6.3用关系式表示变量之间的关系 教学设计 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第三节 用关系式表示变量之间的关系 教学设计 一、教学内容和内容解析 （一）教学内容 教材153～154页，《用关系式表示变量之间的关系》 （二）教学内容解析 在上节课的学习中，学生已经通过分析表格中的数据，感受到了变量之间的相依关系，并学会了用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地思考和表达的能力，为本节的深入学习奠定了基础，本节课内容是以学生理解变量、自变量、因变量的意义，体会因变量是随自变量变化而变化为基础，是进一步掌握表示变量之间关系的另一种方法——关系式，从而让学生逐步由常量的世界走入变量的世界，为以后函数的学习打下坚实的基础。 二、课程标准内容要求 （一）数学眼光方面 1.抽象能力：学生要能从丰富的现实情境与数学情境中，抽象出变量及变量之间的定量关系，理解变量间相互依存的本质，发展抽象能力，学会用数学眼光看世界。 2.创新意识：面对实际问题，学生要能尝试从不同角度思考，探索用关系式表示变量关系的多种方法，比如根据不同的已知条件和等量关系建立不同形式的关系式，激发创新意识，提升用数学眼光发现新问题、新方法的能力。 （二）数学思维方面 1.逻辑推理能力：在建立变量之间的关系式时，学生需依据问题中的条件和数学原理，通过分析、比较、归纳等逻辑方法，推导出合理的关系式，培养逻辑推理能力。 2.模型观念：学生要理解关系式是一种数学模型，能将实际问题中的变量关系用数学关系式表示出来，通过对关系式的分析来解决实际问题，体会数学模型在解决现实问题中的作用，形成模型观念。 （三）数学语言方面 1.符号意识：学生要熟练使用数学符号来构建变量之间的关系式，准确理解和运用变量符号、运算符号、关系符号等，清晰地表达变量之间的数量关系和变化规律，发展符号意识。 2.交流能力：在学习过程中，学生要能够用数学语言与他人交流，能够清晰地阐述自己对变量关系的理解、建立关系式的思路和解决问题的过程，倾听他人意见，进行有效的沟通和合作。 三、教学目标和目标解析 （一）教学目标 1.能从丰富的实际情境中，抽象出变量之间的关系，并准确用数学语言和符号构建关系式，提升从具体到抽象的思维转换能力。 2.通过对变量关系的分析，依据数学原理和规律，有条理地推导、验证关系式，培养逻辑思维，能在解决问题时进行合理推断。 3.理解建立变量关系式是构建数学模型的过程，能运用模型解决实际问题，增强数学应用意识。 4.在根据关系式进行求值、计算等操作时，准确运用数学运算规则，提高运算能力，确保计算结果的准确性。 （二）目标解析 《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出： 目标1的要求是：学生需从生活实例里提炼出变量，明确自变量和因变量，并用数学符号表示它们的关系，完成从具体到抽象的过渡。 目标2的要求是：在推导关系式时，依据已知条件和数学定义、定理，从一般原理推出特殊情况下的变量关系，培养逻辑推导能力。 目标3的要求是：引导学生认识到建立关系式就是将实际问题转化为数学模型，利用模型预测变量变化趋势、解决实际问题。 目标4的要求是：学生在运用关系式进行计算，要熟练运用乘除运算，掌握运算顺序和方法，保证计算无误，提升运算水平。 四、学生学情分析 （一）学生基础情况 1.学生已掌握简单的代数式运算，能理解常量、未知数的概念，像求解简单一元一次方程，对用字母表示数有初步认识，这为理解变量与关系式奠定基础。不过，从具体数字运算过渡到变量关系的抽象理解，跨度较大 2.日常生活中，学生接触过不少变量关系的实例，但都是感性认识，未上升到数学模型高度，难以用精确数学语言和关系式表达变量间的定量关系。 （二）学生学习难点 1.理解变量的动态变化和相互依存关系对学生有难度。学生很难把握两个变量同时变化且相互影响的特点，容易混淆自变量和因变量，难以清晰区分哪个量的变化引起另一个量的变化。 2.从实际问题中抽象出数学模型，构建正确的关系式，需要学生具备较强的逻辑分析和抽象概括能力，在根据关系式解决实际问题时，不知如何代入数据和解释结果。 （三）学生学习需求 1.学生渴望通过大量贴近生活、生动有趣的实例来深入理解变量间关系，借助实例将抽象知识具象化，降低理解难度。 2.在构建关系式过程中，学生需要教师详细展示分析思路，从问题的条件出发，逐步引导如何找到变量、确定变量关系，进而列出关系式，培养逻辑思维能力。 五、教学策略分析 （一）情境创设策略 从生活实例出发，构建情境，学生分析变量，引出关系式概念。通过熟悉的情境，激发兴趣，把抽象知识具象化，帮助学生理解变量间依存关系，快速进入学习状态。 （二）问题驱动策略 提出一系列层次分明的问题引导学习，启发思考，培养逻辑思维，让学生在解决问题中掌握知识。 （2） 小组合作策略 组织小组合作探究复杂问题，尝试构建关系式，交流讨论不同思路，培养合作、交流和自主探究能力，从多角度理解知识，还能培养团队协作精神。 （3） 分层教学策略 考虑学生差异实施分层教学。基础薄弱学生，多巩固基础知识，如简单的变量识别、关系式代入求值练习；学有余力学生，提供拓展性问题，像探究多个变量相互影响下的复杂关系式，满足不同层次学生需求，使每个学生都能在原有基础上提升。 六、教学重难点 （一）重点：学会用关系式来表示变量之间的关系。 （二）难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。 七、教学过程 教学流程 活动一：创设情境，导入新课 【情境引入】 你知道地球内部的温度有多高吗？ 地壳的厚度约为8～40km，在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x（单位：km）是深度，t（单位：℃）是地球表面的温度，y（单位：℃）是所处深度的温度。 我们根据这个公式就可以求出地球内部不同深度处的温度。大家是不是觉得很方便呢？那么怎么找到这个公式的呢？今天这节课就让我们一起探究用关系式表示变量之间的关系。 设计意图：以学生感兴趣的地理知识引入本节课的内容，引起学生的好奇心，引出本节课的学习内容。 活动二：实践探究，获取新知 探究点 用关系式表示变量之间的关系 例1 如图，△ABC底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。 问题1 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？ 自变量： 三角形的底边长 ，因变量： 三角形的面积 。 当底边长减小时，三角形的面积 减小 。 问题2 如果三角形的底边长为x（单位：cm），那么三角形的面积y（单位：cm2）如何表示？ 根据三角形的面积公式，可得y=BC·AC=x×6=3x，即三角形的面积y=3x。 问题2 在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗？与同伴进行交流。 能。 师：y=3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。 归纳：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。如图，利用关系式（如y=3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。 例2 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 问题1 你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 问题2 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ 自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积。 问题3 底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？ 底面半径增大时，圆锥的体积增大。 问题4 如果圆锥的底面半径为r（单位：cm），那么圆锥的体积V（单位：cm3）如何表示？ 根据问题1中我们回忆的圆锥的体积公式，结合题干中的已知条件，可得关系式： 问题5 在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？ 能。 【对应训练】 教材P154随堂练习第1题。 设计意图：经历这样的活动，使学生进一步体会变量之间的关系，并能从代数式表示的角度进一步感受自变量、因变量的对应思想，以及积累研究变量之间关系的经验。 活动三：典例探究，升华提高 例 （教材P154尝试·交流）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表： （1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? （2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 （3）当用电量为100kW·h时，二氧化碳排放量是多少? （4）小明家本月大约用电110kW·h、耗油75L、用天然气20m3、用自来水5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。 解：（1）假设y表示二氧化碳排放量，x表示用电量，则 （2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量也增加。 （3）当用电量为100kW·h，即x=100时，y=0.785×100=78.5（kg）。 即用电量为100kW·h时，二氧化碳排放量是78.5kg。 （4）家居用电的二氧化碳排放量：110×0.785=86.35（kg）。 开私家车的二氧化碳排放量：75×2.7=202.5（kg）。 家用天然气的二氧化碳排放量：20×0.19=3.8（kg）。 家用自来水的二氧化碳排放量：5×0.91=4.55（kg）。 二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2（kg）。 【对应训练】 教材P154随堂练习第2题。 反思：我们已经学了哪几种方式表示变量间的关系，各有什么优缺点？ 设计意图：旨在发展学生数学表示的能力，如用字母表示变量、把语言表示转化为关系式等。同时也有关注发展学生社会责任感的目的。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变量与因变量之间的关系？ 2.列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么特点？ 【作业布置】 1.教材P155习题6.3第1，2，3题。 2.相应课时训练。 八、板书设计 3 用关系式表示变量之间的关系 1.用关系式表示变量之间的关系。 2.用关系式和用表格表示变量之间的关系的区别与联系。 九、教学反思 （一）课前反思 1.七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观、具体的事例接受度较高，但理解抽象的数学概念和关系式存在一定困难。此前学生虽对变量有初步认识，不过用关系式准确表达变量关系是全新挑战，需充分考虑不同层次学生的学习能力和接受程度，设计分层教学环节，满足多样化学习需求。 2.目标设定应更具可操作性和可检测性，如“理解用关系式表示变量关系的方法”可细化为“能准确找出实际问题中的自变量与因变量，并列出二者间的关系式” ，确保目标明确且可衡量。同时，要注重培养学生数学建模和应用意识，使学生明白关系式在解决实际问题中的价值。 3.计划采用讲授法与探究法结合，讲授法可高效传递知识，但可能导致学生被动接受。应增加探究活动比重，如设计生活实例让学生自主探究变量关系，小组讨论并尝试列出关系式，教师再总结归纳，以激发学生主动性，培养合作与探究能力 。 4.教材是主要资源，但仅依靠教材内容可能不够生动丰富。可收集更多生活中的实例，如水电费计费、出租车计价等，制作成 PPT 或动画，将抽象知识直观化，帮助学生理解，同时准备一些简单道具辅助教学，增强教学趣味性。 （二）课后反思 1.教学目标达成，通过课堂练习与提问，大部分学生能根据简单实例列出变量关系式，达成知识与技能目标。但在利用关系式解决复杂实际问题时，部分学生存在困难，反映出数学应用能力培养不足，后续教学需加强这方面训练，设计更多有梯度的实际问题，提升学生解决问题的能力。 2.教学方法效果，探究活动激发了学生兴趣，小组讨论中思维碰撞活跃，学生积极参与。但部分小组讨论效率低，偏离主题，今后需明确小组讨论规则和任务，加强教师巡视指导，确保讨论有序有效。讲授法在讲解关键知识点时发挥重要作用，但时间把控需优化，避免讲授过多占用探究时间。 3.学生表现，学生课堂参与度较高，多数学生能积极思考、回答问题。但仍有少数学生较为被动，参与度低。分析原因可能是基础薄弱或对数学缺乏兴趣，后续要关注这些学生，给予更多鼓励和指导，根据其学习情况进行个别辅导，设计分层作业，帮助他们逐步提高。 4.教学内容处理，教学内容整体合理，但在知识点衔接上不够自然流畅，如从实际问题引入关系式时，过渡稍显生硬。应优化教学环节过渡，增加引导性问题，使学生自然理解知识的形成过程。此外，拓展内容可适当增加深度和广度，满足学有余力学生的需求。 5.教学改进措施，基于反思，后续教学要优化教学环节，精心设计问题链，引导学生逐步深入理解。加强对学生小组合作学习的指导，培养团队协作和自主探究能力。针对学生个体差异，提供个性化学习支持，设计分层作业和拓展练习 。同时，持续丰富教学资源，创新教学方法，提升教学质量。 学科网（北京）股份有限公司 $$