清单05 一元一次不等式（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

清单05 一元一次不等式 （6个考点梳理+16类题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 清单02 不等式的解集 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 清单03 不等式的性质 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 清单04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 清单05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 清单06 一元一次不等式组的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【考点题型一 不等式的定义与解集】（） 【例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-1】下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【变式1-3】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【变式1-4】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【考点题型二 不等式的性质】（） 【例2】若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】已知，若，则的取值范围是 ． 【变式2-3】比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【变式2-4】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①若，则A_______B； ②若，则A_______B； ③若，则A_______B． (2)请比较与的大小． 【考点题型三 一元一次不等式的定义】（） 【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【变式3-3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【变式3-4】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【考点题型四 求一元一次不等式的解集】（） 【例4】计算： 【变式4-1】解不等式：． 【变式4-2】下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，合并同类项，得    第三步 两边都除以，得    第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； (2)上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； (3)直接写出该不等式的解集__________． 【变式4-3】解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【变式4-4】当满足什么条件时，的值不大于的值？ 【考点题型五 求一元一次不等式的整数解】（） 【例5】关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】不等式的所有非负整数解的和是 ． 【变式5-3】已知a是整数，则不等式的正整数解有 个，负整数解有 个，非负整数解有 个． 【变式5-4】已知，且，求y的最小整数解． 【考点题型六 在数轴上表示不等式的解集】（） 【例6】解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式6-1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式6-2】解一元一次不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式6-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式6-4】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【考点题型七 求一元一次不等式解的最值】（） 【例7】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式7-1】按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【变式7-2】已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-3】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【变式7-4】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【考点题型八 一元一次不等式组的定义】（） 【例8】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-1】下列选项中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【变式8-3】现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-4】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型九 求不等式组的解集】（） 【例9】解不等式组 【变式9-1】解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【变式9-2】解不等式组：并写出它的非负整数解． 【变式9-3】解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【变式9-4】小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【考点题型十 解特殊不等式组】（） 【例10】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【变式10-1】已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【变式10-2】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【变式10-3】要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【变式10-4】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【考点题型十一 求一元一次不等式组的整数解】（） 【例11】不等式组的整数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】不等式组的最大整数解为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式11-2】若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 【变式11-3】若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式11-4】不等式组的正整数解为 ． 【考点题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 【例12】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【变式12-3】已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【变式12-4】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【考点题型十三 不等式组和方程组相结合的问题】（） 【例13】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式13-1】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【变式13-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【变式13-4】关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【考点题型十四 列一元一次不等式解决问题】（） 【例14】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【变式14-3】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【变式14-4】在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【考点题型十五 不等式组的实际应用】（） 【例15】【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【变式15-1】为倡导读书风尚，打造书香校园，某学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需300元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需160元． (1)求、两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量多于种图书的数量，又根据学校的预算，购买总金额不能超过1360元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【变式15-2】2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【变式15-3】发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． (1)求这两种图书的单价； (2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【变式15-4】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【考点题型十六 一元一次不等式（组）的新定义问题】（） 【例16】定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【变式16-1】在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【变式16-2】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号） (2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； (3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围． 【变式16-3】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； (3)已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【变式16-4】【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； (2)若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； (3)若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 1．某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组的解集是，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 83．关于的二元一次方程组的解满足，则的范围是（　　） A． B． C． D． 4．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为(   ） A． B． C． D． 5．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．关于的不等式的解集是，那么的取值范围是 ． 7．若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为 ． 8．对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是 ． 9．商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品按以下方式优惠销售：若购买不超过5件，则按原价付款；若一次性购买5件以上，则超过部分打八折．现有510元，最多可以购买该商品 件． 10．一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为140千克，手推车的重量为20千克，货物每箱的重量为50千克，则工人师傅每次最多能搬运货物 箱． 11．解不等式组：. 12．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 13．某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为多少？ 包场计费：包场每场每小时元，每人须另付入场费元 人数计费：每人打球小时元，接着续打球每人每小时元 14．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 15．我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 一元一次不等式 （6个考点梳理+16类题型解读+提升训练） 清单01 不等式的定义 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 清单02 不等式的解集 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 清单03 不等式的性质 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 清单04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 清单05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 清单06 一元一次不等式组的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【考点题型一 不等式的定义与解集】（） 【例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 【变式1-1】下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 【变式1-3】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【详解】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 【变式1-4】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，可得，且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【考点题型二 不等式的性质】（） 【例2】若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个选项进行判断，即可解答． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意； D、若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，当时，则，本选项不符合题意； C、若，当时，则，本选项不符合题意； D、若，，则，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】已知，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质, 根据题意，知在不等式的两边同时乘以后不等号方向不变，根据不等式的性质，得出，解此不等式即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， 故答案为：． 【变式2-3】比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 【变式2-4】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①若，则A_______B； ②若，则A_______B； ③若，则A_______B． (2)请比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）①根据不等式的基本性质求解即可； ②根据等式的基本性质求解即可； ③根据不等式的基本性质求解即可； （2）根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解． 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则； ③若，则． （2）解：由题意，得 ． 因为，，， 所以， 所以． 【考点题型三 一元一次不等式的定义】（） 【例3】下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一元一次不等式，故该选项符合题意； B、不是一元一次不等式，故该选项不符合题意； C、是一元一次方程，属于等式，故该选项不符合题意； D、是二元一次不等式，故该选项不符合题意， 故选A． 【变式3-2】若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义求出、的值，然后代值计算即可．求出、值是关键． 【详解】解：当时的最小值为，当时的最大值为， ，， ， 故答案为：． 【变式3-4】已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四 求一元一次不等式的解集】（） 【例4】计算： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母，去括号，移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 【变式4-1】解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 移项得，， 合并同类项，， 系数化为1，． 【变式4-2】下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，合并同类项，得    第三步 两边都除以，得    第四步 所以，原不等式的解集为． 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； (2)上述求解过程中，从第__________步发生错误，具体错误是__________； (3)直接写出该不等式的解集__________． 【答案】(1)不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2)四；两边都除以时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质即可解答； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； （3）按照正确的解法求出解集即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是不等式的性质2：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：根据题意：上述求解过程中，从第四步发生错误，具体错误是在不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变，即两边都除以时，不等号的方向没有改变； （3）解：解不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得， 所以，原不等式的解集为． 【变式4-3】解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得，． 【变式4-4】当满足什么条件时，的值不大于的值？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由题意得出不等式是解题的关键． 先由题意得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴当时，的值不大于的值． 【考点题型五 求一元一次不等式的整数解】（） 【例5】关于x的不等式的正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了求不等式的整数解．先求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解： 移项得到， 合并同类项得到， 系数化为1得， ∴关于x的不等式的正整数解为， 故选：A 【变式5-1】不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 不等式的负整数解为共3个． 故选：C． 【变式5-2】不等式的所有非负整数解的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，从而可以写出该不等式的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：，， 不等式的非负整数解之和为， 故答案为：． 【变式5-3】已知a是整数，则不等式的正整数解有 个，负整数解有 个，非负整数解有 个． 【答案】 3 无数 4 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解、负整数解、非负整数解等知识点，理解非负整数解是解题的关键． 根据整数解、负整数解、非负整数解的定义求解即可． 【详解】解：∵不等式， ∴不大于3的正整数有：1、2、3，计3个；不大于3的负整数有无数个；非负整数有：0、1、2、3，计4个． 故答案为：3，无数，4． 【变式5-4】已知，且，求y的最小整数解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和求不等式的最小整数解，先求出，再由得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴y的最小整数解为． 【考点题型六 在数轴上表示不等式的解集】（） 【例6】解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可； （2）去分母、去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 【变式6-1】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】．数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 化系数为：． 在数轴上表示为： ． 【变式6-2】解一元一次不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】（1）解： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 数轴表示如下： ； （2）解： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 数轴表示如下： ． 【变式6-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； 数轴表示如下： ； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； 数轴表示如下： ． 【变式6-4】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键．先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，把系数化为1，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 把不等式的解集表示在数轴上： 【考点题型七 求一元一次不等式解的最值】（） 【例7】已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【变式7-1】按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 【变式7-2】已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为3，故②错误． ③x=y， 则m+2=-2m m=，故③错误； 故选：B． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 【变式7-3】已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【变式7-4】关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型八 一元一次不等式组的定义】（） 【例8】下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【变式8-1】下列选项中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解答本题的关键，属于基础题．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．的最高次项是2次，故不符合题意； B．是一元一次不等式组，故符合题意； C．含2个未知数，故不符合题意； D．含2个未知数，故不符合题意； 故选B． 【变式8-2】下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【变式8-3】现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式8-4】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【考点题型九 求不等式组的解集】（） 【例9】解不等式组 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴原不等式组的解集是． 【变式9-1】解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【变式9-2】解不等式组：并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及求不等式的非负整数解，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出它的非负整数解，即可解题． 【详解】解：， 由①解得， 即， 由②解得， 综上，不等式组的解集为， 它的非负整数解为． 【变式9-3】解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式的性质． 根据不等式的性质分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，写出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 在数轴上，表示如下： 【变式9-4】小宇同学在做练习时，有一道不等式组题是这样的：解不等式组，小宇仿照用解方程组所使用的加减消元法，做了如下的解答： 第一步：由，得； 第二步：化简，得； 第三步：原不等式组的解集为． (1)小宇的解法是从第______步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法和步骤是解题的关键； （1）按照解一元一次不等式组的步骤，即可判断； （2）先求出两个不等式的解集，再求出公共解，进而可表示在数轴上； 【详解】（1）解：小宇的解法是从第一步开始出现错误的， 故答案为：一； （2）解：， 解①得， 解②得， 故该不等式组的解集为． 【考点题型十 解特殊不等式组】（） 【例10】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 【变式10-1】已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式10-2】若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 【变式10-3】要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 【变式10-4】阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 【考点题型十一 求一元一次不等式组的整数解】（） 【例11】不等式组的整数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解出一元一次不等式组的解集，再根据解集的范围确定整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 整数解有，，，，共个， 故选：D． 【变式11-1】不等式组的最大整数解为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解是 故选：D． 【变式11-2】若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．15 B．21 C． D．24 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解之和等于20， 即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，， ∴，或， 解得：，或， ∴a的整数值可以是6、7、8，或，，， ∴所有满足条件的整数为， 故选：A． 【变式11-3】若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组有个整数解即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式11-4】不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集，然后写出该不等式组的正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式的解集为：， 正整数解有1、2． 故答案为：1，2． 【考点题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数】（） 【例12】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：D． 【变式12-1】若不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查已知不等式组的解集，求字母的取值范围，根据不等式组的解集得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：C 【变式12-2】若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围，正确得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组有2个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是； 若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则； 若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数，根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，不等式组的解集是，原说法正确，符合题意； 若不等式组的解集是，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组恰有个整数解，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组无解，则，原说法掌握，不符合题意， ∴正确结论为； 故答案为：． 【变式12-4】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出m的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 故答案为：． 【考点题型十三 不等式组和方程组相结合的问题】（） 【例13】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．用加减法解出方程组，根据x为正数，y为非负数，得出，求出，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 解得：，故③不正确； ②当时，， 解得：，故②正确； ③时，方程组的解为：， 把，代入方程成立，故①正确； ④时，， 解得：， 又∵， ∴， ∴此时， 即，故④不正确； 综上分析可知：正确的有①②． 故选：A． 【变式13-1】关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 【变式13-2】若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式13-3】已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式13-4】关于x，y的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 【考点题型十四 列一元一次不等式解决问题】（） 【例14】若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 【变式14-1】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 【变式14-2】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式14-3】如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 ． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 【变式14-4】在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【答案】(1) (2)数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，旨在考查学生的数形结合能力． （1）找到数轴上与B点距离等于3的两点即可求解； （2）由（1）可知，当，数所对应的点到点B的距离小于3；当或，数所对应的点到点B的距离大于3；当或，数所对应的点到点B的距离等于3． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上两点与B点距离等于3， ∵A，B两点的距离小于3， ∴点A在之间， ∴； （2）解：∵ 由（1）可知：数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3． 【考点题型十五 不等式组的实际应用】（） 【例15】【问题背景】 2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件； 问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价； 问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】问题解决（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 问题解决（2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，先求出的取值范围，再得出每天分拣快递的件数，当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元； （2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台， ， ， 每天分拣快递的件数， 当时，每天分拣快递的件数最多为万件， 选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 【变式15-1】为倡导读书风尚，打造书香校园，某学校计划购买一批图书．若同时购进种图书8本和种图书5本，共需300元；若同时购进种图书4本和种图书3本，共需160元． (1)求、两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且种图书的数量多于种图书的数量，又根据学校的预算，购买总金额不能超过1360元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)种图书的单价为25元，种图书的单价为20元 (2)两种购买方案：买种图书31本，种图书29本；买种图书32本，种图书28本 【分析】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式组的实际应用，根据题意，找出数量关系，是解题的关键． （1）设、两种图书的单价各是元，根据题意列二元一次方程组求解，即可解题； （2）设买种图书本，则买种图书本，根据题意列一元一次不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设、两种图书的单价各是元， 根据题意得：， 解得， 答：种图书的单价为25元，种图书的单价为20元； （2）解：设买种图书本，则买种图书本， 根据题意得， 解得， 学校共有两种购买方案： 买种图书31本，种图书29本； 买种图书32本，种图书28本． 【变式15-2】2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【答案】(1)每个足球和篮球的价格分别是20元、50元 (2)共有三种购买方案，他们分别是：方案一：购买32个足球和8个篮球；方案二：购买33个足球和7个篮球；方案三：购买34个足球和6个篮球． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据“购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据“足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元”列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得： ， 解得：， ∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元． （2）解：设其中购买足球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 由题意得：取整数， ∴的值为32、33或34， ∴共有三种购买方案，他们分别是： 方案一：购买32个足球和8个篮球； 方案二：购买33个足球和7个篮球； 方案三：购买34个足球和6个篮球． 【变式15-3】发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． (1)求这两种图书的单价； (2)现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元 (2)方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 【变式15-4】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元． (1)学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，共有哪几种购买方案？ (2)甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过3000元后，超出3000元的部分按收费；乙商场累计购物超过4420元后，超出4420元的部分按收费．若学校按（1）中的方案去购买，应该如何选择商场才合算？ 【答案】(1)共有4种购买方案，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，有理数四则混合运算应用，正确地列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论； （2）根据两个商场推出的优惠方案，分别求得（1）中各方案的费用，进而比较可得结论； 【详解】（1）解：设需购进甲型号“文房四宝”x套，则需购进乙型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29； ∴共有4种购买方案， 方案1：购进26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”； （2）解：方案1总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案2总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择甲商场才合算； 方案3总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∴选择甲、乙商场都合算； 方案4总费用：（元）， 甲商场：（元）， 乙商场：（元）， ∵ ， ∴选择乙商场才合算； 【考点题型十六 一元一次不等式（组）的新定义问题】（） 【例16】定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 【变式16-1】在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 【变式16-2】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号） (2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； (3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解“跟随方程”的定义是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出三个方程的解，即可根据“跟随方程”的定义得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解代入方程中求出a的值即可； （3）先求出三个方程的解，再求出不等式组中两个不等式的解集，再分别求出三个方程是不等式组的“跟随方程”时m的取值范围，最后根据只有两个方程是不等式组的“跟随方程”求解即可． 【详解】（1）解：解不等式得： 解不等式得：， ∴不等式组的解集为； 解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， ∴方程和方程是不等式组的“跟随方程”， 故答案为：②③； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为2，3， ∵方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数， ∴方程的解为或， 当方程的解为时，则，解得； 当方程的解为时，则，解得； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式得：， 解不等式得：， 当方程①满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； 当方程②满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； 当方程③满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得； ∴当时，方程①③是不等式组的“跟随方程”，②不是； 当时，方程②③是不等式组的“跟随方程”，①不是； 综上所述，或． 【变式16-3】我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； (3)已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查了“友好不等式”，一元一次不等式组的解集，理解题意，借助数轴数形结合是解题的关键． （1）由不等式和有个公共解，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：不等式和有个公共解， 所以不等式是的“友好不等式”； 故答案为：是； （2）解：， ， ， ， 关于x的不等式不是的“友好不等式”， ， 故答案为：； （3）解： 关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解， 【变式16-4】【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 (1)在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； (2)若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； (3)若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【详解】（1）解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故答案为：①③； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：； （3）解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴（因为k小于0时不等式的解集是大于等于某个数）， 解不等式得， ∴， 解得：． 1．某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组求解集，解集的数轴表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别解不等式组写出解集，即可得出答案． 【详解】解：A、，解①得，解②得，无解，故不符合题意； B、，解①得，解②得，那么，故符合题意； C、，解①得，解②得，那么，故不符合题意； D、，解①得，解②得，无解，故不符合题意； 故选：B． 2．若关于x的不等式组的解集是，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，由不等式组的解集得出，再结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 选项中只有2满足条件， 故选∶D 83．关于的二元一次方程组的解满足，则的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组得，根据得，解得，解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组得，根据得， 解得， 故选：D． 4．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为(   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找准各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 利用工作总量工作效率工作时间，结合完成平整土地的任务所用时间不超过3小时，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 5．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，，， 所以、互为相反数，故①正确； ②把代入得：， 解得：， ， 此时符合，故②正确； ③当时， ，， 方程组的解是， 把，代入方程得：左边右边， 即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确； ④∵， ， 即， ∵， ∴， ， ， ，故④正确； 故选：D． 6．关于的不等式的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解集，求参数的范围，根据不等式的解集，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 7．若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，进而得，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴符合条件的正整数m的值为1． 故答案为：1． 8．对于两个关于的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据题意求出的范围．根据和是“互联”的，可得，即可求解． 【详解】解：∵和是“互联”的， ∴有且仅有一个整数解， 即有且仅有一个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 9．商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品按以下方式优惠销售：若购买不超过5件，则按原价付款；若一次性购买5件以上，则超过部分打八折．现有510元，最多可以购买该商品 件． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设最多可以购买该商品x件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】解：购买五件需付款（元）， 故设最多可以购买该商品x件， 根据题意可知：， 解得： 则最多可以购买该商品20件， 故答案为：20 10．一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为140千克，手推车的重量为20千克，货物每箱的重量为50千克，则工人师傅每次最多能搬运货物 箱． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题的关键是列出不等式进行求解． 【详解】解：设工人师傅每次最多能搬运货物箱，由题意得： ， 解得：，因为为整数， 工人师傅每次最多能搬运货物箱， 故答案为：． 11．解不等式组：. 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 12．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别求出两个不等式的解集，即可求得两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 13．某乒乓球馆有两种计费方案，如下表．李强和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球小时，经服务生测算后，告知他们包场计费方案会比人数计费方案便宜，则他们参与包场的人数至少为多少？ 包场计费：包场每场每小时元，每人须另付入场费元 人数计费：每人打球小时元，接着续打球每人每小时元 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是找出不等关系列出不等式． 先设参与包场的人数为人，根据表中数据列出不等式求解． 【详解】解：设参与包场的人数为人， ， 解得， ∵人数为整数， ∴他们参与包场的人数至少为人． 答：他们参与包场的人数至少为人． 14．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算 例如：已知可得；已知可得； 已知可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么． 证明：， ．（依据） ， ________， ． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为________．（用“<”或“>”填空） (2)材料证明过程中，依据为_________，缺失的步骤为________． (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变； (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：材料中“▲”处空缺的内容为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． (1)在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“郴永宜方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“郴永宜方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）解：，解得：； ，解得：； 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 的解集为：， 在范围内， ∴不等式组 的“郴永宜方程”是； 故答案为：； （2）解：解方程得：， 解不等式组，得， ∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”， ∴， 解得； （3）解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”， ∴在范围内， ∴， 解得， 综上所述，． 26 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $$