精品解析：江西省抚州市2024-2025学年七年级下学期4月期中联考数学试题

2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 说明：1.考试范围：七年级下册第一章～第三章． 2.本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 3.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 下列语句所描述的事件中，为不可能事件的是（ ） A. 瞎猫碰上死耗子 B. 煮熟的鸭子飞了 C. 种瓜得瓜，种豆得豆 D. 天有不测风云 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据随机事件的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、瞎猫碰上死耗子，是随机事件； B、煮熟的鸭子飞了，是不可能事件； C、种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件； D、天有不测风云，是随机事件． 故选：B． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 3. 如图，下列结论正确的是（　　） A. 与对顶角 B. 与是同位角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 4. 如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是垂线段最短； 故选：C． 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 6. 已知，，若，，请借助下图直观分析，计算的值应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题完全平方公式的知识，解题的关键是，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 春江潮水连海平，海上明月共潮生．”水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是熟悉科学记数法的一般形式． 用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案． 【详解】解：， 故答案： ． 8. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，根据，即可得到，求出m的值即可． 【详解】解：， ∴， 即， 故答案为：． 9. 如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则_______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是数形结合，根据对顶角相等，得出即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：75． 10. 在中，，，，则点C到AB的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理可证明∠C=90°，设点C到AB的距离是h，利用直角三角形的面积可得AC•BC=AB•h，再解即可． 【详解】∵92+122=152， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠C=90°， 设点C到AB的距离是h，则有 S△ABC=AC•BC=AB•h， 即×9×12=×15h， 解得：h=， 故答案为：. 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 11. 把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为_____． 【答案】25° 【解析】 【分析】本题考查了平行线的公理及性质,平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点作，则 ，，， ， ， 故答案为：． 12. 一副直角三角尺如图所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动，在旋转的过程中，当三角尺的边与三角尺的边平行时，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是利用旋转的性质得出相关角度相等． 分“”、“”、“”三种情形，分别画出相关图形，再求的度数． 【详解】①如图1，若，则， 又， ， . ②如图2，若，则. ③如图3，若，则， . 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的四则混合运算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，然后再计算加减法． （2）先计算多项式乘以多项式，单项式乘多项式，最后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据完全平方公式以及平方差公式将整式化简，然后将数值代入进去即可求得结果，正确计算是解题的关键． 详解】解： ， ∵，， ∴原式， ∴化简结果为：；代入值为：． 15. 阅读并完成下列证明． 如图，已知， ．求证：． 证明：∵ (已知)， ∴（① ）， ∴②______（③ ）． （已知）， ④ （等量代换）， （⑤ ）， （⑥ ）． 【答案】①同旁内角互补，两直线平行；②；③两直线平行，同位角相等；④；⑤内错角相等，两直线平行；⑥两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质；根据平行线的判定与性质即可求出结果． 【详解】证明：（已知）， （①同旁内角互补，两直线平行）， ②（③两直线平行，同位角相等）． （已知）， ④（等量代换）， （⑤内错角相等，两直线平行）， （⑥两直线平行，内错角相等）． 16. 为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. （1）若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? （2）若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 【答案】（1） （2）要增加1本《长征》 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解； （2）根据概率列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：总共有15本书，其中《红岩》有3本，所以从这15本书中任选一本，选中《红岩》概率为= 【小问2详解】 设要增加x本《长征》，由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. ∴要增加1本《长征》. 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，已知概率求数量，掌握概率公式是解题的关键． 17. 如图，在正方形网格内，点A，B，C都在格点上，连接，请仅用无刻度的直尺分别按下列的要求作图． （1）过点P作的平行线； （2）过点P作的垂线，垂足为N． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点，连接即可，显然，则，而，则，那么，则，那么； （2）取格点，连接，与交点即为点，那么直线即为所求，显然，则，而，那么由三角形内角和定理可得，则． 【小问1详解】 解：如图：即为所求： 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ； （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】（1）475， （2）任抽一件该产品是不合格品的概率为 （3）估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据该产品从50件增加到1000件时，该产品合格的频率趋近于，所以估计该产品合格的概率为，即可得不合格品的概率为； （3）用2乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为， ∴估计该产品不合格的概率为． 【小问3详解】 解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 19. 如图为一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，靠背与交于点N，． 　　 （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， 20. 如图，直线与相交于点O，，． （1）图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） （2）如果比的小，求的度数． 【答案】（1），；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角； （1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可； （2）设，则，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：图中与互余的角是，； 图中与互补的角是，； 【小问2详解】 解：，， ， 设，则， ， ， 解得 ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们规定：，即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例： （1）计算：_____；_____； （2）如果，那么_____；如果，那么_____； （3）如果，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值． 【答案】（1），；（2）3，；（3）a=16时，p=1；a=±4时，p=2；a=±2时，p=4 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解； （2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解； （3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解． 【详解】解：（1）；； （2）如果，则， 那么p=3； 如果，则， 那么a=； （3）由于a、p为整数， 所以当a=16时，p=1； 当a=±4时，p=2； 当a=±2时，p=4． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂：（a≠0，p为正整数），注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（-3）-2=（-3）×（-2）的错误；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 22. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． （1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：（ ）（ ） ． （2）若一个两位数，它的十位数字为1，个位数字为a，这个两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，求这个两位数． （3）设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 【答案】（1）19；9；280（答案不唯一） （2）这个两位数为12 （3）“发现”的结论正确，论证见解析 【解析】 【分析】（1）根据材料提示的信息，即可求解； （2）十位数字为，表示为，个位数字为表示为，再根据材料提示即可求解； （3）根据两位数的表示方法，完全平方公式的运算，即可求解． 【小问1详解】 解：，是的14倍，（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：十位数字为，表示为，个位数字为表示为， ∴这个两位数表示为， 根据材料提示得，， 的7倍表示为， ∴， 解得， ∴这个两位数是． 【小问3详解】 解：十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数）， ∴这个表示为， ∴，， ∴，且是的倍，且是正整数， ∴一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是的倍数，正确． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，理解定义运算的法则，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 若两个角的一组边互相平行，另一组边互相垂直，则称这两个角互为“旁系衍生角”． （1）如图1，，于点，则与互为“旁系衍生角”．当时，求的度数； （2）当为锐角时，若与两个角互为“旁系衍生角”，则这两个角的数量关系为______； （3）如图2，若，，垂足为点A，，分别平分和，且相交于点，求的度数． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据平行线的性质即可得出； （2）分两种情况进行讨论，画出图形，根据平行线的性质得出或即可； （3）先根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，用∠BAC表示出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴∠ADG=90°， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解： 如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴∠ADG=90°， ∴， 即； 如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴∠ADG=90°， ∴， ∴； 综上分析可知，当为锐角时，若与两个角互为“旁系衍生角”，则或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵BA⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴， ∴， ∵DE平分∠ADF， ∴， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 说明：1.考试范围：七年级下册第一章～第三章． 2.本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 3.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 下列语句所描述的事件中，为不可能事件的是（ ） A. 瞎猫碰上死耗子 B. 煮熟的鸭子飞了 C. 种瓜得瓜，种豆得豆 D. 天有不测风云 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列结论正确的是（　　） A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是同旁内角 D. 与是同旁内角 4. 如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，和是五线谱上的两条线，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，，请借助下图直观分析，计算的值应为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 春江潮水连海平，海上明月共潮生．”水是诗人钟爱意象，经测算，一个水分子的直径约为，数用科学记数法表示为_______． 8. 若，则______． 9. 如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，表示的点在直线b上，则_______． 10. 在中，，，，则点C到AB的距离是_____. 11. 把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为_____． 12. 一副直角三角尺如图所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动，在旋转的过程中，当三角尺的边与三角尺的边平行时，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 阅读并完成下列证明． 如图，已知， ．求证：． 证明：∵ (已知)， ∴（① ）， ∴②______（③ ）． （已知）， ④ （等量代换）， （⑤ ）， （⑥ ）． 16. 为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. （1）若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? （2）若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 17. 如图，在正方形网格内，点A，B，C都在格点上，连接，请仅用无刻度的直尺分别按下列的要求作图． （1）过点P作的平行线； （2）过点P作的垂线，垂足为N． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n （1）表格中m的值为 ，n的值为 ； （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 19. 如图为一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，靠背与交于点N，． 　　 （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 20 如图，直线与相交于点O，，． （1）图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） （2）如果比小，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们规定：，即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例： （1）计算：_____；_____； （2）如果，那么_____；如果，那么_____； （3）如果，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值． 22. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． （1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：（ ）（ ） ． （2）若一个两位数，它的十位数字为1，个位数字为a，这个两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，求这个两位数． （3）设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，，且x，y为正整数），请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 六、解答题（本大题共12分） 23. 若两个角的一组边互相平行，另一组边互相垂直，则称这两个角互为“旁系衍生角”． （1）如图1，，于点，则与互为“旁系衍生角”．当时，求的度数； （2）当为锐角时，若与两个角互为“旁系衍生角”，则这两个角数量关系为______； （3）如图2，若，，垂足为点A，，分别平分和，且相交于点，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$