精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 计算的值是 （ ） A. B. C. D. 2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 3. ､是两个不重合的平面，､ 是两条不同的直线，在下列条件下，可判定的是（ ） A. ､都平行于直线､ B. 内有三个不共线的点到的距离相等 C. ､是内的两条直线且， D. ､是两条异面直线且，，， 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（ ） A. B. C. D. 5. 在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（ ）（参考数据：） A. 这两碗馅料最多可包三角粽35个 B. 这两碗馅料最多可包三角粽36个 C. 这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D. 这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数__________. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 四中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距24米的两点A、B，分别测得楼顶D的仰角，，又测得楼底C与A的连线与跑道所成的角（A、B、C三处在同一水平面上），则学校教学大楼的高度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、. （1）若、、三点共线，求； （2）若，求. 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满. （1）求C； （2）若，求外接圆的半径； （3）已知角C的平分线交于点，且，当取最小值时，求的面积. 19. 如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面. （1）求三棱锥体积的最大值； （2）当平面时，求的值； （3）设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 计算的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】＝＝＝. 故选：A 2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积. 【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形， 所以的底． 腰，在中为直角三角形，高． 所以直角三角形的面积是． 故选:D． 3. ､是两个不重合的平面，､ 是两条不同的直线，在下列条件下，可判定的是（ ） A. ､都平行于直线､ B. 内有三个不共线的点到的距离相等 C. ､是内的两条直线且， D. ､是两条异面直线且，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定和性质，对选项逐个分析判断即可得解. 【详解】对于A，当，时，不能推出； 对于B，当，且在内，在交线的一侧有两点，另一侧一个点，三点到的距离相等时，不能推出； 对于C，当与平行时，不能推出； 对于D，，是两条异面直线，且，，，， 内存在两条相交直线与平面平行， 根据面面平行的判定，可得， 故选：D. 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求即可. 【详解】由b2＝ac， 又c＝2a， 得， 由余弦定理， 得cos B＝＝. 故选：B. 5. 在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解. 【详解】因为M是的中点，所以， 又因为点P在上且满足，，所以， 所以. 故选：A. 6. 把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当平面平面时，三棱锥体积最大，由此能求出结果． 【详解】解：如图，当平面平面时，三棱锥体积最大 取的中点，则平面， 故直线和平面所成的角为 ， ． 故选：． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题． 7. 已知球面上，，三点，如果，且球的体积为，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由球的体积可以求出球的半径，利用，可以求出外接圆的半径，在根据球心距，球的半径，外接圆的半径，满足勾股定理即可求得球心到平面的距离. 【详解】设球的半径：则，所以， 设外接圆的半径，则由，所以， 而，即， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中点、线、面之间距离的计算，其中球心距求半径，截面圆半径，满足勾股定理，属于中档题. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果． 【详解】因为，由正弦定理可知， ， 又，所以 所以，所以 即， 又是锐角 所以，即， 所以，解得，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过正弦定理和锐角三角形的特点求得，和. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项. 【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底. B选项，不平行，可以作为基底. C选项，，所以平行，不能作为基底. D选项，不平行，可以作为基底. 故选：AC 10. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行性质可得A正确，再由线面垂直、面面垂直性质可得B正确，根据线面平行性质可判断C错误，D正确. 【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，即A正确； 对于B，易知若可得或，又可知，即B正确； 对于C，若，则或，因此C错误； 对于D，如果直线平行于平面和，且和的交线为，那么直线必须平行于； 假设不平行于，它必将与其中一个平面相交，这与平行于两个平面的条件相互矛盾， 所以若，则，故D正确。 故选：ABD 11. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（ ）（参考数据：） A. 这两碗馅料最多可包三角粽35个 B. 这两碗馅料最多可包三角粽36个 C. 这两碗馅料最多可包竹筒粽21个 D. 这两碗馅料最多可包竹筒粽20个 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案. 【详解】解：两碗馅料得体积为：， 如图，在正四面体中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高， ，，， 所以正四面体的体积为， 即一个正四面体状的三角粽的体积为， 因为， 所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误； 一个圆柱状竹筒粽得体积为， 因为， 所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 13. 所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 14. 四中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距24米的两点A、B，分别测得楼顶D的仰角，，又测得楼底C与A的连线与跑道所成的角（A、B、C三处在同一水平面上），则学校教学大楼的高度为________． 【答案】24米 【解析】 【分析】设教学楼高,根据所给条件求出，在中由余弦定理求解即可. 【详解】设教学楼高， 在中，，所以， 在中，，所以, 即， 在中，，，，, 由余弦定理可得, ， 即，解得或（舍去）， 即学校教学大楼的高度为24米. 故答案为：24米. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、. （1）若、、三点共线，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、的坐标，分析可知，，利用平面向量共线的坐标表示求出的值，可得出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可得出的值. 【小问1详解】 解：因为，，，所以，， 因为、、三点共线，则，所以，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 解：因为，， 所以，由，得， 解得， 所以，所以 ， 所以. 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 【小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体的表面积. 17. 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2） 取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 【解析】 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满. （1）求C； （2）若，求外接圆的半径； （3）已知角C的平分线交于点，且，当取最小值时，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简求值； （2）先应用余弦定理计算得出，再应用正弦定理求解； （3）应用面积计算得，再结合基本不等式计算得出得，，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 由已知得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）和余弦定理得， 所以. 设外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 因为角的平分线交于点， 所以， 又， 所以， 又，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得最小值， 由，解得，， 所以. 19. 如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面. （1）求三棱锥体积的最大值； （2）当平面时，求的值； （3）设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：. 【答案】（1） （2） （3）作垂足为，连接， 平面平面，平面平面 此时，平面ABCD，是在平面的射影， 所以即为与平面所成的角； , 过作垂足为，连结， 又，， 所以平面，平面，, 所以即为二面角的平面角, ，所以=2，即. 【解析】 【分析】(1) 当时，到平面的距离最大, 的值最大； (2) 连接AC交BD于点M，连接QM，则有，可得，即可得答案； (3) 作垂足为，连接，可得即为与平面所成的角；过作垂足为，连结，可得即为二面角的平面角，根据直角三角形中正切值的定义证明即可. 【小问1详解】 解：当时， 平面，由平面平面，平面平面， 知平面， 此时，到平面的距离最大，为， 所以，的最大值为， 【小问2详解】 连接AC交BD于点M，连接QM， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以 ， 所以，， 等腰梯形中， ， 所以， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $