6.3 用关系式表示变量之间的关系 教学设计　 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版初中数学七年级下册 第六章 变量之间的关系 3 用关系式表示变量之间的关系 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第六章“变量之间的关系”第3节“用关系式表示变量之间的关系”，主要内容包括：通过具体实例（三角形面积变化、圆锥体积变化、低碳生活碳排放计算）理解变量间的依赖关系，掌握用关系式表示变量间关系的方法，并能根据关系式计算因变量的值。 2. 内容解析 学生在小学已接触过简单变量关系（如行程问题），本章进一步系统学习变量间的对应关系。本节课的核心是引导学生从具体情境中抽象出变量间的数量关系，并用关系式（如 、）进行数学表达。关系式是函数概念的雏形，为后续学习一次函数、反比例函数奠定基础，同时培养学生数学建模和抽象思维能力。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 通过分析实际问题，识别自变量与因变量，理解变量间的依赖关系。 (2) 经历从表格、语言描述到关系式的抽象过程，掌握用关系式表示变量间关系的方法。 (3) 能根据关系式计算因变量的值，解决实际问题（如碳排放计算、几何体积问题）。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是学生能从情境中准确指出自变量和因变量（如“底边长 变化引起面积 变化”）；达成目标（2）的标志是学生能独立写出变量关系式（如三角形面积 ）；达成目标（3）的标志是能正确代入自变量的值求出因变量（如用电量 时碳排放量计算）。通过本课学习，学生将初步形成用数学工具描述现实世界变化规律的能力。 三、教学问题诊断分析 1. 抽象思维不足：学生难以从具体情境中剥离无关信息，抽象出变量间的数量关系（如忽略圆锥高固定，只关注底面半径与体积的关系）。 1. 关系式构建困难：部分学生无法将文字描述转化为数学表达式（如将“面积是底边长的3倍”错误写成 ）。 1. 实际应用脱节：对关系式的现实意义理解模糊（如碳排放公式中系数 的物理含义）。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题1 如图，三角形 底边 上的高为 。当点 沿直线向点 移动时，底边 长度缩短，三角形面积如何变化？其中自变量和因变量分别是什么？ 问题2 举例说明生活中一个量变化引起另一个量变化的实例（如水箱水位随注水时间变化）。 问题3 若三角形底边长为 ，面积 如何用 表示？当 时， 的值是多少？ 设计意图： 通过几何图形和生活实例引入变量概念，降低抽象难度。问题3引导学生从具体数值过渡到关系式表达，培养符号意识，对应目标（1）（2）。 (二) 合作探究1 探究1 已知圆锥的高固定为 ，底面半径 由 增大到 ： (1) 自变量是______，因变量是______。 (2) 半径每增加 ，体积如何变化？ (3) 体积 与 的关系式是____________。 答： (1) 底面半径 ，体积 ； (2) 体积增大（具体计算略）； (3) 。 追问：若高变为 ，关系式如何调整？ (三) 巩固练习1 1. 梯形上底长 ，下底长 ，高 ，面积 。写出 与 的关系式。 答：。 1. 家居用电的二氧化碳排放量公式为 排放量用电量。小明家用电 ，排放量是多少？ 答：。 (四) 合作探究2 探究2 “低碳生活”碳排放公式： · 开私家车：排放量 耗油量 · 家用自来水：排放量 用水量 若小明家本月耗油 ，用水 ，总排放量是多少？ 猜想：总排放量是否等于各分项排放量之和？ 验证： 私家车排放 ， 自来水排放 ， 总排放 。 探究3 证明关系式具有可加性： 设 ，，则总排放量 。 设计意图： 通过实际数据验证关系式的可加性，体会数学模型的普适性，强化应用能力，对应目标（3）。 (五) 典例分析 例1 如图，三角形底边 对应面积 （高 )： (1) 当 时，求 ； (2) 若面积 ，求底边 。 解： (1) ； (2) 由 得 。 设计意图： 训练逆向求自变量能力，深化对关系式双向性的理解，对应目标（3）。 (六) 巩固练习 1. 气温 （℃）与海拔 （m）的关系为 。求 时 的值。 答：。 1. 圆锥底面半径 ，高 ，体积 。当 时，求 。 答：。 1. 家用天然气排放量 用气量 。若用气 ，排放量是多少？ 答：。 设计意图： 多情境练习强化关系式应用，提升运算能力和实际问题转化能力。 (七) 归纳总结 核心概念 说明 自变量 主动变化的量（如底边长 、用电量） 因变量 随自变量变化的量（如面积 、碳排放量） 关系式 表示变量间等量关系的式子（如 ，) 应用步骤 ① 识别变量；② 建立关系式；③ 代入求值 (八) 感受中考 1. （2024·广西） 三角形底边长 ，面积 满足 。当 时，______。 答：。 1. （2023·青海） 圆锥高 ，体积 与底面半径 的关系为 。当 时，______。 答：。 1. （2024·山东） 某家庭用水量 与费用 （元）满足 。若用水 ，费用为______元。 答：。 1. （2023·河南） 梯形上底 ，下底 ，高 ，面积 。写出 与 的关系式。 答：。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 (九) 小结梳理 知识模块 关键点 联系 变量识别 自变量、因变量的判定 所有问题的基础 关系式构建 从文字、表格中抽象数学表达式 核心能力 实际应用 几何问题、环保问题的计算 体现数学建模价值 (十) 布置作业 必做题： 1. 教材习题6.3第1题：圆锥高 固定，底面半径 变化时，。当 从 增到 ，体积如何变化？ 1. 教材习题6.3第2题：梯形上底 （ 从 到 )，下底 ，高 ，用表格表示 的对应值。 选做题： 1. 探索 条直线相交于一点形成对顶角的对数规律（提示：每两条直线形成 对对顶角）。 1. 计算自家本月用电、用水量，比较与小明的碳排放量差异，提出“低碳生活”建议。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$