精品解析：吉林省白城市洮南市2024～2025学年初中学业水平考试九年级数学模拟试题

初中学业水平考试数学模拟试题 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 如图，请你观察，最接近（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面图中可能是单孔纸箱 的展开图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（） A. B. C. D. 5. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由车载计算机完全地或间歇地自主操作的不载人飞机．如图所示，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机，的位置分别表示为，，则无人机的位置表示为______． 8. 教材中有这样一种作角平分线的方法： 已知： 求作：的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线．射线即为所求（如图）． 请你思考这样作角平分线的依据是______． 9. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为__________米． 10. 如图，在矩形中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧交，的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是__________．（结果不取近似值） 11. 如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号）________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 14. 如图，在中，平分，E是延长线上的一点，，交于点F．求证：． 15. 重庆小面是全国连锁店，某面馆某天的“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？ 16. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 17. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 18. 北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （，，，，结果精确到．） 19. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 20. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 21. 小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： （1）【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． （2）【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知函数图象上两点和，若，则与的大小关系为_______； （3）为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试数学模拟试题 数学试卷包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 如图，请你观察，最接近（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角的测量，掌握对顶角相等是解题的关键． 先观察量角器得出的对顶角的度数，进而即可求解． 【详解】解：观察量角器得出的对顶角的度数为， ∴， 故选：D． 2. 在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集． 先解不等式，再根据解集的表示方法判定即可． 【详解】解：不等式的解集为：． 在数轴上表示为： 故选：C． 3. 下面图中可能是单孔纸箱 的展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面相邻，据此判断即可． 【详解】A、为双孔纸箱，该选项不符合题意； B、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面不相邻，该选项不符合题意； C、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面相邻，该选项符合题意； D、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面不相邻，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，能将正方体的展开图复原是解题的关键． 4. 如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：C． 5. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：D． 6. 如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质和对折的性质证明是等边三角形，在直角三角形中，求得，从而求得，进而得到． 【详解】∵矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处， ∴，，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】考查了图形的翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含30度直角三角形的性质，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由车载计算机完全地或间歇地自主操作的不载人飞机．如图所示，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机，的位置分别表示为，，则无人机的位置表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标方法的简单应用，解答的关键是会建立适当的平面直角坐标系，并会表示平面直角坐标系中点的坐标． 根据所建立的平面直角坐标系写出无人机的位置对应点的坐标． 【详解】解：∵无人机，的位置分别表示为，， ∴可建立如下平面直角坐标系， ∴， 故答案为：． 8. 教材中有这样一种作角平分线的方法： 已知： 求作：的平分线． 作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线．射线即为所求（如图）． 请你思考这样作角平分线的依据是______． 【答案】##边边边 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定与性质，由作图可知，，又，则可证，从而可得平分，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴这样作角平分线的依据是， 故答案为：． 9. 天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年段的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为__________米． 【答案】38 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，据此解答即可． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设祈年殿的高度为米， 则可列比例为， 解得． 所以祈年殿的高度为38米． 故答案为：38． 【点睛】本题考查了投影的知识，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 10. 如图，在矩形中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧交，的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是__________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．先证明，计算，再利用割补法求解即可． 【详解】解：∵矩形，，． ∴，， ∴ ． 故答案为： ． 11. 如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号）________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由等边三角形和旋转的性质结合菱形的判定定理即可知①正确；直接利用“SAS”即可判定△ABE≅△CBF，即②正确；由全等三角形的性质可知BE=BF，∠ABE=∠CBF，再结合∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，即求出∠EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形，即③正确；由三角形外角性质得：∠CGE=∠CFG+∠FCG，再根据∠FCG=∠BFG=60°，即可证明 ∠CFB=∠CGE，故④正确；根据AE=CF即可求出BC的长，再根据④结合题意，易证△CFB∼△CGE，即，即可求出CG的长，最后即可求出BG的长，即可判断⑤错误． 【详解】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①正确； ∵在△ABE和△CBF中，， ∴△ABE≅△CBF(SAS)，故②正确； ∵△ABE≅△CBF， ∴BE=BF，∠ABE=∠CBF， ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°， ∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°， ∴△BEF为等边三角形，故③正确； ∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG， 又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°， ∴∠CFB=∠CGE，故④正确； ∵AE=CF=1， ∴BC=AC=AE+CE=4， ∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°， ∴△CFB∼△CGE， ∴，即 ∴CG=， ∴BG=BC−CG=4−=，故⑤错误． 综上，①②③④正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值以及实数运算，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种， 这辆车直行的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 直行 向左转 向右转 直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转） 向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转） 向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转） 共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种， 这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为． 14. 如图，在中，平分，E是延长线上的一点，，交于点F．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质进行求解即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解体的关键． 15. 重庆小面是全国连锁店，某面馆某天的“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？ 【答案】“小面”的单价是8元，“豌杂面”的单价是15元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设“小面”的单价是元，则“豌杂面”的单价是元．根据“两种面的销量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设“小面”的单价是元，则“豌杂面”的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． ． 答：“小面”的单价是8元，“豌杂面”的单价是15元． 16. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40； 任务2：6； 任务3：①； 任务4：乙园的柑橘品质更优， 理由如下：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为： ， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：略 17. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 18. 北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离． （，，，，结果精确到．） 【答案】卫星P到地球表面的最短距离为约． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质．过点A作，垂足为点D，利用锐角三角函数的定义可求出和的长，再利用切线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为点D， 由，， ∴， ，， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 答：卫星P到地球表面的最短距离为约． 19. 在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； （2）图中a= ，b= ，c= ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60 （2）900，800，15 （3）y =-20x+1200（15≤x≤20） （4）8分钟，分钟 【解析】 【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【小问1详解】 由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； 【小问2详解】 由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； 【小问3详解】 由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） 【小问4详解】 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 20. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． 【小问2详解】 解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，恰好落在上， 因此当时，正方形与四边形没有重合部分， 当时，重合部分的图形才拥有面积，且此面积在逐渐变化， 由于为等腰直角三角形，，且为中位线 因此的高为，到的距离为 设与的交点为M，与的交点为N， 重合部分的形状经历了以下几个阶段的变化： 第一阶段，重合部分为四边形，是一个矩形 ∴， 又为等腰直角三角形， 则，， 重合部分的面积， 第一阶段直到落在上时结束，此时为等腰直角三角形 ，， ∴， 解得 第二阶段，从落在上开始，设与的交点为S，与的交点为T，重合部分为矩形， ∴ ∴重合部分的面积为， 第二阶段，直到落在上时结束，此时，，即， 解得； 第三阶段，从落在上开始，此时重合部分为矩形，此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴重合部分的面积为， 第三阶段，直到运动结束为止，此时， 综上所述，y与x之间的函数关系如下： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 21. 小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： （1）【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． （2）【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）在上截取一点E，使得，可证，得到，，即得，又由，可得，进而得到，据此即可求解； （）在上截取一点E，使得，同理（）可得，得到，，进而得到，再根据三角形外角性质可得，即可得，得到，据此即可求证； （）如图，过点作的延长线于点，可证，得到，，进而证明，得到，即得到． 【小问1详解】 解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知函数图象上两点和，若，则与的大小关系为_______； （3）为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，以点为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，二次函数的性质，利用增减性解决最大最小值问题，结合几何图形求出参数的值． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求解即可； （3）①通过正方形中点的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合正方形内部的点的增减性得到正方形在对称轴的左边，从而求出的取值范围； ②分三种情况，分别画出图象，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点． 将点，点的坐标代入得：， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：①抛物线的解析式为， 其对称轴为直线． 四边形为正方形，且轴， 轴，轴，轴． 点的横坐标为，且点为正方形中心，， 点和点位于轴上． 抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小， 正方形在直线的左侧． ． ． ②Ⅰ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ， ． Ⅱ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ， 解得：，（不合题意，舍去）． Ⅲ．当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图， ． 交点的纵坐标之差为， ． 解得：，（不合题意，舍去）． 综上可知，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $