ，先求得， 可得出，再由 是的直径，可得，从而得出，可证得，得出，即，可得出，再求解即可； ②过点N作交于点P，作于点G，连接，先证得，可得，当且仅当N，G，P三点共线时，取得最小值，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵在和中，， ∴， ∴， 过点N作交于点P，作于点G，连接， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 当且仅当N，G，P三点共线时，取得最小值， 此时点Q与点P重合． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解方程，切线的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线才能解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年集美区初中毕业年级模拟考试 数 学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，这个球是红球的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年“五一”假日，全省文旅系统深度融合文旅资源，精心策划假日文旅“大餐”，推出各类优质文化活动和新潮玩法，群众出游热情高涨．据测算，今年“五一”期间，福建省累计接待游客约人次，将数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，将该矩形绕直线 旋转一周可得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校随机抽取50名九年级学生进行视力检查，检查数据的统计结果如下表，若该校九年级有500名学生，根据表一估计该校九年级学生视力不低于的人数大约为（ ） 视力x 人数 5 10 10 15 10 A. 10 B. 50 C. 100 D. 400 8. 在平面直角坐标系 中，线段 的端点坐标分别为，以点O为位似中心，将线段 放大得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻 （单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点 ，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（ ） A. 经过用电器的电流的差值 B. 两款蓄电池的电压的差值 C. 当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D. 当用电器的电阻相同时的电流的差值 10. 抛物线 经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作________． 12. 不等式的解集为__________． 13. 正六边形的中心角等于______度． 14. 如图，在中，相交于点O，过点A作于点E，若，则的长度为__________． 15. 如图， ， ， ， 是 上的四个点， 的半径为，，平分 ，连接 ，．若，则的度数为__________． 16. 观察下列算式： ①，，即； ②，即； ③，即； … 我们把具有上述规律的两位数乘法算式称为“回文乘式”，根据你发现的规律，请再写一个乘数的十位与个位上的四个数字互不相同的回文乘式：__________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，四边形是正方形，点 在 上，点在的延长线上，且，连接．证明：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某公司有甲、乙两个销售部门负责不同地区的销售业务，公司为了调动各部门销售员的积极性，将根据销售情况对销售员进行奖励．公司对甲、乙两个销售部门各20名销售员当月的销售额进行统计，甲部门的销售员的销售情况如图，乙部门的销售员的销售额的分析结果如表． 平均数 中位数 众数 万元 17万元 17万元 （1）求甲部门销售员当月销售额的众数和平均数； （2）公司决定奖励在各销售部门中销售额排名比较靠前的销售员．小明、小红分别是甲、乙两个部门的销售员，他们这个月的销售额都是18万元，你认为小明和小红谁更有机会获得奖励？并说明理由． 21. 蔬菜大棚能够人为创造适宜的生态环境，调整蔬菜的生产季节，促进蔬菜优质高产．某品种大棚蔬菜处在以下的气温条件超过 ，就会遭受冻害．深秋某天，气象台发布了第二天0时至8时的霜冻预警，室外气温y（单位：）随时间x（单位： ）的变化图象（图象由两条有公共端点的线段组成）如图所示． （1）当时，求y与x的函数解析式； （2）为避免蔬菜在秋冬季节遭受冻害，农场购入一款恒温设备．未启动恒温设备时，大棚内的温度与室外气温的变化规律基本相同，启动恒温设备后，大棚内的温度将每小时匀速上升至设定温度后维持恒温．若该蔬菜大棚在第二天4时48分开启恒温设备，估计是否可以避免该大棚蔬菜遭受冻害？并说明理由． 22. 如图，在菱形中，，对角线 ， 相交于点O，点E在 上，将点E绕点A逆时针旋转得到点F． （1）在图中求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，连接 交 于点G，当G是 的中点时，求的值． 23. 人行天桥能够有效提升主干道车辆通行效率，方便行人横穿主干道，在城市交通中广泛应用．路桥管理机构为方便行人使用天桥，计划在人行天桥上搭建一个顶棚，设计部门充分考虑了顶棚结构的稳定性、美观性和节省材料等因素，给出了两种顶棚支撑结构的设计方案： 方案1：如图1所示，顶棚支撑结构下方的支撑点，安装在桥面两端，安装在桥面上，上方的支撑点，安装在顶棚上，，，，，构成两个全等的直角三角形； 方案2：如图2所示，顶棚支撑结构下方的支撑点，都安装在地面上，安装在桥面上，上方的支撑点，安装在顶棚上，其中顶棚与地面不平行． 说明：搭建顶棚支撑结构的钢梁粗细，材质都相同． （1）上述方案中，顶棚支撑结构与顶棚、桥面或地面都需要构成三角形的数学道理是 ；（填序号） ①三角形的内角和等于；②三角形两边的和大于第三边；③三角形有稳定性 （2）对于方案1，若，桥面的长度为，求搭建支撑结构所需要的钢梁的长度； （参考数据：，，） （3）对于方案2，为使搭建顶棚支撑结构使用的钢梁最省，请在备用图中画出支撑点，，的位置，并简要说明作图步骤． （要求：不需要尺规作图，但需要保留必要的作图痕迹，如辅助的直线等；本小题综合画图步骤和所画的图形能推断所设计的方案是最省的才可得满分） 24. 在平面直角坐标系 中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）． （1）当时， ①求的面积； ②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移； （2）点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 25. 在 中，，O是射线上的动点，以 为半径作 交射线于点D． （1）如图1，当 平分时，判断 与 的位置关系，并证明； （2）当时， ①如图2，连接 交 于点E，求证：； ②如图3，分别延长至点M，N，使得，连接．延长 至点Q使得，连接．当取得最小值时，探究点O在运动过程中，是否存在的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $