精品解析：2025年山东省临沂市沂水县九年级中考二轮考试数学试题

九年级阶段性作业数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，截止年月，我国在芯片上的研究成绩喜人，以突破纳米量产、纳米试产技术，并在纳米设备领域实现局部超越，已知，则用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示中正确的是（） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A. 参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B. 参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C. 使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D. 使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则的值是___________________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 14. 如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么________． 15. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 在学习矩形的判定时，教科书中给出了这样一个问题： 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ （1）通过这个问题的研究，我们发现并证明了矩形的一个判定定理是________． （2）请证明这个定理（先画出图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）． 18. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 20. 某食用油的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油的沸点．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油，在特定条件下均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算这种食用油的沸点． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. 在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1； 第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2． 在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： （1）如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，当经过点B时，求的长； （3）如图4，当时，求的长． 23. 已知抛物线． （1）求该二次函数图象与x轴交点坐标及对称轴； （2）若该二次函数的图象过点，，且，，求n的值； （3）若当时，该函数的最小值为-8，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性作业数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，截止年月，我国在芯片上的研究成绩喜人，以突破纳米量产、纳米试产技术，并在纳米设备领域实现局部超越，已知，则用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示形式，确定的值时解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 详解】解：， 故选：D． 3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可． 【详解】解：A．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； B．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； C．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意； D．主视图和左视图相同，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握各种几何体的三视图的形状． 4. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形； B、不是轴对称图形是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形不是中心对称图形． 故选：C． 5. 不等式的解集在数轴上表示中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式求出解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得， 数轴上表示为： ， 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法．根据运算法则逐项计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不合题意； B、，故选项计算错误，不合题意； C、，故选项计算错误，不合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选D． 7. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 8. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的定义，根据作图可得，，根据证明两三角形全等判断①；根据全等得到，即可判断②；利用圆周角定理判断③；根据等腰三角形的定义判断④解答即可． 【详解】解：由作图可得，， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是等腰三角形，故④正确； 故选：C． 10. 为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A. 参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B. 参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C. 使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D. 使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意． 设定价高的为x元，定价低的为y元，然后列代数比较大小，并根据差额为50元求出解答即可． 【详解】解：设定价高的为x元，定价低的为y元， 则， ∴， ∴， ∴使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则的值是___________________． 【答案】6 【解析】 【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴原式， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 14. 如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形，得到是解题的关键． 根据正方形的性质和翻折的性质得到，，再在中，根据勾股定理求出长，然后根据正切的定义得到解题即可． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，， 又∵点E是边的中点， ∴， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：. 15. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若线段的垂直平分线与线段恰好交于点B，则称点P为线段关于点A的对垂点．已知点，．若点P是线段关于点A的对垂点，则点P的纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，根据新定义可得，即可得到点P在以B为圆心，长为半径的圆上，然后得到点P的纵坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵点P是线段关于点A的对垂点， ∴， ∴点P在以B为圆心，长为半径的圆上，即， ∴点P的纵坐标的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，实数的运算，熟练掌握分式混合运算法则，特殊角的三角函数值，准确进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，零指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的性质计算，然后加减解题即可； （2）此案吧括号内的分式通分合并，再把除法化为乘法约分化简解题； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在学习矩形的判定时，教科书中给出了这样一个问题： 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ （1）通过这个问题的研究，我们发现并证明了矩形的一个判定定理是________． （2）请证明这个定理（先画出图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程）． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据题意解答即可； 对于（2），先写出已知，求证，再证明，先根据平行四边形的性质证明，可得，然后根据平行线的性质求出，则答案可得． 【小问1详解】 解：对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：已知：在中，对角线． 求证：四边形是矩形． 证明：∵在中， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴矩形． 18. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 八年级 89 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）90；；25 （2）八年级的成绩更好，理由见解析 （3）580人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、求中位数、众数、由样本估计总体，由扇形统计图和题意得出必要信息和数据是解题的关键． （1）根据众数的定义可得出a的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数可得出m的值，再根据中位数的定义求出b的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即； 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即； 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数， 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即． 故答案为：90；；25． 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， 八年级的成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人． 19. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， 依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 某食用油的沸点远高于水的沸点．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油的沸点．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油，在特定条件下均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算这种食用油的沸点． 【答案】（1）图见解析，一次 （2） （3）当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【解析】 【分析】本题考查函数的表示方法、求一次函数表达式及一次函数应用；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． （1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，如下图： 由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； 【小问3详解】 当时，， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， 又为的内心 ∴ 又为的直径 又∵ ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， =． 22. 在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1； 第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2． 在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： （1）如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，当经过点B时，求的长； （3）如图4，当时，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转知，，再证，即可得出结论； （2）由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设， 在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （3）由折叠可知再证是的中位线，即可得出结论，过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，证明如下： 如图， 连接， 由旋转的性质得，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得， ， ， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得， ， ， ， ∴是的中位线， ， 如图，过作于， 交于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 解得． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 23. 已知抛物线． （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标及对称轴； （2）若该二次函数的图象过点，，且，，求n的值； （3）若当时，该函数的最小值为-8，求a的值． 【答案】（1）与x轴的交点坐标为或，对称轴为 （2） （3）a的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质的综合，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）令，解方程求出x值即可得到与x轴交点坐标，根据抛物线的对称性求出对称轴即可； （2）由题可知两点在上，然后联立根据根与系数的关系求出n的值即可； （3）对a进行分类讨论，根据二次函数的增减性解答即可； 【小问1详解】 解：令，则， 解得：，， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为或； ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵点，在直线上， 则联立两解析式得，整理得， ∵，， ∴， 解得； 小问3详解】 解：当时，开口向上， 对称轴在， ∴当时，y取最小值，为， 解得； 当时，开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， 即当时，y取最小值为， 解得； 综上所述，a的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $